求函数解析式的常用方法

范欣

求函数的解析式问题属于一类基础性题目，难度一般不大.求函数解析式的方法有很多，如函数性质法、配凑法、换元法、特殊赋值法等.在解题时，我们要根据已知条件和函数类型选择恰当的解题方法.本文重点探讨求函数解析式的三种常用方法：函数性质法、配凑法、换元法.

一、函数性质法

函数性质法是指运用函数的相关性质，如对称性、奇偶性、单调性、周期性等解题的方法.运用该方法解题，同学们要熟练掌握函数的对称性、奇偶性、单调性、周期性.在解题时，先要重点讨论某个区间上的函数解析式，然后利用函数的性质逐步求得其他区间上的函数解析式.

例1.已知函數 y = f （x）为奇函数.当 x ≥0时，f （x）= x 2- 2x ，求函数 f （x）的解析式.

解：令 x <0 ，∴-x >0 ，

而函数为奇函数，∴ f （-x）= -f （x），

又当x ≥0时，f （x）= x 2- 2x ，

∴ f （-x）= （-x）2-2（-x）= x 2+ 2x.

∴ -f （x）= x 2+ 2x ，即 f （x）= -x 2- 2x ，

我们根据奇函数的性质得到 f （-x）= -f （x），于是令 x <0，再根据已知条件求得当 x <0时的函数解析式，进而得到问题的答案.

二、配凑法

配凑法又名配方法，是通过对函数式进行配方，求其解析式的一种方法.配凑法一般适用于求形如 f[g（x）]的函数的解析式.在解题时，往往需要把代数式整理成只含 g（x）的式子，然后用 x 将 g（x）替换，以此得到函数 f （x）的解析式.

例2.已知 ，求 f （x）的解析式.

解：

，

以 x 替换 ，可得

∴ f （x）的解析式为 f （x）= x2- x +1（x ≠1）.

这里，将 视为一个整体，然后将函数式配凑为只含有 的式子，再用 x 将其替换，便能快速求得函数的解析式.

三、换元法

换元法是指根据等量代换原理来求得函数 f （x）的解析式的方法.在解题时，需引入新的变量，将原函数式中较复杂的部分进行替换，把函数式转化为关于新的变量的式子，通过化简得到原函数的解析式.

例3.已知 ，求函数 f （x）的解析式.

解：∵函数 ，

令 ，则 x =2t +3 ，

将其代入 中可得：

f （t）= 2（2t +3）2-（2t +3）+1

= 8t2+ 22t +16.

然后用 x 代替 t ，可得函数 f （x）的解析式 f （x）= 8x2+ 22x +16.

对于此类复合型函数 y = f[g（x）]，在求其解析式时，我们一般用一个新的变量来替换 g（x），得出一个关于变量 t的关系式，继而将函数中的 x 统统用 t 进行替换，如此便可得到一个关于 x 的函数解析式.

例 4.已知 ，则 f （x）的解析式为____.

对于此类函数式中含有根式、分式、绝对值的问题，我们一般采用换元法来求解，将根式、分式、绝对值内部的式子用新的变量代替，进而求得函数的解析式.

总之，在求函数的解析式时，我们要首先根据题意求出函数的定义域，然后灵活运用函数的性质，根据代数式的特点合理进行配凑、换元，进而求得问题的答案.

（作者单位：新疆师范大学附属中学）