停车场规划问题

曹自由 刘文英 赵 洁

(1.北京市朝阳区教育研究中心 100021；2.北京市日坛中学实验学校 100025；3.北京景山学校朝阳学校 100012)

随着人们生活中小汽车数量的快速增加，车位逐渐供不应求，出现了“停车难”的问题. 如果在给定的有限面积内，合理地优化停车位的设计，可以帮人们更好地缓解或者解决“停车难”的问题．在保证车辆正常出入的前提下，对于给定的停车场，如何规划停车位，使得停车位数量最大是亟待解决的一个问题．

数学建模是数学学科核心素养的一个重要组成部分. 它是对现实问题进行数学抽象、用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养. 数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题[1]. 本文通过对停车场规划问题进行前提假设、建立模型，以停车数量为目标函数，以车位倾斜角、车库长度、车库宽度为研究参数，确定模型，并利用计算机仿真验证具体数据，最终确立最优的停车位设计方案.

1 前提假设

(1)以下关于汽车的数据均选用《中华人民共和国行业标准》中小型车的数据[2]．

①小型车的外廓尺寸：总长a=4.80米，总宽b=1.80米.

②小型车最小转弯半径r1=6.00米.其中，汽车最小转弯半径是指汽车回转时汽车的前轮外侧循圆曲线行走轨迹的半径，前轮外侧循圆曲线的圆心称为转向中心．

③停车间距数据如下表所示：

表1 停车间距相关数据

根据以上数据可知一个垂直式停车位所需要的最小长宽数据如图1所示：

图1 停车位的长与宽

x: 汽车宽度与汽车间横向净距之和，计算可得为2.4米.

y: 汽车长度与垂直式停车汽车间纵向净距之和，计算可得为5.3米.

(2)一般小汽车的轴距2.7≤l≤2.9(单位：米)，本文取中值轴距l=2.8米．

(3)研究假设

① 假设所有的停车场都是矩形．设停车场的长度记为L，宽度记为W．

② 假设在设计停车场时，所有的停车位倾斜角保持一致，记为θ．

③ 假设小汽车前车轮的车轴到车头之间的距离，与后车轮的车轴到车尾之间的距离是相等的，记为d．

2 停车位的排列方式

停车位主要有平行式、斜列式和垂直式三种排列方式．

图2 停车位的排列方式

3 停车位问题分析

3.1 模型建立

在设计停车位时，不仅要考虑停车位本身所占的宽度，也要保证车辆能够正常出入．根据人们的实际经验，当车辆在右转驶出停车位时，既要防止车的左前侧与马路前方障碍物相遇，又要防止车的右后轮越过右侧停车线．

如图3，图4所示，车位倾斜角为θ，汽车环形外半径R表示汽车转弯时转向中心到汽车前侧最外端的最小距离，汽车环形内半径r表示汽车转弯时转向中心到汽车后侧最外端的最小距离．X表示汽车环形时最外点至环道外侧边沿的距离，取0.25米；Y表示汽车环形时最内点至环道内侧边沿的距离，取0.25米．H表示停车位所占的宽度．则

图3 停车位倾斜角为θ时车位长宽示意图

图4 汽车出库时的环道平面

汽车环形内半径

汽车环形外半径

最小通道宽度

T=R-rcosθ=6.78-3.26cosθ(0°<θ≤90°)．

停车位所占宽度

H=ysinθ+xcosθ=5.3sinθ+2.4cosθ(0°<θ≤90°)．

依据上述公式，可计算得出斜列式与垂直式停车所需的最小通道宽度，如表2：

表2 不同停放方式所需的最小通道宽度

3.2 模型分析

我们可以将垂直式停车方式看作是斜列式θ=90°的情形，因此斜列式与垂直式停车方式的数量可以统一考虑，只需要θ满足0°<θ≤90°，再将平行式停车方式的数量单独计算，二者作比较，求出停放车辆数量最多的方式即可.

首先我们考虑斜列式与垂直式的停车数量(0°<θ≤90°)：

停车场的长度为L，设单排停车位的数量为n，则n要满足：

则

计算出n的值，向下取整即为停车位的数量.

①考虑设计单排停车位和双排停车位需要的宽度和对应的停车位数量：

i.设计单排停车位

设计单排停车位需要的宽度：

H+T=5.3sinθ+2.4cosθ+6.78-3.26cosθ

=6.78-0.86cosθ+5.3sinθ;

设计单排停车位的数量：n(θ).

ii.设计双排停车位

设计双排停车位需要的宽度：

2H+T

=2·(5.3sinθ+2.4cosθ)+6.78-3.26cosθ

=6.78+1.54cosθ+10.6sinθ;

设计双排停车位的数量：2·n(θ).

②当给定停车场的宽度W时，

i.先考虑可以设计几组双排停车位：

含石墨大理岩的电阻率平均值为125Ω·m，其他岩石电阻率平均值为168.1～573.9Ω·m左右，可见含石墨矿岩石电阻率远低于围岩电阻率，呈明显的低租高极化特征。

每一组双排停车位需要宽度为2H+T，

ii.考虑剩余的宽度能否设计一组单排停车位：

综合( i ) ( ii )，可以得出总的停车位数量为

其中H,T是关于θ的函数，n是关于L,θ的函数.

因此，N1是关于L,W,θ的函数，当给定L,W的值时，N1是随着θ的变化而变化.

下面我们考虑平行式的停车数量：

停车场的长度为L，设单排停车位的数量为n，则n要满足：5.3n≤L，

计算出n的值后，向下取整即为停车位的数量.

①考虑设计单排停车位和双排停车位需要的宽度和对应的停车位数量：

i.设计单排停车位(参照图5)

图5 单排停车位示意图

设计单排停车位需要的宽度：

2.4+3.8=6.2米，

设计单排停车位的数量：n；

ii.设计双排停车位(参照图6)

图6 双排停车位示意图

设计双排停车位需要的宽度：

2×2.4+3.8=8.6米，

设计双排停车位的数量：2n.

②当给定停车场的宽度W时，

综合(i) (ii)，可以得出总的停车位数量为

其中n是关于L的函数.

因此，N2是关于L,W的函数，当给定L,W的值时，N2是可以确定的.

现在，我们只需要比较给定W值时，斜列式停车位数量N1和平行式停车位数量N2的大小，就可以确定最优的停车位设计方案.

3.3 应用举例

例1当停车场宽度W=8米，L=100米时，利用公式

进行计算机仿真模拟，可得：

若安放斜列式停车位，当车位倾斜角θ=22.34°，N1取最大值15，此时可以停放一个单排，每排15个停车位，总共可安放15个停车位.

若安放平行式停车位，N2=18，此时可以停放一个单排，每排18个停车位，总共可安放18个停车位.

图7 计算机仿真例1的结果

比较可知，此时设计成平行式安放停车位数量最多.

例2当停车场宽度W=20米，L=100米时，利用公式

进行计算机仿真模拟，可得:

若安放斜列式停车位，当车位倾斜角θ=90°，N1取最大值82，此时可以停放一个双排，每排41个停车位，总共可安放82个停车位.

若安放平行式停车位，N2=72，此时可以停放两个双排，每排18个停车位，总共可安放72个停车位.

比较可知，此时设计成垂直式安放停车位数量最多.

图8 计算机仿真例2的结果

例3当停车场宽度W=29米，L=60米时，利用公式

进行计算机仿真模拟，可得:

若安放斜列式停车位，当车位倾斜角θ=73.51°，N1取最大值69，此时可以停放一个双排和一个单排，每排23个停车位，总共可安放69个停车位.

若安放平行式停车位，N2=66，此时可以停放三个双排，每排11个停车位，总共可安放66个停车位.

比较可知，当车位倾斜角θ=73.51°时，可安放的停车位数量最多.

图9 计算机仿真例3的结果

3.4 模型评价

本文通过对平行式、斜列式和垂直式三种停车位的分析，将斜列式与垂直式两种停车方式(0°<θ≤90°)统一考虑，平行式停车方式单独考虑，将不同的停车方式下的停车总数量分别表示为关于W,L,θ的函数.在给定任意宽度和长度时，根据此模型均可以计算得到可存放的停车位的最大数量及对应的停车位设计方案，模型具有实用性和可推广性.