怎样解答三角函数综合问题

马娟娟

与三角函数有关的综合问题并不少见，此类问题常常将三角函数与向量、不等式、函数、解三角形等知识相结合，侧重于考查同学们的应变能力和综合运用相关知识的能力.下面结合实例来探讨三类三角函数综合问题及其解法.

一、三角函数与向量问题

三角函数与向量问题是一类常见的题目，此类问题一般要求根据已知的向量或者坐标求三角函数的值、解析式、最值等.在解题时，我们需通过向量运算构建出三角函数式，然后通过分析三角函数的图象、性质确定三角函数的最值、单调区间、周期等，从而得出问题的答案.

解答本题，我们需先根据向量的数量积公式化简函数 f （x）的表达式，再根据正弦函数的单调性求得函数的单调递增区间.

二、三角函数与零点问题

三角函数与零点问题主要考查三角函数的性质与解析式.解答这类问题，要先令三角函数 f （x）=0，根据函数的图象和单调性求出函数在某个区间上或1个周期内的零点值，然后根据三角函数的性质，如对称性、周期性等，求出其他區间上或周期内的零点.

我们首先根据函数的解析式求得函数的对称轴和周期，明确函数 内零点的个数，然后结合正弦函数的周期性求得问题的答案.

三、三角函数与不等式问题

三角函数与不等式问题一般较为复杂，侧重于考查三角函数的单调性和不等式的性质.解答三角函数与不等式问题的关键在于，把不等式用同一个单调区间内的函数表示出来，然后根据三角函数的单调性和周期性建立新的不等式，解不等式便可求得问题的答案.

在解答本题时，我们首先运用导数法判断出函数的单调性，然后根据函数的单调性去掉函数符号“ f ”，建立新的不等式组，进而求得原不等式的解集.

与三角函数有关的综合问题有很多，但无论遇到哪一类综合题目，我们都要先将所求目标和已知条件联系起来，求出函数的解析式或将所求目标简化，然后灵活运用相关的知识，如向量的数量积公式、零点与方程的关系、不等式的性质、三角函数的图象、性质来求得问题的答案.

（作者单位：江苏省东台中学）