洪水频率分析中历史洪水和古洪水排位方法的统计试验研究

康 有

(中国电建集团成都勘测设计研究院有限公司，四川 成都 610072)

1 研究背景

科学合理的设计洪水是水利水电工程规划设计的首要任务，一直是工程水文设计领域的热点和难点问题之一[1]。目前，国内外设计洪水主要包括数理统计法和成因分析法。数理统计法即为洪水频率分析途径，根据实测洪水系列，采用概率论与数理统计的原理和方法，直接计算设计洪水[2]。成因分析法即为水文气象分析途径，首先根据实测暴雨系列，计算设计暴雨；然后结合流域产汇流过程，间接计算设计洪水[2]。目前我国设计洪水主要采用洪水频率分析途径，直接利用实测洪水系列估计洪水理论总体分布的参数，并据此将频率曲线外延，推求稀遇频率的洪水设计值[3]。

通过在实测洪水样本系列中加入历史洪水或古洪水资料，进一步扩展洪水考证期，组成不连序洪水样本系列，进行洪水频率分析，为确定洪水频率曲线在稀遇频率的外延趋势提供了有力支撑，显著提高了洪水频率分析的可靠性和稳定性，这已成为我国水利水电工程设计洪水的宝贵经验[4]。我国曾广泛开展了大规模的历史洪水调查和历史文献查阅工作，积累了丰富的历史洪水资料，其考证期一般在100～200 a，使得洪水考证期得到大幅扩展[5]。现行SL 44—2006《水利水电工程设计洪水计算规范》中针对考虑历史洪水的非连序洪水系列，采用钱铁(1964年)提出的经验频率修正公式(简称“钱穆公式”)计算实测和历史洪水的经验频率[6]。古洪水研究能够得到比历史洪水考证期年代更远的距今数千年的稀遇洪水记录，其考证期一般在1 000～2 000 a，可使设计洪水从外延变为内插，有效提高了设计洪水的可靠性[7]。实际中常将古洪水资料和历史洪水资料同等看待，进行洪水分级排位，其经验频率采用钱穆公式进行计算。但是，古洪水研究得到的洪水常为极端的、稀遇的非常洪水，其量级显著大于实测洪水和历史洪水[8]。在古洪水的考证期内往往会遗漏同等量级的古洪水，其排位存在不可忽略的误差；且距离首大历史洪水的时间间隔非常长。在历史洪水的考证期内遗漏较大的历史洪水的可能性较小，其排位误差可以忽略不计；且距离首大实测洪水的时间间隔相对较短。因此，以往将古洪水看作一般量级的历史洪水，组成一个历史洪水系列，按照钱穆公式计算经验频率，进行洪水频率分析将可能存在系统性的偏差。

本文采用我国洪水频率分析推荐使用的P-Ⅲ型分布，采用统计试验途径研究古洪水和历史洪水资料在洪水频率分析中的排位方法对洪水设计值的影响，以便进一步提高设计洪水成果质量。以长江干流宜昌水文站设计洪水为例，计算其不同排位情况下的洪水设计值，以期为长江流域水利水电工程规划设计提供更加可靠合理的设计洪水依据。

2 方法原理

2.1 理论分布线型

假定所研究的洪水随机变量X服从P-Ⅲ型分布，记作X～Г(x;a，α，β)。假设洪水随机变量X的简单随机样本为(X1，X2，…，Xn)，定义X(m)取(X1，X2，…，Xn)中从大到小排列的第m项数值，令P(Xm)=P(m)，则有从小到大排列的频率序列P(1)≤P(2)≤…≤P(n)，称P(m)为频率次序统计量[9]。我国现行规范中规定：采用频率次序统计量P(m)的期望值E(P(m))作为适线法的绘点位置，其计算公式为E(P(m))=m/(n+1)。E(P(m))只与样本容量n和次序m有关，而与采用的概率分布函数形式无关。

2.2 洪水频率分析

构建基于SCE-UA算法的优化适线法，以P-Ⅲ型分布作为理论总体概率分布，进行参数估计，称为优化适线法(Curve Fitting Optimization，简称“CFO”)。其中，优化变量选取Ex、Cv与Cs/Cv，适线准则采用离差绝对值和准则，求解算法采用精度高且运行效率快的SCE-UA算法。连序洪水系列的绘点位置采用数学期望公式进行计算，非连序洪水系列的绘点位置采用钱穆公式进行计算[10]。

2.3 统计试验方法

采用一种基于拉丁超立方抽样的蒙特卡洛统计试验方法(即Latin Hypercube Sampling & Monte Carlo Statistical Test，简称“LM”)，根据给定的洪水频率总体分布统计参数，进行独立重复抽样生成500个服从P-Ⅲ型分布的洪水模拟系列，计算每个系列的统计参数值(Ex、Cv与Cs)和给定频率P的洪水设计值XP，以检验各种方法的优劣[11]。

设定P-Ⅲ型总体分布参数的取值Ex=100，Cv=0.3、0.4、0.5，Cs=2.5、3.0、3.75Cv、4Cv、5Cv，见表1。统计参数值和频率设计值的无偏性及有效性分别以标准平均绝对误差(NMAE)和标准均方根误差(NRMSE)为标准进行定量评价，见表2。各组方案的统计试验次数Ns取500次，样本容量n取50，设计频率P取1%，0.5%，0.2%，0.1%。

表1 统计试验选用的洪水频率分布统计参数

表2 参数估计方法优劣评价指标及其含义

在各种统计试验方案中，将古洪水或历史洪水作为已知，其量级和考证期均保持不变，分析各统计参数方案下的洪水设计值变化规律，设置6种古洪水和历史洪水计算方案如下：①基准方案U，不考虑古洪水和历史洪水。②方案A，古洪水个数取1个，量级取频率P=1/1 000设计值；历史洪水个数取1个，量级取频率P=1/150设计值。③方案B，古洪水个数取1个，量级取频率P=1/1 000设计值；历史洪水个数取2个，量级取频率P=1/150、P=1/120设计值。④方案C，古洪水个数取1个，量级取频率P=1/1 000设计值；历史洪水个数取3个，量级取频率P=1/150、P=1/120、P=1/100设计值。⑤方案D，古洪水个数取3个，量级取P=1/1 000、P=1/900、P=1/800设计值；历史洪水个数取1个，量级取频率P=1/150设计值。⑥方案E，古洪水个数取3，量级取频率P=1/1 000、P=1/900、P=1/800设计值；历史洪水个数取2个，量级取频率P=1/150、P=1/120设计值，其考证期N2=150。⑦方案F，古洪水个数取3个，量级取频率P=1/1 000、P=1/900、P=1/800设计值；历史洪水个数取3个，量级取频率P=1/150、P=1/120、P=1/100设计值。

3 统计试验

3.1 排位方法

古洪水和历史洪水的洪水分级排位方法一：古洪水考证期内不进行洪水系列排位，各古洪水的重现期等于各自的考证期；历史洪水考证期内进行洪水系列排位，各历史洪水的经验频率采用数学期望公式计算；实测洪水期内进行洪水系列排位，各实测洪水的经验频率采用钱穆公式计算。

古洪水和历史洪水的洪水分级排位方法二：古洪水考证期内进行洪水系列排位，各古洪水的经验频率采用数学期望公式计算；历史洪水考证期内进行洪水系列排位，各历史洪水的经验频率采用数学期望公式计算；实测洪水期内进行洪水系列排位，各实测洪水的经验频率采用钱穆公式计算。

古洪水和历史洪水的洪水分级排位方法三：古洪水考证期内进行洪水系列排位，各古洪水的经验频率采用数学期望公式计算；历史洪水考证期内进行洪水系列排位，各历史洪水的经验频率采用钱穆公式计算；实测洪水期内进行洪水系列排位，各实测洪水的经验频率采用钱穆公式计算。

3.2 试验结果

(1)参数值统计特性。从参数值的无偏性来讲，相对于基本方案U，方案A可以显著地提高CFO方法的无偏性；随着古洪水或历史洪水个数增加，CFO方法的无偏性变劣，见图1～3。从参数值的有效性来讲，相对于基准方案U，方案A可以显著地提高CFO方法的有效性；但是随着古洪水或历史洪水个数的增加，均会降低CFO方法的有效性，见图1～3。

图1 CFO方法参数值的无偏性和有效性(方法一)

图2 CFO方法参数值的无偏性和有效性(方法二)

图3 CFO方法参数值的无偏性和有效性(方法三)

(2)设计值统计特性。从设计值的无偏性来讲，相对于基本方案U，方案A可以显著地提高CFO方法的无偏性；随着古洪水或历史洪水个数增加，CFO方法的无偏性变劣；见图4～6。从设计值的有效性来讲，相对于基准方案U，方案A可以显著地提高CFO方法的有效性；但是随着古洪水或历史洪水个数的增加，均会降低CFO方法的有效性；见图4～6。考虑古洪水或历史洪水的CFO方法计算的设计值有效性整体上优于没有考虑古洪水或历史洪水的CFO方法。

图4 CFO方法设计值的无偏性和有效性(方法一)

图5 CFO方法设计值的无偏性和有效性(方法二)

图6 CFO方法设计值的无偏性和有效性(方法三)

3.3 对比分析

从参数值的无偏性来讲，3种排位方法的参数值无偏性指标NMAE分别为-8.06、-0.76、-5.41；参数值有效性指标NRMSE分别为15.89、11.06、13.63，见图7。由此可见，基于排位方法二的CFO方法在参数值统计特性方面最优。

图7 基于3种排位方法的CFO方法的参数值无偏性和有效性

从设计值的无偏性来讲，3种排位方法的设计值无偏性指标NMAE分别为0.88、2.35、3.66；设计值有效性指标NRMSE分别为1.23、2.58、3.72，见图8。由此可见，基于排位方法一的CFO方法在设计值统计特性方面最优。

图8 基于3种排位方法的CFO方法的设计值无偏性和有效性

综上所述，从统计参数值和频率设计值的无偏性及有效性整体上来讲，基于排位方法二的CFO方法统计特性方面整体上最优。另外，古洪水或历史洪水的个数增加均会使CFO方法统计特性变劣。因此，在实际工作中应根据资料条件开展历史洪水调查或古洪水研究工作，重点放在确定首大洪水的量级和考证期上，以进一步提高设计洪水成果质量。

4 实例分析

4.1 洪水样本系列

宜昌水文站位于长江三峡水利枢纽三斗坪坝址下游约43 km，控制流域面积100.55万km2，占全流域面积的55%，是控制长江上中游来水来沙的咽喉。宜昌站的水文资料观测始于1877年4月，其资料系列长且翔实，并具有可靠的历史洪水资料。考虑到三峡水库于2003年开始蓄水，采用宜昌站1877年～2002年共计126 a年最大洪水系列，8次可定量估计流量的历史大洪水，以及3次古洪水(包含1870年大洪水)。20世纪90年代，经过古洪水研究后，距今2 500 a以来未发现比1870年更大的洪水，则1870年大洪水的考证期为2 500 a[12]。

4.2 无历史洪水的洪水频率分析

根据宜昌站1877年～2002年共计126 a年最大洪水系列，首先采用线性矩法计算统计参数初始值；然后采用基于SCE-UA算法的优化适线法，绘点位置采用数学期望公式计算，优化变量选取Ex、Cv与Cs/Cv，适线准则采用离差绝对值和准则；不考虑历史洪水和古洪水的宜昌站洪水频率曲线见图9。

图9 宜昌站洪水频率曲线示意(实测洪水)

4.3 有历史洪水的洪水频率分析

将宜昌站126 a实测洪水系列、8个历史洪水及3个古洪水(包含1870年大洪水)共同组成一个非连序洪水系列，进行年最大洪水频率分析计算。根据第3节中3种古洪水和历史洪水的洪水分级排位方法，计算统计参数值及洪水设计值。考虑历史洪水和古洪水的宜昌站洪水频率曲线见图10。

图10 宜昌站洪水频率曲线示意 (实测洪水+历史洪水+古洪水)

4.4 对比分析

对比有无历史洪水时宜昌水文站的统计参数值(Ex、Cv、Cs)和设计洪水值XP见表3。

由表3可知，基于排位方二的CFO方法计算的频率P=1%、0.5%、0.2%、0.1%的洪水设计值与不考虑历史洪水的CFO方法计算的洪水设计值之间相对百分比平均值为15.4%。这说明，加入历史洪水或古洪水资料后，洪水设计值将会变大。

表3 宜昌站洪水频率分析计算成果

5 结 论

本文研究了古洪水和历史洪水资料在洪水频率分析中排位方法对洪水设计值的影响，并分析评价了古洪水和历史洪水对设计洪水的作用，为具有古洪水和历史洪水资料的非连序洪水样本系列的洪水频率分析计算提供了试验依据，其研究结论如下：

(1)考虑古洪水或历史洪水的CFO方法的统计特性整体上优于不考虑古洪水或历史洪水的CFO方法，尤其以有效性改善最为显著；随着古洪水或历史洪水个数的增加，均会降低CFO方法的无偏性、提高有效性。

(2)从统计参数值和洪水设计值的无偏性及有效性整体上来讲，基于排位方法二的CFO方法统计特性方面整体上最优；也就是，古洪水的经验频率采用数学期望公式计算，历史洪水的经验频率采用数学期望公式计算，实测洪水的经验频率采用钱穆公式计算。

(3)在实际工作中应根据资料条件开展历史洪水调查或古洪水研究工作，重点放在确定首大洪水的量级和考证期上，以进一步提高设计洪水成果质量。