具有三维Keller-Segel趋化模型古典解的存在性

胡 巧 玲

(电子科技大学 数学科学学院， 四川 成都 611731)

0 引言

趋化是生物领域中的常见现象，常见于种群入侵，物种繁殖，癌细胞的发现等.趋化模型主要用于描述细胞聚合现象，即在化学物质的吸引下，细胞会在有限时间内发生聚集或是细胞的数量在某一时刻会趋于稳定.早在20世纪70年代，Keller和Segel就提出细胞迁移的趋化模型，即Keller-Segel模型，他们发现除了细胞的随机扩散运动，细胞会朝向化学物质浓度高的地方,由此得到如下的趋化模型[1]

一般地，对于结构更为简单的有机物也会朝着消耗营养物的方向进行迁徙，故得到如下趋化模型

Fuest[9]运用Schauder估计得到了如下带诺依曼边值条件趋化模型解的正则性结果以及解的长时间行为

(1)

这里，Ω是一个有界的光滑凸区域，δ>0是一个给定的参数，(u0,v0,w0)是给定的初值并且满足

(2)

基于以上结果，本文研究在三维情况下带间接信号消耗的趋化系统(1)的正则化模型

(3)

本文的主要结果是利用Banach不动点定理证明了系统(1)古典解的整体存在性以及系统(1)的正则化系统(3)的弱解存在性. 具体表述如下：

定理1若系统(3)的初值(u0,v0,w0)满足(2)式，则对任意的ε∈(0,1),系统(3)存在唯一的整体古典非负解(uε,vε,wε) ,并且存在序列(εj)j∈Ν⊂(0,1),εj→0,满足

uε→u;vε→v;wε→w,

1 预备知识

定义1称(u,v,w)是系统(1)的弱解是指函数(u,v,w)满足

2 主要结果

定理2若系统(3)的初值(u0,v0,w0)满足(2)式，则对任意的ε∈(0,1),系统(3)存在唯一的整体古典非负解(uε,vε,wε).

证明存在性

取定R>0是一个常数以及T∈(0,1),考虑Banach空间

其中q>3.考虑闭集

S:={(uε,vε)∈X|‖uε(·,t)‖L∞(Ω)+‖vε(·,t)‖W1,q(Ω)≤R,t∈(0,T)}

.

令Φ=(Φ1,Φ2)作用在S上，并且定义

(4)

(5)

其中，C4,C5,C6(R),C7(R)都为大于0的常数.结合(4-5)式就可以得到只要R>0充分大以及T>0充分小，Φ=(Φ1,Φ2)则为S到S上的映射.

下证：Φ=(Φ1,Φ2)实际上是S上的压缩映射.

对任意的(uε1,vε1),(uε2,vε2),有

同样地，

唯一性

若(uε1,vε1,wε1), (uε2,vε2,wε2)是系统(3)在Ω×(0,T)上的两个解，固定T0∈(0,T),由uε1,uε2所满足的微分方程做差可得

对上式做分部积分可得

(6)

由于T00使得

‖uε1‖L∞(Ω)+‖uε2‖L∞(Ω)+‖∇vε1‖Lq(Ω)+‖∇vε2‖Lq(Ω)≤C10,t∈(0,T0).

将I1,I2,I3代入(6)式可以得到，存在C16>0使得

同样地，存在正常数C17,C18,C19使得

以及

最后，通过分部积分可以得到存在正常数C20,C21满足

综上有，存在正常数C22,C23使得

定理3存在序列(εj)j∈Ν⊂(0,1),εj→0,满足

uε→u;vε→v;wε→w,

证明关于模型(1)弱解的存在性以及正则性结果可以参看文献[6].