解答平面向量夹角问题的几个办法

葛玮

平面向量夹角问题一般重点考查平面向量的基本运算，对同学们的运算能力有较高要求.一般情况下， 我们采用公式法来求解，当遇到复杂的问题时，为了简化运算，需要灵活运用坐标法和几何法来求向量的夹角.下面我们结合实例进行说明.

一、采用公式法

公式法是求解平面向量夾角问题的常用方法，主要是运用公式 来求两个向量的夹角.当 cos θ为负值时， θ为钝角;当 cos θ为正值时， θ为锐角.在运用定义法求解向量的夹角时，要先根据向量的数量积公式求出向量的数量积，再分别求出两个向量的模，最后将所得的值代入公式求得两个向量的夹角

在运用公式法求平面向量夹角时，要注意根据题意确定θ的取值范围，从而求得正确的值.

二、利用坐标法

若 ，则 与 夹角的坐标表示为 .运用坐标法求解平面向量夹角问题，需先根据题意建立合适的平面直角坐标系，把所求夹角两边的向量用坐标表示出来，通过坐标运算来求得平面向量的夹角.

例 2.已知正方形 ABCD 的边长为2，  的夹角.

解：如图1，以 B 为原点，BC 所在直线为 x 轴，AB 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系.

则 B（0，0），E（2，23），D（2，2）.

由 知 F 为 BC 的中点，

所以 F（1，0），故

所以 ，

则 的夹角为135°.

我们通过建立平面直角坐标系，给各个点赋予坐标，通过向量的坐标运算分别求得 的坐标， 便可根据夹角的坐标表示求得夹角的大小.

三、借助几何法

运用几何法求解平面向量的夹角问题，要抓住平面向量的几何意义，绘制出合适的三角形和平行四边形，然后灵活运用三角形和平行四边形的性质和相关定理来解题.这就要求同学们熟记平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义.

我们根据已知条件，分别以 为边构造三角形，根据向量减法的几何意义找到 所对应的线段，从而证明△OA′B′为正三角形，利用正三角形的性质求得 的夹角.

上述三种方法都是求解平面向量夹角问题的常用方法，其中公式法是同学们用得较多的一种方法，也是基本方法;坐标法、几何法较为灵活，而运用这两种方法求解能够有效地简化运算.

（作者单位：江苏省常州市金坛第四中学）