基于分数阶Fourier变换的PD时频特征提取

2021-11-17谢勤岚

计算机仿真 2021年4期

陈红，谢勤岚

(1. 中南民族大学实验教学与实验室管理中心，湖北武汉 430074；2. 中南民族大学生物医学工程学院，湖北武汉 430074)

1 引言

信号处理在故障监测、医疗疾病诊断以及其它多个领域的特征提取与分类中得到广泛应用，该项技术的最基本功能是滤除信号所含噪声、提取不变特征量，为后续信号模式的识别、分类以及故障诊断等奠定基础。其中，针对非线性、非平稳信号[1]，时频分析日益成为其解决的重要策略之一。在一定程度上，可将信号时频特征提取认为是信号能量的特征提取，提取过程中的关键环节，是去除并行数据维格纳-威利分布[2](Wigner-Ville Distribution，WVD)中的交叉信号干扰，确保方法的有效性。针对时频特征提取的方法，该领域相关研究者进行了大量研究。

文献[3]为解决复杂环境中声音目标特征提取问题，根据声音信号时频域属性，构建了一种结合时频域的特征提取方法，利用小波分解处理初始信号，将信号中存在的噪声进行滤除，设定初始特征矢量为短时平均幅值、短时能量、频带能量值以及过零率，与Fisher判别准则融合后选取特征，构建低维特征向量，提取两种声音目标的测量样本数据时频特征。该方法可有效滤除信号中噪声，提高信号特征提取的精度，但该方法操作过程较为繁琐，特征获取的耗时较长，且抗干扰能力较弱。文献[4]为加快混合信号时频域特征提取速度、减少成本消耗，提出一种盲源分离下混合信号时频域特征的提取方法。基于分析的混合信号时频域属性，采用经验模式分解法分解混合信号，估计模式分量混合信号个数，得到最佳的观察信号，并与源信号组建成新的观察信号，实现混合信号时频域特征提取。该方法对信号时频域特征提取的速度较快，但对信号中存在的噪声未过多处理，导致提取的信号特征精度较差。

基于上述方法中存在的问题，提出基于分数阶傅里叶变换的时频特征提取方法。通过阶分数阶傅里叶变换重构并行数据信号，降低了交叉信号发生概率，提升特征提取的准确性；引入窗函数，实现信号局部特征描述，增加时频获取的有效性。与传统方法相比，所提方法提取的信号时域特征精度较高，抗干扰能力较强。这是由于所提方法采用阶分数阶傅里叶变换对信号时域特征进行重构，并进行一些列处理，提升了所提方法的综合有效性。

2 分数阶Fourier变换的并行数据时频特征提取

2.1 数据信号的重构

在进行并行数据时频特征提取前，需要对数据信号进行预处理，提升数据的精度。

假设某并行数据信号为x(t)，具有一定的线性频率调制规律，该信号维格纳-威利分布形式呈沿瞬时频率变化的冲击谱线，存在相对理想的时频聚集性，但当信号阶数超过2时，维格纳-威利分布无法提供优越的时频聚集性，若并行数据含有大量信号，则交叉信号产生概率较高，将影响到时频特征提取的准确性。

已知并行数据信号x(t)∈L2，分数阶傅里叶的阶数为P，则该信号的分数阶傅里叶变换表达式如下所示

(1)

式中，分数阶傅里叶算子为FrFT。

针对阶数P的分数阶傅里叶变换连续核函数为KP(t，u)，其约束条件为：

KP(t，u)=

(2)

采用下列表达式描述P阶分数阶傅里叶变换重构并行数据信号，即

(3)

以α为单位旋转时频平面(t，ω)得到平面(u，v)，变换坐标符合下述条件，即

(4)

信号x(t)的维格纳-威利分布WVDX(t，ω)和信号P阶分数阶傅里叶变换XP(u)的维格纳分布-威利分布WVDXP(u，v)一致，因此，并行数据信号为x(t)=exp(jω0t+1/2kt2)，维格纳分布-威利分布满足WVDX(t，ω)=2πδ(ω-kt-ω0)。

旋转变换坐标(t，ω)，符合cosa+ksinα=0的旋转角α，同时满足cotα=-k，则在新坐标系(u，v)中的信号x(t)为冲击函数，故在不断搜索α的过程中存在冲击，说明存在并行数据信号，调频斜率k=-cotα。

由于分数阶傅里叶变换属于一维线性变换，只能进行整体变换，无法描述信号的局部属性，故利用一个短时、滑动的窗函数γ(t)进行处理，短时分数阶傅里叶变换信号x(t)，表达式如下所示

(5)

根据上式可知，采用中心为t的分析窗γ(τ-t)与信号x(t)相乘的分数阶傅里叶变换，即为t时刻信号x(t)的短时分数阶傅里叶变换。窗函数γ(t)的时域属性，赋予短时分数阶傅里叶变换信号局域描述特性。

2.2 并行数据压缩

在上述并行数据信号重构基础上，进行并行数据特征提取。

假设VM×N为某个并行数据的待分类非负矩阵[5]，求取满足下列条件式的非负矩阵WN×r与Hr×M，即

(6)

式中，基向量矩阵为WN×r，系数矩阵为Hr×M。

矩阵的一维向量组合表达式为

(7)

(8)

由上式可知，W矩阵列向量{wi}i=1，2，…，r的线性组合为V矩阵，H矩阵行向量{hi}i=1，2，…，r为系数。当参数符合不等式(n+m)r

2.3 目标函数最小化

在计算W与H矩阵过程中，初始化处理两矩阵，用架构的目标函数表示WH矩阵与V矩阵的差异性，通过迭代形式最小化目标函数。利用KL(Kullback-Leibler divergence，相对熵)散度[6]目标函数式与MUR(Multiplicative Update Rule，乘法迭代规则[7])通过式(9)～(10)持续更新H与W矩阵所含元素，即

(9)

(10)

经反复迭代操作，待满足预设迭代次数，获取最优基向量矩阵W与系数矩阵H。

2.4 并行数据时频特征提取

假设SH表示尖锐度特征参量，{wi}i=1，2，…，r表示各频域基向量，通过分数阶傅里叶变换，得到下列表达式

(11)

式中，基向量wi的傅里叶变换结果为Wi(v)。

利用傅里叶变换基向量得到的结果，获取分数阶傅里叶的变换结果，即

(12)

在所得Wi(k)结果中，经求取第n0项到第N/4项元素的绝对值总和，该数值即为时频特征尖锐度SHwi，即

(13)

式中，n0为一个比N/4小的正整数，通常取值为10。

用SD表示导数平方和，该特征参量可直观度量向量所含元素的均匀性[8]。采用下列公式界定频域基向量{wi}i=1，2，…，r的导数平方和SD

(14)

式中，频域基向量{wi}i=1，2，…，r内相邻元素差值为w′i(n)，计算公式如下所示

w′i(n)=wi(n+1)-wi(n)，n=1，2，…，N-1

(15)

假设EN代表信息熵，该特征参量代表序列的平均信息量。频域基向量{wi}i=1，2，…，r信息熵ENwi的计算公式如下所示

(16)

采用下列计算公式求取时域位置向量{hi}i=1，2，…，r的信息熵ENhi，即

(17)

假设SP表示稀疏度，该特征参量用于说明各元素间的偏移程度[9]。时域位置向量{hi}i=1，2，…，r稀疏度SPhi的计算公式如下所示

(18)

式中，时域位置向量hi的长度用M表示。

假设向量内的元素全部相等，则稀疏度取值为1。

根据上述各时频特征参量提取可知，在各频域基向量wi中共提取出三个特征参量，分别为SHwi、SDwi以及ENwi，在时域位置向量hi中共提取出两个特征参量，分别为SPhi与ENhi。由于r取值不同，当特征维数为5×r时，利用下列表达式描述从并行数据的非负矩阵中提取到的时频特征集合Features为

(19)

各时频特征参量计量单位不统一，采用下列归一化法处理特征参量[10]

(20)

式中，经过归一化处理的特征值为xn，取值范围是0

归一化处理后的并行数据特征数值不再受计量单位影响，信号输入值的通常取值范围是[0，1]。基于上述分析，完成了并行数据的时域特征提取。

3 实验研究

3.1 实验环境

为验证所提方法的综合有效性，进行实验分析。实验在MATLAB 7.0 平台上进行，实验的操作系统为WINDOWS 10,其运行内存为8 GB,具体实验环境如图1 所示。

图1 实验环境

3.2 实验参数

实验参数如表1 所示。

表1 实验参数

3.3 实验方案

根据并行数据特征建立网络环境中的信号模型，如下所示

+β(t)+w(t)

(21)

式中，参数T=1s{t(s)：0≤t-tk<1}，采样率fs取值为1024Hz，并行数据中目标数据1的时延t1取值0.5，常数a1、b1分别取值为13与18，目标数据2的时延t2取值0.8，常数a2、b2分别取值为10与14，高次相位信号为β(t)=150t3+24t2+53t，复高斯白噪声为w(t)。

为验证所提方法的有效性，分别采用所提方法、线性判别分析的时频域特征提取以及盲源分离的混合信号时频域特性提取方法进行并行数据时域特征的提取，分析其特征提取的抗干扰能力和提取的精度。

3.4 仿真结果分析

3.4.1 不同方法特征提取抗干扰能力分析

为了验证所提方法的综合有效性，实验分析了所提方法、基于线性判别分析的时频域特征提取算法以及基于盲源分离的混合信号时频域特性提取方法，在提取并行数据信号时域特征时时的抗干扰能力，实验结果如图2 所示。

图2 不同方法特征提取抗干扰能力对比

分析图2可以看出，在相同噪声环境下，采用三种方法进行并行数据特征提取的抗干扰能力存在一定差异。其中，采用所提方法进行并行数据时域特征提取的频率变化与理想状态较为吻合，获取的特征始终保持在0～2 kHz 之间，而其它两种方法的特征提取后存在一定程度的波动，相比之下，所提方法的抗干扰能力较强。这是由于所提方法在进行特征时域提取之前对数据进行了重构，进而提高了所提方法提取时域特征的干扰能力。

3.4.2 不同方法特征提取精度分析

为了验证所提方法的科学有效性，实验分析了所提方法、基于线性判别分析的时频域特征提取以及基于盲源分离的混合信号时频域特性提取方法的特征提取精度，实验结果如图3 所示。

图3 不同方法特征提取精度对比

分析图3 可知，随着迭代次数的改变，三种方法提取并行数据时域特征的精度存在较大差距。其中，所提方法的提取精度最高可达约98 %，而其它两种方法的提取精度低于所提方法。这是由于所提方法调整参数，对其进行数据压缩，在获取的频域基向量以及相应时域位置向量后，提取尖锐度、导数平方和、信息熵、稀疏度等时频特征参量，进行归一化处理，提高了特征提取的精度。