常见棱锥外接球球心位置的确定以及半径的求法

2021-11-10姬笑笑

科学与生活 2021年12期

摘要：高中立体几何问题中对于一些常见几何体的外接球球心位置的确定以及求解半径、表面积以及体积来说存在比较大的困难。本文将棱锥进行分类，分为直棱锥，正棱锥，一般棱锥，以及对于对棱相等以及三棱锥中三条棱两两互相垂直的情况进行分类讨论，探讨这几种特征明显的棱锥在确定圆心的通用方法，为高中生本部分的学习提供帮助。

关键词：棱锥、外接球

类型一：正棱锥球心位置的确定

正棱锥在高中几何体部分属于重要类型，由于正棱锥本身的特点：顶点在底面的投影在底面正多边形的几何中心，棱锥的高正好也是顶点与底面投影的连线，同时正棱锥的外接球的球心正好在这条高上。因此，利用勾股定理列出等量关系，外接球的半径就得到解决。

例1：三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，P到平面ABC的的距离为3，在ΔABC中，a= ，A=30°，则该三棱锥外接球的半径R=_________

解析：本题考查正三棱锥的外接球的半径，应首先确定外接球球心的位置，也就是找一点到棱锥所有点的距离都相等。

将立体图形抽离成平面图形为（图1）：

数量关系为：PP'=3，PO=R，OP'=R-3，OA= ，PA=2

求解OA的过程中利用正弦定理，所列的等式为（OP'）2+（P'A）2=（AO）2，根据等量关系求出外接球半径。

本类型题目分为以下几个步骤：（1）找底面多边形的外接圆的圆心（2）过底面多边形外接圆圆心作高（3）利用勾股定理建立等式。

类型二：直棱锥球心位置的确定

直棱锥是指顶点在底面的投影正好在底面多边形的某个定点。直棱锥与正棱锥的区别在于球心所在位置不经过直棱锥的高，而是在经过底面外心的垂线上，所以在解决此类问题时需要经过底面外心作垂线，根据勾股定理列出数量关系。

例2：三棱锥P-ABC，中，PA垂直于平面ABC，PA=2 ，在ΔABC中，a= ，A= ，则该三棱锥外接球的半径R=________

解析：在棱锥中确定的是，经过底面多边形的外心的垂线上的点到底面多边形的每个顶点的距离都相等，因此，在直棱锥中需要解决的问题就是在经过底面多边形的垂线上找一点到顶点和到底面多边形任一端点的距离相等的点。

本题中抽离出的平面图形为（图2）：

所列等式为： 2+r2=R2。PA=d，O'O=r。

现在需要使得OP=OA，所以球心O所在的位置在QO'的中点处。

直棱锥在确定外接球球心所在位置以及确定外接球半径的步骤：（1）确定底面多边形外接圆圆心所在位置;（2）求解底面外心与底面多边形垂直棱的垂心之间的距离;（3）利用勾股定理列等量关系。

类型三：一般棱锥球心位置的确定

一般棱锥因为其一般性，对于经过底面多边形外心的垂线以及棱锥的高都需要作出来，因此在本类型题目中需要的辅助线就有两条。关键点还要解决底面多边形的外心与棱锥的高与底面的交点之间的距离。由于未知量的增加，需利用勾股定理列出两个不等式进行求解。

例3：已知三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=90°，若点P、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的表面积等于（）

解析：本题特殊点在于底面是矩形，几何中心在对角线的交点，并且顶点在底面的投影正好落在了AD的中点。抽离出的平面图形是（图3，图4，图5）：

在等腰三角形PAD中，PA=PD=2，AD=2 ，P点的垂足在AD的中点P'，确定P'点的位置以后，便于确定P'与底面外心O'之间的距离，O为外接球球心，O'为底面矩形外接圆圆心，设OO'=h，O'A=r，OA为外接球半径R。根据勾股定理列等式为h2+（O'A）2=R2。本图中P'P= ，OP=OH=1，在直角三角形OPH中，根据勾股定理列出等式（ -h）2+1=R2。

综述：本题中所列等式为：h2+（O'A）2=R2，（ -h）2+1=R2

O'O=h，OP=1，OA=R，O'A=r，r=

求解一般棱锥外接球半径的方法：

（1）过顶点作底面的垂线;（2）过底面外心作垂线;（3）利用勾股定理列等量关系求解。

类型四：可还原为长方体或正方体的棱锥确定外接球球心的位置

在棱锥确定外接球球心所在未知的题目中，可分为以下几种情况：

1、棱锥的对棱相等，将其还原为长方体，相等的棱看做是长方体一组对面的对角线，通过求解长方体的体对角线来确定外接球的直径。[1]

2、从棱锥的某一顶点出发，有三条两兩互相垂直的棱，可以将这一顶点看作是长方体或正方体的一个顶点，三条两两互相垂直的棱分别为长方体的长宽高，通过对长方体体对角线的求解来确定外接球的直径。[2]

例4：已知在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，AD=AC=BC=BD=3，则该三棱锥外接球的表面积为____________

解析：本类型题目的特点在于所给条件中有两条相对的棱是相等的，在接下来还原立方体的过程中，可以将AB与CD看做长方体相对面的对角线。

例5：三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AB=AC=2，求三棱锥外接球的表面积。

总结：以上列举的几种方法都是在高中几何体求解外接球半径中常见的方法，掌握了这几类方法，对中学生在求解棱锥外接球部分的学习具有促进作用。