电磁感应试题题设条件的自洽探究

浙江 董国彬

电磁感应试题既能考查学生掌握的力、电基础知识，又能考查学生应用动量、能量观点的解题能力，深受高考命题者喜爱。高中学生难以直接解决除匀速、匀变速、简谐运动等典型运动以外的运动问题，对此类问题，命题者往往通过提供已知条件将其转化为高中生能求解的运动问题。若命题者没考虑各题设条件的逻辑关联，应用不同物理规律就会得到不同的结论。因此，试题命制时务必做好题设条件的自洽检验，防止出现错误。下面笔者就电磁感应中常见的“杆+电阻”、“杆+电容”、“杆+电感”模型，分类举例说明如何进行题设条件的自洽探究。

一、“棒+电阻”模型中题设条件的自洽探究

【例1】如图1所示，宽L=1 m的U形光滑导线框架与水平面成夹角θ=30°倾斜放置，匀强磁场方向垂直框面向上，磁感应强度B=0.2 T，在框架上垂直框边放一根质量为m=0.8 kg，电阻为r=0.08 Ω的导体棒ab，图中定值电阻R=0.02 Ω，导线框架的电阻不计。现将ab棒从静止开始让它沿框架无摩擦下滑，设框足够长且g取10 m/s2。当棒沿框面下滑的高度为2 m时棒的速度增加为6 m/s，则此过程经历了多少时间？

图1

【自洽探究】对棒下滑过程中受力分析并列出牛顿第二定律有mgsin30°-ILB=ma

ln(10-v)=-0.5t+C0，v=10-C1e-0.5t

由初始条件t=0时速度为零可知C1=10即有速度公式v=10-10e-0.5t①

由初始条件可得位移公式有x=10t+20e-0.5t-20 ②

当速度为6 m/s时用时为t=2ln2.5≈1.83 s

且x=2h

代入时间可以算得

即速度为6 m/s时h=3.16 m。

可见，【例1】中“高度为2 m”和“棒的速度增加为6 m/s”不符合动力学规律，题设数据应予修正。

上述验证计算复杂，我们可通过图形计算器画图，快速解决数据的自洽性验证与设置。用图形计算器分别画出v-t图像(图2)和x-t图像(图3)。从图2中我们可以看出：在开始的一小段时间内速度较小，重力沿框架方向的分力远大于安培力，棒的运动可用直线拟合，可视为匀加速直线运动，随着棒的速度逐渐变大，安培力变大，棒做加速度减小的加速运动，最后做匀速直线运动。由图3可以看出棒下滑高度为2 m即位移x=4 m，时间t约为1.40 s，与【解析】所给的解答1.6 s相差较大。

图2

图3

利用图形计算器我们很容易使试题逻辑自洽。例如在位移、速度、时间三个物理量中我们首先确定时间为t=1.2 s，然后在图形计算器中分别输入速度公式①和位移公式②，点击数值表(如图4)或特殊点(如图5)，可以得到t=1.2 s时的速度和位移分别约为4.51 m/s和2.98 m(从图2、图3中直接读出位移和速度也是可以的，会存在读数误差)

图4

图5

【自洽设问及正解】

设问：若棒沿框面下滑高度1.5 m时，棒的速度增加为4.5 m/s，求此过程经历的时间？

化简并代入数据得

二、“棒+电容”模型中题设条件的自洽探究

【例2】如图6所示，若只将【例1】中的外电阻R换成一个C=5 F的电容器，题中其他条件不变，求棒从静止释放沿框面下滑8 m时的速度及所经历的时间？

图6

【解析】棒ab释放后在重力作用下沿框面做加速运动切割磁感线产生感应电动势E对电容器充电；设棒在下滑过程中任意时刻t的加速度为at，电容器的充电电流为It，则有

可得mgsin30°-BL·CBLat=mat

因为B、L、C、m一定，所以加速度at一定，故棒ab沿框面的下滑运动为匀加速直线运动。

由v2=2as得，棒匀加速下滑8 m时的速度为

v=8 m/s；

【自洽探究】设棒的速度为v时，电路中的电流为I，电容器的电压为U，则有电容器的带电荷量q=CU

即I′=CU″

棒ab产生的动生电动势E=BLv，由闭合电路的欧姆定律知BLv=U+Ir

可得BLv′=U′+I′r=U′+rCU″

对棒受力分析，列出牛顿第二定律

代入数据得1.6U″+5U′=4(V)

【解1】令y=U′，则y′=U″，代入上式得

初始条件t=0时U=0，I=0(U′=0)得

初始条件t=0时U=0，I=0(U′=0)

由⑤式可知，t=0时刻，棒开始下滑时的加速为5 m/s2，随后做加速度逐渐减小的加速运动，最后时间足够长时棒才作匀加速直线运动。可见，【例2】中若把棒的电阻忽略不计(或不考虑电源的内阻)，直接用部分电路的欧姆定律解出棒做匀加速下滑是错误的。

设t=2 s，同样在图形计算器中输入公式④、⑥，通过图形计算器计算可以得到t=2 s时棒下滑的位移为8.54 m，速度为8.32 m/s，同样也可说明题设数据不自洽。

【自洽设问及正解】

设问1：若只将【例1】中的外电阻R换成一个C=5 F的电容器，棒ab换成电阻不计的棒cd，题中其他条件不变，求棒cd从静止释放沿框面下滑8 m时的速度及所经历的时间？

正解：见【解析】

设问2：若棒的电阻为r，则此题的设问也可改为“若已知棒从静止释放沿框面下滑的速度、时间和电容器两端的电压三个物理量中的任意两个，就可以由动量定理mgsin30°t-CLBU=mv-0，求其余的一个。”

三、“棒+电感”模型中题设条件的自洽探究

【例3】如图9所示，若将【例1】中的外电阻R换成一个自感系数为L0=30 mH且电阻不计的理想线圈，题中其他条件不变，试判断棒的运动情况，若斜面足够长，求棒的最终速度？

图9

【自洽探究】对棒受力分析，列出牛顿第二定律

可得I=20-4v′

⑦⑧消去I有mL0v″+mrv′+B2L2v=mgrsinθ⑨

代入数据有0.6v″+1.6v′+v=8

根据初始条件t=0 s时v=0，a0=v′=5 m/s2求得

用图形计算器绘出图10，上述结论显然可得到验证。

图10

【拓展】如图11所示，若将【例3】中的棒ab换成电阻不计的棒cd，题中其他条件不变，试判断棒的运动情况？

图11

【自洽探究】对棒受力分析列牛顿第二定律

由于棒电阻r=0，⑨式中代入数据有0.6v″+v=0

求得二阶常系数非齐次线性微分方程的解

代入初始条件t=0时v=0，a0=v′=5 m/s2

【例3】和【拓展】练习中最主要的区别是棒是否有电阻。其实，我们可以从能量的观点分析两种不同的结果。【例3】由于棒有电阻，稳定时动能不变，棒的重力势能减少量等于克服安培力做的功并转化为电阻中的焦耳热。【拓展】由于棒不计电阻，稳定时棒的重力势能、动能和磁场能量相互转化，总量不变。所以，我们在分析问题的时候需要从不同的角度应用不同的规律去分析，看看能不能得到一样的结论。

结束语