一类二次奇摄动问题的角层近似解的构造

钟家伟，凌婷婷，刘树德

(安徽信息工程学院，安徽 芜湖 241000)

1 引 言

在工程技术和科学问题的应用领域中，会出现各种边界层和内层现象。由于问题的非线性、非均匀性和边界条件的一般性，人们通常只能求其近似解，而各种摄动方法则是求近似解的有力手段。通过对边界层或内层的构造，有助于弄清解的解析结构，更重要的是能够提供有效的近似解。

有许多方法可用于处理出现边界层和内层现象的奇摄动问题，其中角层问题通常运用微分不等式理论和方法。[1-3]通过构造适当的不等式，对所论问题的解作出先验估计。但该方法仅给出精确解与退化解之间的一个估计，未能构造出具有角层性质的校正项。

为此，本文考虑改用匹配渐近展开法。[4-9]先确定角层的位置，求出两个不同尺度的内、外展开式，其中每一个展开式在一部分区域上有效，并使相邻展开式的有效区域相互重叠，然后按匹配原则进行匹配，形成在整个区间上一致有效的复合展开式，从而得到该问题具有角层性质的近似解。

2 主要结果

考虑如下形式的二次边值问题

εy″=f(x)(1-y′2)，0

(1)

y(0)=A，y(1)=B

(2)

其中:ε>0为小参数;f(x)为区间[0，1]上的光滑函数且f(x)>0;A，B为给定常数满足|A-B|<1。

先确定问题(1)，(2)内层的位置。设外展开式为如下幂级数形式

y(x)～y0(x)+εy1(x)+…

(3)

将(3)代入(1)，由ε0系数相等得退化方程

(4)

的情形。容易求出

分别是方程(4)满足边界条件y(0)=A和y(1)=B的解。外部解的零次近似可取为

由于

因此问题(1)，(2)的解在x=x0处出现角层现象，即当ε→0时，在x=x0附近急剧的变化不是发生在解的本身，而是在它的导数上。具有这种性质的解也称为角层解。

∞∞.

(5)

设角层解的内展开式为

(6)

将(6)代入(5)，有

ε1-2λ(Y0″+εγY1″+…)=[f(x0)+…][1-ε-2λ(Y0′+εγY1′+…)2]

(7)

从(7)式看出，若Y0′≠0，则不能确定特异极限λ。当即为常值函数时，按平衡条件得

1+γ-2λ=2γ-2λ

由此可确定γ=1，且特异极限对应于λ=1。

根据匹配原则，若使一项外展开式与一项内展开式进行匹配，应有

Y0(-∞)=Y0(+∞)=y0(x0)

(8)

∞∞

在(7)式中取γ=λ=1，则O(1)项所满足的方程为

∞∞

(9)

记f(x0)=σ(σ>0)，将(9)改写为

(10)

再应用匹配原则，若使一项外展开式y0(x)与两项内展开式进行匹配，应同时满足(8)和

Y1(-∞)=Y1(+∞)=0

(11)

于是

∞

类似讨论得到

∞

现在将一项外展开式y0(x)与两项内展开式相加并减去它们的公共部分y0(x0)，形成复合展开式

当0≤x≤x0时，

当x0≤x≤1时，

因此区间[0，1]上，复合展开式写为

即问题(1)，(2)的解在x=x0处出现了角层。

例考虑边值问题[6]

εy″=x2(1-y′2)，0

(12)

y(0)=1，y(1)=1

(13)

这是问题(1)、(2)的类型，其中函数f(x)=x2，常数A=B=1满足|A-B|<1。由此算出因此，问题(12)，(13)在处出现了角层，且角层解可表示为

这与文献[6]通过直接构造所得的结果是一致的。

3 结束语

本文考虑的二次奇摄动问题常常出现在应用领域中，但有关它的研究论文却相对较少。由于微分方程中含有y′的平方项，给构造边界层或内层的校正项带来一定的困难。例如，在一般情况下，按照匹配原则使一项外展开式与一项内展开式进行匹配，便可得到满足边界层或内层性质的校正项，但在本例中，需要用一项外展开式y0(x)与两项内展开式进行匹配才满足匹配条件的要求。

另一方面，在匹配方法上，当外展开式与内展开式的项数不相同时，通常用Van Dyke匹配原则[5]或中间变量匹配原则[6]，匹配过程比较复杂；而本文仍采用相对简单的Prandtl匹配原则[7]，这是匹配技术上的一点创新。