浅析函数极限的两种求解方法

颜云

摘要：函数极限是微积分学的基本概念之一，而求解函数极限的方法则是研究函数的重要工具。因此，本文就如何利用一些求解函数极限的两种基本方法展开论述，包括递推形式的函数、洛必达法则。本文把每一种方法的使用特点和前提作了详细说明，再借助一些经典案例加以对比分析，并在过程中渗透每一种解题的思路，旨在能够熟练地的应用这些方法作为求解函数极限地有力手段。

关键词：函数极限;洛必达法则;递推形式

1.递推形式求极限

有些数列常利用递推形式给出，则完成这样的一些函数极限的求解问题时，一般可以利用單调有界定理求解函数极限。

定理1^[1]（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限.

要点：假如可以利用某种方法证明递推数列的极限存在，然后对此递推式的两边取极限，便可以得到关于所设极限值为A的方程，解此方程即得A值.

①判断“单调性”的常用方法：

： 当时：单调递增 当时：单调递减

： 当时：单调递增 当时：单调递减

若则当时：单调递增;当时：单调递减

②判断“有界性”的常用方法：

基本的不等式 数学归纳法 利用单调性 从数列递推关系式中观察

例1^[3]证明数列{}收敛，其中，. 并求极限.

分析：首先利用基本不等式进行“有界性”的判定，其次根据极限式的特征利用“作商”来判断单调性.

证明 由题意可得： 所以{}有下界

又由于： 所以{}单调递减，从而依据单调有界定理可知：存在 对两边取极限可得：

解之可得：.

2.利用洛必达（LHospital）法则求解函数极限

（1）要点

每次使用洛必达法则之前，务必要看清它是否属于可使用洛必达法则的几种常见的不定式极限型，否则不可使用。洛必达法则是求解不定时极限的常用方法，而且几种常用的等价关系也变得十分明显易记。

例1求极限.

分析：对于本题所求极限式，首先应当进行三角恒等变换，然后不断地使用洛必达法则进行求解.

解 原式

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参考文献：

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[4] 费定辉，周学圣.吉米多维奇数学分析习题集题解[M].济南：山东科学技术出版社，2003，2：33-39.