怎样求解排列组合问题

梁海波

大多数的排列组合问题都与实际生活相关.在解答排列组合问题时，我们一般需从生活实际入手，结合生活经验和两个重要原理：分类计数原理和分步计数原理来解题.本文主要探讨三类排列组合问题的解法.

一、“含有”或“不含有”某些元素的问题

对于“含有”或“不含有”某些元素的问题，我们首先应该明确对元素的特殊要求，然后理清事情发生的各个步骤以及完成每个步骤有多少种方案.在处理“含有”某些元素的问题时，需先将这些元素取出，再安排其他元素;在处理“不含有”某些元素的问题时，则需先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.

例 1.现从两个小组里面选出4名同学参加运动会，每个小组2名同学.第一组有5名男同学和3名女同学;第二组有6名男同学和2名女同学.那么，选出的4名同学里面刚好有1名女同学的选法一共有（）.

A.150种 B.180种 C.300种 D.345种

解析：可以分为两种情况：

①若那1名女同学是从第一组里面挑选出来的，那么需先从第一组的3名女同学中选1名出来，有 种选法，然后再从5名男同学中选1名同学，有 选法，最后从第二组同学中选出2名男同学，有 选法，由分步计数原理可得一共有 种选法;

②若那1名女同学是从第二组里面挑选出来的，那么需先从第二组的2名女同学中选1名出来，有 种选法，然后再从6名男同学中选1名同学，有 选法，最后从第一组同学中选出2名男同学，有 选法，由分步计数原理可得一共 种选法.

由分类计数原理可得满足题意的选法一共有225+120=345种选法.所以正确答案为D项.

要顺利解答本题，我们需先明确“含有”或“不含有”的元素有哪些，即明确每组中男女同学是否需选取，选取多少个，然后确定选取的方案.这里分两种情况进行讨论.

二、“至少”或“至多”含有几个元素的问题

这类问题有些难度，难点在于我们需要对它进行比较繁琐的讨论.为了避免这些讨论，可采用间接法解题，即先将所有符合总条件的事件的数量计算出来，然后再将不满足条件的事件的数量计算出来，最后用总数减去不满足限制条件的事件数，就可以得出答案了.

例2.若把甲、乙、丙、丁4名同学分到3个不同的班级，每个班至少分到1名同学.那么甲、乙不被分到同一个班级的分法有（）种.

A.18 B.24 C.30 D.36

解析：首先从甲、乙、丙、丁4名同学中选出2名同学，有 种选法，然后将其与剩余的两名同学一起分到3个班，有 种分法，由分步计数原理可得一共有 種分法.而甲、乙两名同学被分到同一个班的情况有 种分法，

因此，符合题意的不同情况一共有 种分法.正确答案为 C 项.

针对这种出现“至少”“至多”字眼的问题，直接计算会比较复杂，采用间接法最为简便.对于本题，我们只需先把4名同学分别分到3个不同的班级的总情况全部计算出来，然后再将甲、乙两名同学不被分到同一个班的情况计算出来，最后用总的减去特殊的得到最终答案.

三、元素分组分配问题

解答元素分组分配问题的主要思路是先分组后分配.分组一般有整体均分、部分均分和不等分三种.在均分后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以在分组后一定要除以 An n（n 为均分的组数），避免重复计数.

例 3.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）种.

A.12种B.10种C.9种D.8种

解析：将4名学生均分为2个小组共有=3种分法;将2个小组的同学分给2名教师共有 种分法;最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有 种分法.由分步计数原理可得不同的安排方案共有3×2×2=12种.故选A项.

在分组时，只要有一些组中元素的个数相等，就属于均分（即平均分组）.

总之，解答排列组合问题的关键是，首先明晰问题的类型，看问题中是否有“含有”“不含有”“至少”“至多”“均匀分组”“均匀分配”的字眼，然后灵活运用两个原理来进行求解.值得注意的是，在分类的时候要做到分类标准明确，在分步时要确保每个步骤的先后顺序，这样才不会出现重复或者漏解的情况.

（作者单位：山东省昌乐第一中学）