求解一道平面向量问题的三种思路

袁精玲

平面向量是联系平面几何和代数的重要桥梁，也是同学们必须学习和掌握的内容.解答平面向量问题可以从不同角度切入来寻找解题的思路，借助不同的知识点来求解.本文以一道题为例，探讨解答一类平面向量问题的思路.

本题主要考查了向量的模的公式、数乘运算法则、数量积公式以及平面向量基本定理.题目中给出的条件较多，我们可以根据题意绘制出相应的图形，然后结合图形来进行分析.我们可以从以下三个角度切入，来寻找解答本题的方案.

角度一：采用建系法求解

建系法也称坐标法，是指通过建立平面直角坐标系，借助平面向量坐标运算法则来解题的方法.在建立平面直角坐标系后，可把向量问题转化为向量坐标运算问题，通过向量坐标运算便可求得问题的答案.对于本题，我们可以以 O 为坐标原点，OA 或 OB 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，然后求出各点的坐标和各个线段的方向向量，根据已知条件建立关系式，便可解题.

角度二：利用数量积公式求解

平面向量的数量积公式：a·b=|a||b|cosθ，其中θ为向量 a、b 之间的夹角.运用平面向量的数量积公式，可以将向量问题转化为代数运算问题，能达到快速求值的目的.对于本题，我们可以将 转化，在该式的左右同乘 ，以便利用向量数量积公式将向量的运算问题转化为代数运算问题.

角度三：借助平面向量的几何意义求解

我们知道，平面向量加法的几何意义是指三角形中两个首位相连的向量的和等于第三边的方向向量，也可以指平行四边形中首尾相连的两个向量的和等于平行四边形的对角线的方向向量.在解答平面向量问题时，我们可以结合平面向量的几何意义构造三角形和平行四边形，然后借助图形来分析问题.

通过对上述三种解法的分析，同学们对平面向量问题的求解方法更加熟悉.我们从第一、二个角度切入，可將平面向量问题转化为代数运算问题，从第三个角度切入，可以将平面向量问题转化为几何问题.在解答平面向量问题时，我们从这三个角度切入，便能快速找到正确的解题思路.

（作者单位：江西省信丰中学）