车身响应面模型参数的拉丁超立方采样仿真

张忠元，矫承轩，桑 涛，张起勋

(1. 吉林大学汽车工程学院，吉林 长春 130025；2. 吉林大学机械与航空航天工程学院，吉林 长春 130025)

1 引言

车辆原材料参数对汽车驾驶的稳定性和安全性具有较大影响，当车辆的参数发生异常变化时，会导致转向沉重、轮胎过度磨损以及很难保持直线行驶等问题，导致车辆性能下降，因此如何提高车辆质量和性能，是现阶段研究的重点问题。

文献[1]提出一种基于响应面模型的连杆轻量化研究方法，以液压滚切剪的连杆机构为研究对象，利用超拉丁试验设计选择合适的设计变量，结合结构有限元分析，在保证刚度、强度的前提下，以连杆的整体质量为目标函数，建立多项式响应面模型，然后利用遗传算法对所建立的模型进行优化求解，得出最佳的参数组合。实验结果表明，采用该方法优化后的零件在重量上比原结构减轻了25.41%，但是该方法的耗时较长；文献[2]提出一种基于响应面方法的轴承多应力加速模型建模与验证方法，分析真空、温度、预紧力、转速、微重力环境下，液体润滑轴承的界面微观失效模式及机理，推导和建立考虑上述多应力综合作用机理的微观接触统一润滑模型，基于改进牛顿-拉夫逊法的数值解算方法，设计5因素5水平的正交仿真方案，开展真空、温度、预紧力、转速、微重力的失效规律仿真与分析，获得微观接触界面膜厚、压力峰值、摩擦系数、最大下表面应力随应力水平及接触区尺寸变化的失效响应值，建立基于响应面方法的多应力加速模型，并对其进行试验验证及工程应用。该方法有助于提高车身质量，但在设计中蕴含的参数较多，只能处理小规模采样，无法处理大规模采样，所得样品的精度较低。

针对上述方法中存在的不足，本文提出运用二阶响应面近似模型进一步阐述参数变化与设计变量之间的关系，利用超立方采样方法，在较大的设计空间内进行合理划分并准确采样，采样的次数较低，并且充分保证了大量设计参数的均衡性与精确度，很大程度上提高了模型精度。

2 车身响应面模型参数分析

2.1 车身质量评价指标确定

车身比较容易造成的质量缺陷主要是破裂缺陷，这是在受到较大冲击或拉伸时发生的状况。通常在出现缺陷时，会增加大量的经济和时间成本，因此运用参数优化对其质量进行有效改善[4]。

在生产过程中所输入的参数含有较大的随机性。针对不同生产批次的原材料，其属性会在一定范围内产生波动，摩擦条件随着模具的摩损而产生变化，设备设置也随着环境的变化而发生改变。此时所输入参数波动会造成板料成形过程的不稳定，从而导致出现较高的废品率T。

(1)

在式(1)中，t0为车身的原始厚度，tf为车身受到撞击后的厚度。

当料板在拉延成形时的减薄率越大，那么拉裂的程度就更加显著。故通过减薄率可以较为直观的对料板的破裂程度进行综合评价，且预测的准确性较高[5]。根据产品的不同特性，所要求的最大减薄率合格的标准不同，根据目标对象的实际要求而言，最大减薄率不高于30%，那么此产品便是合格的。

增厚率H的表达式为

(2)

其中，hf所描述的是拉延结束后的料板的厚度，h0所描述的是料板的原始厚度。

增厚率被作为衡量料板的起皱程度。当最大增厚率越大，那么料板在拉延成形过程中的起皱变得尤为显著。在实际生产中的最大增厚率不高于5%，那么此产品便是合格的。

2.2 响应面模型建立

响应面方法又可以当作是建立一种近似模型，需要对设定设计空间进行试验操作，拟合输出变量的整体逼近来代替真实的响应面[6]。合理运用响应面方法建立近似模型时，需要确定近似函数形式，并根据统计实验设计方法在设计空间中选择合适并且充足的设计点，然后利用最小二乘法原理获得近似模型来拟合设计点的分析结果。近似模型的操作流程如图1所示。

图1 近似模型的构建流程

响应面法能够对多个变量进行建模和有效分析。根据对整个过程的回归拟合和响应曲面等绘制，可以更加便捷的获取到与其相对应的各个因素水平的响应值。在此基础上，能够寻找出预测的响应最优值以及相对应的实验条件。呈现出响应面与多个变量之间存在关系。在车身响应Y和变量x两者间满足函数相关性，其表达式为

Y=y(x)+ε

(3)

(4)

式中，φi(x)作为响应面的基函数，a0为初始系数，ai为基函数的系数，N为基函数的个数。

依据式(4)获得一阶和二阶响应面近似模型的公式如下

(5)

(6)

获取与M>(M1.5N)个样品点所对应的响应量y=(y(1)，y(2)，…，y(M))T之后，运用最小二乘法运算获得基函数系数列阵，其表达式为

a=(ΦTΦ)-1(ΦTy)

(7)

式(8)中，Φ所描述的是响应面样品点矢量，根据二阶多项式响应面获得，其表达式为

(8)

根据设计空间层面的设计样品点，进一步确认矩阵Φ与相对应的响应矢量y，然后将其引入到式(7)中，就能够运算出响应面近似模型的系数列阵a，从而获得响应面的准确表达式。

设计样品点的适当选取被作为响应面近似模型构建精度的主要因素之一[7]。针对设计变量较多的现象，在大型空间中怎样进行准确采样，需要运用拉丁超立方方法进行合理设计，按照等概率随机正交分布的原则，能够通过较少的试验点从而获得较高精度的响应面近似方程。

构建的响应面模型是否能够反映优化目标和设计变量两者间的统计规律，需根据确定性系数进一步实施检测。其表达式为

(9)

其中，SSTotal和SSModel分别表示为

(10)

(11)

3 拉丁超立方采样方法

拉丁超立方采样作为一种极其特殊的多维分层采样方法，被大范围的应用于现实工程中。在此方法中，采样点的分布具有均匀性，可以很快速地达到收敛的效果。

拉丁超立方采样在各个设定好的集合内只能随机采取一个样品点，在很大程度上避免了样品点坍塌的现象[9，10]。若采样目标是N维，那么采样的次数将是M次。因此采用的过程能够代表为在N维向量空间内采取了M个样品，设定各个维上实施的均是0-1的平均采样。将N×M的矩阵A保存期间过程，N×M的矩阵B保存最终的样品点坐标。拉丁超立方采样具体过程如下所示：

把各个维都平均分为M个同等集合，各个集合之间的长度是1/M。之后将一个子集(0-1/M)内可重复的随机采取N个值P11，P21，…PN1，重新构成一个新的集合(P11，P21，…PN1)，将其代表为矩阵A的第一列[11]。与其相同，可以在第二个集合内获得(P12，P22，…PN2)，将其代表为A的第二列。诸如此类，直到矩阵A的各个列全部被填满。如式(13)所示

(12)

之后把矩阵A内各个行的顺序进行更改，从而获得矩阵B，其表达式为

(13)

在式(13)中，x，y，z，o，p，q，r，s，t=1，2，…，M。将矩阵B的各个向量作为单独的样品点，矩阵B代表最后采样的M个样品点。

为了能够全方面的进行评估设置目标函数G(L)，采样结果的表达式为

(14)

当G(L)的数值越小，那么采样所得结果的性能就越优质。可得出G(L)的表达式为

(15)

拉丁超立方采样流程如图2所示。

图2 拉丁超立方采样流程

设置一个生成函数h(x)，其平均值为E(h(x))的无偏差估计表达式如下

(16)

无偏差估计的方差值表达式即

D()=D(h(x))/N

(17)

可以获得拉丁超立方的无偏差估计方差，表达式即

D()=D(h(x))/N+(N-1)cov(h(x1n))，(h(x2n))/N

(18)

式中，(N-1)cov(h(x1n))，(h(x2n))/N的概率接近负值，采用拉丁超立方采样方法更加便于收敛[12]。

拉丁超立方采样方法具有有效的空间填充力，拟合非线性能力强。为了能够使拉丁超立方更具有均衡性，使因子与响应面的拟合程度更加精确，设计了采样图如图3所示。

图3 拉丁超立方二维变量采样图

4 仿真分析

为了验证车身响应面模型参数的拉丁超立方采样的综合有效性，需要进行仿真。实验环境为：Windows 7(64位)操作系统，CPU频率为1.90 GHz，内存为16.0 GB，在Matalb平台上进行仿真处理。实验指标为相关系数误差、运算时间和减薄率，其中相关系数误差可以直接方法的精度，其数值越低方法的准确性越高；运算时间可以反映该方法的效率，其数值越低表示方法的性能越好；减薄率可以进一步反映方法的性能，其数值越高表示方法的有效性越好。以本文提出的方法为实验组，以文献[2]方法为对照组。

4.1 相关系数误差对比实验

将本文所提方法比文献[2]方法的相关性控制效果进行比较分析，运用样品相关系数和目标相关系数两者之间差值的均方根EC作为评价指标，其表达式如下

(19)

图4 相关系数误差对比图

由图4可知，当样品数量不断增大时，随机产生的样品矩阵相关性也不断变化。文献[2]方法所得的相关系数波动性较大，相关系数值在0.10-0.18范围内，而利用本文所提方法得出的相关系数波动范围很小，且随着样本数的增加，相关值始终在0.48以下。相关系数误差数值越低，表示方法的准确度越高，通过以上数据可以证明，本文方法的精度更高，能够用样本值精确反映出变量之间的相关性。这是因为本文方法通过确定性系数来反映模型的优化目标和设计变量之间的规律，能够提高其精度。

4.2 运算时间对比实验

为了检验本文所提方法的有效性，将两种方法的运算时间进行比较，表1作为两种采样方法下所耗费的时间。

表1 相关性控制方法运算时间对比

从表1中可以看出，在运算过程中文献[2]控制方法的运算时间在0.70-3.44s之间，而本文所提方法比文献[2]方法更加节省时间，其运算时间在0.67-3.36之间，平均运算速度均提高0.03秒以上，证明本文方法收敛速度更快，效率更高。这是因为本文方法采用拉丁超立方采样法，能够合理划分设计空间内的样品点，并获得目标函数的最小值，从而降低方法的运算时间。

4.3 减薄率对比实验

为了进一步检测本文所提方法的综合性能，对两种方法的减薄率进行测试，实验结果如下。

通过图5可知，不同实验次数下，文献[2]控制方法的减薄率在34%-63%之间，而本文所提方法的减薄率在80%-92%之间，始终明显高于传统方法。减薄率越高拉裂程度越明显，方法的性能越好，通过以上数据能够证明本文方法的有效性更好。这是因为本文方法通过优化参数，实现对车身质量的综合评价，从而得到参数的最大减薄率。

图5 减薄率对比图

5 结论

综合考虑汽车车身极其容易受到外界因素影响，造成车身出现磨损、破裂、划痕等损害。基于此对车身响应面不确定性参数进一步实施研究。首先设计近似模型，然后运用拉丁超立方采样方法，在设计空间内进行合理划分，能够提高模型的精度，从而保证产品的质量。仿真结果表明：本文所提方法相比其它方法在检验时准确性更高，运算时间更短，具有显著优越性、适用性以及高效性。