类蜂窝夹层结构的力学特性研究

李响，赵恒，余万，李锐

类蜂窝夹层结构的力学特性研究

李响1,2，赵恒2，余万2，李锐2

（1.三峡大学 水电机械设备设计与维护湖北省重点实验室，湖北 宜昌 443002；2.三峡大学 机械与动力学院，湖北 宜昌 443002）

创新设计的类蜂窝夹层结构具有良好的力学性能、吸能特性和更大的设计空间。目前大多研究是将夹层结构的胶粘剂层的厚度忽略不计，并且将整个夹层结构的厚度约等于夹芯层的厚度来进行相关力学性能参数的计算。本文基于Gibson夹层结构胞元理论，考虑胶粘剂层的影响因素，对类蜂窝夹层结构进行力学性能分析；运用复合材料力学和材料力学理论以及应变能等效原理推导出类蜂窝夹层结构的等效力学性能、刚度和等效密度计算公式。本文的研究结论可望为进一步研究新型蜂窝夹层结构提供相应的理论支持。

类蜂窝；夹层结构；力学性能；刚度；等效密度

随着现代工业技术的进步和高端产业的逐渐兴起，航空航天、汽车、船舶以及新兴建筑行业都得到了蓬勃发展，为了能够改进其相应行业产品的应用性能，降低其生产成本，传统的结构材料已经远远不能够满足现阶段的性能需求，各行业迫切需要研究出性能更加优异的新兴材料。而蜂窝夹层结构作为新兴材料的典型代表，它拥有质量轻、效率高和能源节约等特点，并且其相比于均质实体板，具有更高的比强度、比刚度和可设计性，能够根据不同应用背景进行结构设计。王博等[1]通过比较kagome蜂窝与传统四边形结构，六边形蜂窝结构散热承载综合性能比较证明了组合蜂窝的优越性。Kumar等[2]研究了在低速冲击的情况下，铝蜂窝夹芯结构的蜂窝孔尺寸、孔壁厚度、芯层高度等各种参数对吸能特性和冲击力的影响，并确定了考虑多重响应时的最优结构参数。童冠等[3]研究了类方形蜂窝夹芯结构的等效力学性能。李响等[4]提出新型变截面波纹夹层结构采用理论分析与数值模拟的方法研究其下面板角度和波纹夹芯放置方式对该新型波纹夹层结构抗爆炸性能的影响。胡玉琴等[5]总结了应用较多的蜂窝铝夹层板的等效方法，分析了几种各种方法在计算铝蜂窝夹层板的优劣。Wang等[6]研究了一种新型含陶瓷材料的蜂窝夹层结构，对其蜂窝壁厚、蜂窝孔长度以及陶瓷厚度进行了分析，发现夹芯结构的几何构型对弯曲性能影响较大，并且增加陶瓷材料能够很好的提高蜂窝夹芯的力学性能。邱克鹏等[7]利用三维均匀化方法计算蜂窝夹层板结构的整体等效弹性常数，并采用不同等效途径和计算方法全面研究蜂窝夹层结构的等效力学性能。Molavitabrizi6等[8]以相对密度、弹性、强度和破坏准则为设计标准对微观尺度的八边形桁架晶格夹芯进行研究，并结合夹层结构最小重量约束，获得了夹芯的最小所需厚度，经对比发现比原结构减重53%。Potluri等[9]考虑了两种不同的夹芯结构，采用数值分析方法确定了夹芯的力学性能，并开发matlab代码，研究了两种类型蜂窝夹芯的面外特性。Zhang等[10]研究了铝蜂窝夹层结构在压剪组合作用下的力学行为，通过改变加载速度、加载角度和加载平面，提出了理论模型并分析了加载角度对应力的影响情况。Hao等[11]研究了准静态载荷作用下的夹层结构失效模式，并发现确定夹层结构材料后，通过调节面板或芯层厚度能够获得最优的强度重量比。

在总结了近些年国内外学者对夹层结构的力学性能研究发现，目前大多研究都是将夹层结构的胶粘剂层的厚度忽略不计，并且将整个夹层结构的厚度约等于夹芯层的厚度来进行相关力学性能参数的计算。然而，在实际工程应用中，胶粘剂层的厚度与面板层厚度相差较小，对整个夹层结构的力学性能有一定程度的影响，因此，本文将在前人研究的基础上，考虑胶粘剂层对类蜂窝夹层结构各项力学性能参数的影响，对各项力学性能参数的理论公式进行推导。

1 类蜂窝夹层结构的等效力学性能

1.1 类蜂窝夹层结构的拉压弹性模量推导

如图1所示为类蜂窝夹层结构在方向的拉伸示意图。

图1 夹层结构在x方向拉伸示意图

其中t1、t2分别为上、下面板层厚度（长度在本文的单位均为mm），t1、t2分别为上、下胶粘剂层厚度，为类蜂窝夹芯层厚度，为夹层结构宽度。在类蜂窝夹层结构的方向上施加一个拉伸载荷（载荷在本文的单位均为N）。则由力的平衡关系可得，夹层结构反方向上会有一等效应力σ1（应力在本文的单位均为MPa）与其平衡，其平衡关系为：

假设应力分布在上、下面板层的大小为σ1、σ2，在上下胶粘剂层的大小为σ1、σ2，在类蜂窝夹芯层的大小为σ，则等效应力σ与σ1、σ2、σ1、σ2和σ的关系为：

若将方向上、下面板层材料的弹性模量表示为E1、E2（弹性模量在本文的单位均为MPa），拉伸形变量上、下胶粘剂层的弹性模量表示为E1、E2，类蜂窝夹芯层弹性模量为E，根据夹层结构在横向受拉时各层的拉伸形变相等可得：

式中：ε为夹芯层在方向的应变量；ε1、ε2为上、下面板层应变量；ε1、ε2为上、下胶粘剂层应变量；ε为夹层结构在方向的总应变。

由式（3）可进一步推得：

设类蜂窝夹层结构厚度为2，则有2＝＋t1＋t2＋t1＋t2因此式（4）可简化为：

从而可得类蜂窝夹层结构方向拉压弹性模量表达式为：

同理，由类蜂窝夹层结构在平面内呈轴对称结构可得方向拉压弹性模量表达式为：

式中：E1、E2为方向上、下面板层材料的弹性模量；E1、E2为拉伸形变量上、下胶粘剂层的弹性模量；E为类蜂窝夹芯层弹性模量。

1.2 类蜂窝夹层结构的平拉压弹性模量推导

类蜂窝夹层结构的平拉压弹性模量也即方向等效弹性模量，图2所示为类蜂窝夹层结构在方向受压示意图。

图2 类蜂窝夹层结构在z方向压缩示意图

假设在方向受到的压力大小为，N。夹层结构在方向的总应变为ε，可知各层相对压缩量关系为：

式中：ε为夹芯层在方向的应变量；ε1、ε2为上、下面板层应变量；ε1、ε2为上、下胶粘剂层应变量。

把类蜂窝夹芯层等效为均值体，即其在方向能够均匀受力，由于面板层、胶粘剂层和夹芯层为串联结构，则各层在方向所受的应力大小均相同：

式中：σ为类蜂窝夹层结构方向所受的应力大小；σ1、σ2为上、下面板层在方向所受应力大小；σ1、σ2为上、下面板层在方向所受应力大小；σ为类蜂窝夹芯层在方向所受应力大小。

通过联立式（8）和式（9）可求得类蜂窝夹层结构的平拉压弹性模量表达式为：

式中：E1、E2为方向上、下面板层材料的弹性模量；E1、E2为拉伸形变量上、下胶粘剂层的弹性模量；E为类蜂窝夹芯层弹性模量。

1.3 类蜂窝夹层结构的等效剪切模量推导

图3所示为类蜂窝夹层结构受方向剪力时的变形示意图，由图可知各层形变量关系为：

式中：为类蜂窝夹芯层受剪形变量；、分别为上、下面板层形变量；、分别为上、下胶粘剂层形变量。

假设类蜂窝夹层结构的剪应变为γ，上、下面板层的剪应变分别为γ1、γ2，上、下胶粘剂层的剪应变为γ1、γ2，夹芯层剪应变为γ。根据式（11）可进一步推得：

因为夹层结构受到方向的剪力作用，当其在变形时，各层的剪应力（剪应力在本文的单位均为MPa）关系为：

式中：τ为类蜂窝夹层结构剪应力；τ1、τ2为为上、下面板层剪应力；τ1、τ2为上、下胶粘剂层剪应力；τ为夹芯层剪应力，此时类蜂窝夹芯层结构等效为均质体。

由＝可知，当假设类蜂窝夹层结构在方向的等效剪切模量为G（剪切模量在本文的单位均为MPa），上、下面板层剪切模量为G1、G2，上、下胶粘剂层剪切模量为G1、G2，类蜂窝夹芯层的等效弹性模量为G。则联立式（12）和式（13）可得：

同理可推得类蜂窝夹层结构方向的等效剪切模量G表达式为：

式中：G为类蜂窝夹层结构在方向的等效剪切模量；G1、G2为上、下面板层剪切模量；G1、G2为上、下胶粘剂层剪切模量；G为类蜂窝夹芯层的等效弹性模量。

当类蜂窝夹层结构受到方向的剪应力时，其受力变形情况如图4所示，根据力的平衡关系可得：

>式中：τxy为类蜂窝夹层结构剪应力；τfxy1、τfxy2为上、下面板层剪应力；τaxy1、τaxy2为胶粘剂层剪应力；τcxy为夹芯层剪应力，此时类蜂窝夹芯层结构等效为均质体。

因剪切变形协调可得：

式中：γ为类蜂窝夹层结构的剪应变；γ1、γ2分别为上、下面板层的剪应变；γ1、γ2分别为上、下胶粘剂层的剪应变；γ为夹芯层剪应变。

联立式（16）和式（17）可解得：

式中：G为类蜂窝夹层结构在方向的等效剪切模量；G1、G2为上、下面板层剪切模量；G1、G2为上、下胶粘剂层剪切模量；G为类蜂窝夹芯层的等效弹性模量。

2 类蜂窝夹层结构的弯曲刚度

弯曲刚度是表示一个物体在受到力或者弯矩作用时，抵抗其自身变形的能力。弯曲刚度越大，表明其抵抗形变的能力越强。蜂窝夹层结构因为其特殊结构：上、下面板层被上、下胶粘剂层和夹芯层所分开，能够较大幅度的提升其自身的平板截面惯性矩，所以能够在同等质量的情况下拥有更大的弯曲刚度。

图5为类蜂窝夹层结构弯曲示意图，其上面板层和上胶粘剂层受到压缩作用，下面板层和下胶粘剂层受到拉伸作用，而类蜂窝夹芯层主要承受剪切作用，在此处的影响较小，可忽略不计，由于胶粘剂层的弹性模量远远小于面板层弹性模量，而胶粘剂层厚度与面板层厚度相近，所以本章节只考虑胶粘剂层厚度对类蜂窝夹层结构的影响，为简化推导流程，将类蜂窝夹芯层和胶粘剂层合并为内层夹层结构，其厚度可表示为1＝＋t1＋t2。上面板面层材料弹性模量为E1，下面板面层材料弹性模量为E。

图5 类蜂窝夹层结构弯曲示意图

图6为类蜂窝夹层结构的截面示意图，由图可知上面板层因为受到压缩作用所产生的挤压应力为σ1，其相应的压应变为ε1，而下面板层受到拉伸作用，其拉伸应力为σ2，拉应变为ε2，由力的平衡关系化简可得：

根据等效截面惯性矩计算公式，类蜂窝夹层结构等效界面惯性矩可表示为：

根据弯曲刚度＝（本文中刚度的单位均为N·m）可得考虑胶粘剂厚度影响时的类蜂窝夹层结构弯曲刚度为：

3 类蜂窝夹层结构的扭转刚度

扭转刚度作为重要的力学性能指标，能够反映出物体受到扭转作用时，其自身抵抗扭转变形的能力。图7为类蜂窝夹层结构扭转载荷示意图，图8为类蜂窝夹层结构扭转示意图。

为了简化类蜂窝夹层结构扭转刚度计算公式，本章将胶粘剂层和类蜂窝夹芯层视为内层夹层结构，对其进行等效剪切进行推导，图9为内层夹层结构在剪力作用下的形变示意图。

图7 类蜂窝夹层结构扭转载荷示意图

图8 类蜂窝夹层结构扭矩示意图

图9 内层夹层结构受剪示意图

根据力平衡原理和各层形变量关系可得：

联立式（22）～（24）可求得内层夹层结构的等效剪切模量为：

再根据Seide经典公式，当夹层结构面板层材料、厚度且剪切模量相同（t1＝t2＝t）时，

单位宽度（＝1）的夹层结构扭转刚度为：

式中：G为面板层等效弹性模量。

4 类蜂窝夹层结构的等效密度

完整的夹层结构包括上、下面板层，上、下胶粘剂层和类蜂窝夹芯层，本文中重量取单位面积沿厚度方向的重量进行研究，可得：

式中：为单位面积的类蜂窝夹层结构总重量，kg；W1和W2分别为上、下面板层重量，kg；W1和W2分别为上、下胶粘剂重量，kg；W为类蜂窝夹芯层重量，kg；ρ1为夹层结构上面板层（等效）材料密度，kg/m3；ρ2为夹层结构下面板层(等效)材料密度，kg/m3；ρ1为夹层结构上胶粘剂层(等效)材料密度，kg/m3；ρ2为夹层结构下(等效)材料密度，kg/m3；ρ为夹层结构类蜂窝夹芯层等效材料密度，kg/m3。

5 结论

本文运用复合材料力学理论和材料力学相关知识，通过将胶粘剂层的影响考虑在内，以力的等效平衡关系为基础，对其等效力学参数、弯曲刚度、扭转刚度以及等效密度公式进行推导，并得到了各项等效力学性能与各层厚度之间的理论计算公式。

本文的研究结论能够为学者们研究类蜂窝夹层结构优化设计提供相应的理论基础，为设计出满足实际工程应用需求的类蜂窝夹层结构提供技术支持。

[1]王博. 蜂窝结构多功能优化设计[D]. 大连：大连理工大学，2007.

[2]J. Suresh Kumar，K. Kalaichelvan. Taguchi-Grey Multi-Response Optimization on Structural Parameters of Honeycomb Core Sandwich Structure for Low Velocity Impact Test[J]. Silicon，2018，10（3）：879-889.

[3]童冠，李响，梅月媛，等. 类方形蜂窝夹芯结构力学性能研究[J]. 河北科技大学学报，2017，38（6）：522-529.

[4]李响，李锐，徐兴兴，等. 新型变截面波纹夹层结构抗爆炸冲击性能[J]. 机械，2020，47（10）：6-15.

[5]胡玉琴. 铝蜂窝夹层板等效模型研究及数值分析[D]. 南京：南京航空航天大学，2008.

[6]Wang Z，Li Z，Xiong W. Numerical study on three-point bending behavior of honeycomb sandwich with ceramic tile[J]. Composites Part B: Engineering，2019（167）：63-70.

[7]邱克鹏，张卫红，孙士平. 蜂窝夹层结构等效弹性常数的多步三维均匀化数值计算分析[J]. 西北工业大学学报，2006（4）：514-518.

[8]Molavitabrizi D，Laliberte J. Methodology for multiscale design and optimization of lattice core sandwich structures for lightweight hopper railcars[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science，2020，234（21）：4224-4238.

[9]Rakesh Potluri，U. Koteswara Rao. Determination of Elastic Properties of Reverted Hexagonal Honeycomb Core: FEM Approach[J]. Materials Today：Proceedings，2017，4（8）：8645-8653.

[10]Dahai Zhang，Guoxing Lu，Dong Ruan，et al. Quasi-static combined compression-shear crushing of honeycombs: An experimental study[J]. Materials & Design，2019（167）.

[11]Jingxin Hao，Xinfeng Wu，Gloria Oporto，et al. Structural analysis and strength-to-weight optimization of wood-based sandwich composite with honeycomb core under three-point flexural test[J]. European Journal of Wood and Wood Products，2020，78（prepublish）：1-13.

Mechanical Properties of Honeycomb-like Sandwich Structure

LI Xiang1,2，ZHAO Heng2，YU Wan2，LI Rui2

(1.Hubei Key Laboratory of Hydroelectric Machinery Design & Maintenance, China Three Gorges University, Yichang 443002, China; 2.College of Mechanical and Power Engineering, China Three Gorges University, Yichang 443002, China )

The innovative design of honeycomb-like sandwich structure has good mechanical properties, energy absorption characteristics and larger design space. At present, the thickness of the adhesive layer of the sandwich structure is ignored in most studies, and the thickness of the whole sandwich structure is taken approximately equal to the thickness of the sandwich layer when calculating the relevant mechanical property parameters. Based on the Gibson cell theory of sandwich structure, the mechanical properties of honeycomb-like sandwich structure were analyzed considering the influence factors of adhesive layer. Based on the theory of composite material mechanics, material mechanics, and strain energy equivalent principle, the equivalent mechanical properties, stiffness, and equivalent density of honeycomb-like sandwich structures are derived. Findings of this paper are expected to provide theoretical support for further study of new honeycomb sandwich structure.

honeycomb-like；sandwich structure；mechanical properties；stiffness；the equivalent density

TB333

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2021.10.001

1006-0316 (2021) 10-0001-07

2021-05-26

国家自然科学基金青年科学基金（51305232）

李响（1979－），男，湖北黄梅人，博士，副教授，主要研究方向为轻量化技术、结构优化设计、数值模拟技术、结构强度与可靠性，E-mail：lixiangcfy@ctgu.edu.cn；赵恒（1997－），男，安徽阜阳人，硕士研究生，主要研究方向为结构优化设计。