单元整体教学中的若干重要问题及其思考①

吴增生

(浙江省仙居县教育教学指导中心 317300)

随着教育改革的进一步深入，超越知识技能，用数学内在的力量发展学生数学思维和大脑智慧，这已经成为数学教育工作者的普遍共识 .基于这种数学教育价值观的数学教学，注重引领学生整体、系统和深入地研究问题，概括数学思想方法和问题解决策略，形成组织知识、思想方法、解决问题策略体系的顶层架构及其核心观念——学科大观念(Big ideas)[1]，并通过这些活动帮助学生获得“四基”，发展“四能”.这些教学活动是“超越具体的知识技能深入到思维层面，由具体的数学方法过渡到一般性的思维策略的一种学习思考过程”[2]，这就是深度学习活动.由于单元整体教学有利于引领学生从事这些深度学习活动,使它成为当前数学教学研究的热点和改进数学教学的一个有前景的研究方向.

由于单元整体教学还处于探索研究阶段，存在一些认识误区，需要进一步的研究.目前主要存在着“生搬硬套”现象，主要表现为：一是把单元整体教学误解为集中教学：追求内容的大而全，忽视内容的育人价值，甚至一节课把全章内容上完；二是把单元整体教学误解成“全章介绍+课时教学”的简单拼盘，没有建立内在关联，蜻蜓点水，甚至把缺乏逻辑一致性的内容合并为一个单元.单元整体教学为学生的深度学习的产生提供了一种可能，但只有形式缺乏思想和灵魂的“拼盘式整体教学”，不会引发学生的深度学习.教学实践中出现这些现象背后的原因是什么？从中折射出单元整体教学中的哪些深层次问题？怎样解决？研究这些问题，具有重要的理论和现实意义.

1 典型课例教学现象简述

课例1全等三角形的判定

教师先回顾全等三角形的定义和性质，从全等三角形性质“三边对应相等，三个内角对应相等”的逆向思考中得到“两个三角形中，如果三条边、三个内角这六对元素分别相等，那么这两个三角形全等”；接着让学生分组分别画出边长分别为4cm,5cm,6cm的三角形；边长分别为4cm,6cm，夹角为50°的三角形；两角分别为40°,60°，夹边为5cm的三角形，通过小组讨论分别得到全等三角形的“边边边”“边角边”“角边角”基本事实，还让学生画图观察发现两边及一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.等等，也就是说，他在一节课中把全等三角形判定的基本事实全上完.

课例2分式的概念

这两个课例都来自于最近两届的全国优秀课展示活动，具有典型性.

2 课例评析与问题梳理

课例1“全等三角形”中，在一节课内完成所有全等三角形判定基本事实的探究活动，更多的是许多画图、叠合实验的堆砌，这种活动动手多、直观多、思考少.看似采用了单元整体教学策略，由于缺少怎样研究几何图形关系大观念的引领，没有进行以追求“寻找判断全等三角形的最少充分条件”为目标的有序思考活动，也没有进行基于性质和基本事实的演绎推理活动，实际上变成了只有操作没有深入思考的活动，不能引发学生的深度学习行为，也没有落实本章作为几何形式化证明起始教学阶段循序渐进地发展学生的直观想象和逻辑推理能力的育人价值.

课例2“分式的概念”，作为分式的起始课教学，采用单元整体教学的思想进行章起始课的系统设计，这个方向是对的.但是，用单元整体教学理念设计章起始课教学，不是把全章的主要内容都进行介绍，而应该是让学生从数学内在发展逻辑和现实情境中引入一类研究对象，抽象概念明确研究对象，提出研究问题，规划研究思路.小学中基于整数引入分数的学习活动，既来自于整数除法运算不封闭问题，又来自于现实的需要.因为两个整数相除的结果不一定是整数，测量中会产生不是已知线段整数倍的线段，因此需要研究这些不是整数的数——分数.初中阶段引入分式，既来自整式除法运算不封闭问题，也来自现实中需要用两个整式相除的商来表示一个量.分式是由两个整式相除产生的，因此，分式的逻辑基础是整式；分式研究的内容、思路和方法来自于分数研究的经验，因为分数与分式是特殊与一般的关系，从特殊内容学习中获得的思维活动经验可以通过类比迁移到新的领域.课例2教学中重视了学生分数学习的经验，但忽视了整式这一分式概念的逻辑基础.于是，教学中分式概念不清晰(说分数中的分子分母变成含有字母的式子就叫分式)，分式的基本性质教学不深刻(只是用长方形面积与边长关系把具体的分数分子分母扩大相同倍数，本质上还是停留在分数基本性质的水平上),提出分式方程的学习内容更是突兀,从类比分数的学习经验中不可能想到分式方程，只有类比整式到一元一次方程这种“从对象到对象关系研究”的发展过程才能想到.分式课例的教学过程中，学生的学习是停留在分数水平上的学习，本质上没有进入到分式内容的学习，当然也没有出现基于新的内容——分式基础上的深度思考，这种学习，也不是深度学习.

出现上述教学偏颇的首要原因是对单元体教学的育人价值追求不清楚.不明确为什么要进行单元整体教学，导致出现为“单元整体教学而进行单元整体教学”的误解，这与课改初期的“为情境而情境”“为活动而活动”的误解类似.

其次，对单元整体教学基本原理不理解.不知道单元整体教学是怎样引领学生进行深度学习的,需要设计哪些教学活动才能引发学生的深度学习，有什么教学要求.

第三，难以合理规划教学单元.不知道依据什么进行单元内容整合，哪些内容可以整合，导致出现教学内容随意拼凑现象.例如，把轴对称与等腰三角形拼凑为一个单元,事实上，从内容的逻辑关系看，轴对称属于图形变换研究，等腰三角形是三角形的特例研究，在研究对象、研究的问题上没有一致性.人教版、浙教版等教材中，在等腰三角形之前安排轴对称内容，是为等腰三角形研究提供一种思想方法.

第四，缺乏单元整体教学设计的规范.比如，怎样分析单元内容？怎样设计单元目标和课时目标？怎样分析学情？怎样整体设计单元教学策略与思路，怎样基于单元整体教学科学合理地设计课时教学？怎样进行训练评价系统的整体设计，等等.

要使今后单元整体教学的研究沿着正确的方向发展，真正发挥单元整体教学的育人价值，下列问题需要正视和研究：

(1)为什么要进行单元整体教学?

(2)单元整体教学的基本原理有哪些，有什么要求?

(3)怎样合理规划教学单元？

(4)怎样科学规范地设计单元教学活动?

3 问题讨论与思考

3.1 为什么要进行单元整体教学

开展单元整体教学的目的是为了引发学生的深度学习，发展数学核心素养.郑毓信认为：开展深度教学，引发深度学习有4个重要的环节，即“联系的观点”“问题引领”“充分的交流与互动”“努力帮助学生学会学习”(见文献[2]).其中“联系的观点”指的是重视知识的比较和应用，形成全局的观点，形成和优化知识结构，这些教学原理都是指向多点知识的关联与整合；“问题引领”指的是用问题引发学生的深度思考，这里的问题，主要指的是基于领域知识的全局性问题，而不是枝节性问题，枝节性问题产生于全局性总问题，没有全局性问题引领，枝节性问题就没有源头，也不利于学生形成全局的观点，而全局性问题需要基于知识领域单元整体分析才能提出；“充分的交流与互动”不是简单的、肤浅的“问答”，也不是“点状”知识的理解与交流，而是基于整体、多元、联系的深度思考后的完整的观点表达和交流；“学会学习”需要帮助学生积累数学学习和研究的基本经验，形成研究数学对象，组织数学知识及其思想方法的大观念.所有这些学习要求，都需要在单元整体教学平台上才能达到.因此，开展单元整体教学，其核心目标是引领学生从事深度学习活动，需要遵循深度教学的准则与要求.

3.2 单元整体教学的基本原理和要求有哪些

单元整体教学是用系统论的观点设计系统思维活动，引导学生用系统思维的方法完整、系统、深刻地研究问题.也就是说，把研究对象看做一个系统，从系统与要素、要素与要素、系统与环境的相互作用，相互关系角度综合地认识对象,站在全局的角度，用整体的视野思考问题，优化问题解决策略[3],单元整体教学也是根据奥苏贝尔提出的先行组织者理论提出的一种教学策略.国内研究者依据这些理论，提出了整体教学的基本策略和方式，如王光明提出的命题组块化教学和“整体——部分——整体”的教学方式[4],何小亚提出的“先从整体知识的研究对象、研究方法和用途等方面给学生一个全面的概述，使学生对这个知识单元有一个整体的认识，然后逐个学习”[5]的教学策略.朱先东基于深度学习要求提出了单元整体教学的“学会——会学”以及“整体——部分——整体”教学策略[6];章建跃提出了用数学研究的大观念设计单元整体教学，引领学生从研究思路、研究内容和研究方法等角度设计教学，引领学生完整地经历问题的提出和问题解决过程,他指出：所谓大观念，是对内容及其反映的数学思想和方法的进一步提炼和概括，是对数学对象的定义方式、几何性质指什么、代数性质指什么、函数性质指什么、概率性质指什么等问题的一般性回答，是研究数学对象的方法论，对学生学会用数学的方式对事物进行观察、思考、分析以及发现和提出数学问题等都具有指路明灯的作用.显然，能自觉地运用大观念指导数学学习与探究活动，是学生学会学习的标志，是从“知其然”到“知其所以然”再到“知何由以知其所以然”的过程，也是理性思维得到良好发展的表现.从国内研究者的研究看，对于单元整体教学，逐步从原理理解到初步提出策略再到教学策略的深刻化、具体化和可操作化发展，从而使单元整体教学理论能更好地指导教学实践.

根据章建跃提出的“用大观念引领单元整体教学设计”的要求，在单元整体教学中，教师需要创设适当的情境(数学情境或现实情境)，引导学生自然合理地引入研究对象；通过数学抽象获得数学核心概念，明确研究对象，确定研究的起点；引导学生通过类比和抽象确立研究目标和研究内容，提出研究问题，规划研究思路；引导学生重组已有经验探索和研究问题；在研究活动完成后通过反思总结活动经验，形成或强化大观念.当然，这些内容往往难以在一节课内完成的，需要基于单元进行整体规划，分步实施.

综上所述：开展单元整体教学，应该以引发学生深度学习，发展数学核心素养为目标；遵循用怎样研究一类数学对象这种“大观念”的引领，合理规划教学单元，聚焦研究对象，提出研究问题，并对问题进行整体、系统、深入的研究；按照“学会”和“会学”两个阶段，设计“整体——部分——整体”的教学活动，重视知识的联系与应用，引领学生用全局的观点优化知识结构，鼓励学生充分表达与交流.通过这样的教学，帮助学生获得“四基”，发展“四能”.

3.3 怎样合理规划教学单元

3.3.1 教学单元规划要基于内容的逻辑关联性

数学知识的发生发展是按照一定的逻辑脉络展开的，数学课程中的内容呈现方式更是如此.要设计出科学合理的单元研究主题，能让学生通过数学思考自主建构知识结构，教学单元的内容形成和发展过程要具有内在的逻辑一致性.例如，人教版八年级上册第13章轴对称内容中，可以分为两个部分，前面部分是轴对称这种图形变换的属性的研究，13.3等腰三角形则是用轴对称的思想研究一类特殊的三角形，这一部分内容从知识体系上与三角形联系更紧密.因此，等腰三角形可以作为一个相对独立的单元进行整体教学设计，让学生完整地经历等腰三角形的引入、定义、研究性质、研究判定等活动，而且用轴对称的思想贯穿性质和判定的发现和证明过程,这是“学会”阶段；接着让学生基于这一研究经验自己独立地提出新的问题(研究新的特殊三角形，如等边三角形、等腰直角三角形、含30°角的直角三角形，等等)并进行系统研究，建构知识体系.这样设计单元，主要原因是等腰三角形作为三角形的特例的研究，研究思路、研究内容、研究方法及知识体系相对独立于轴对称，而与三角形联系更紧密.再如，多数教科书中把三角形中位线安排在平行四边形一章中作为知识的应用来安排，如果把他作为平行四边形对角线研究的拓展(通过把一条对角线绕着另一对角线中点旋转到过一边中点位置，再分割图形发现三角形中位线性质，并进行证明，如图1)，则能让三角形中位线研究更好地融入到平行四边形的性质和判定的单元内容中.

图1

前面课例2中，分式方程这一研究内容的引入，不是通过与分数的类比可以做到的，它应该归入方程的范畴，虽然教科书把这一内容安排在分式一章中，但它与分式内容中知识发生发展过程的逻辑一致性并不强，因此，可以单独作为研究分式表示的两个量的相等关系设计独立的教学单元，正如在整式学习后，独立安排一元一次方程一章内容一样.

教学单元设计的逻辑关联性主要体现为：聚焦同一类研究对象，单元知识的发生发展过程逻辑一致,内容能自成一个逻辑体系，研究中问题发现、提出、分析和解决问题能形成一个闭环，便于用“怎样研究一类数学对象”的大观念引导学生系统地提出和研究问题.

分析知识的发生发展过程的内在逻辑，是设计合理的教学单元的基础，也是教师“理解数学”重要任务.

3.3.2 教学单元规划要体现核心育人价值的一致性

数学课程与数学科学最大的区别在于它的教育性，数学课程中的内容，既承载着学科基础知识理解和基本技能形成的基础性目标，还承载着发展核心素养以及问题提出与解决能力等高价值目标.在设计教学单元时，要充分体现单元内容中核心育人价值的一致性.这种育人价值的一致性，具体体现为“让学生学会用相似的方法做不同的事情”.例如，一次函数作为一个完整的单元，它的核心教育价值是发展学生用一次函数模型刻画和研究线性变化过程中的数学建模能力，体会一次函数研究的基本思路(定义——图象——性质——联系应用)、基本内容(自变量的值增大时函数值怎样变化)、基本方法(数形结合、分类讨论、数学建模)，让学生学会用这种函数直观研究的基本套路，并能迁移到其它函数的研究中.其中的数形结合思想的基本教学要求是通过坐标中介沟通函数与图象的联系，直观地理解变量之间的依赖关系及其变化规律.但是，有的教师花很多教学时间来深挖用坐标法研究直线形图形的性质及位置关系，比如“一次函数与几何结合的综合题”等，这样的单元设计就偏离了一次函数内容的核心教育价值.

3.3.3 教学单元规划要有层次性

数学知识是一个有序多级的体系，因此，单元教学也具有层次性.要设计具有层次性的教学单元，首先要用课程视野从整体到部分分析数学知识的层级体系，明确知识发生发展的内在逻辑脉络是什么，知识是怎样从源头逐步发展成有序多级的逻辑体系的.例如，数系扩充是数与代数领域的重要研究内容，数系的扩充可以进一步划分为有理数和实数两章，分别反映数系的两个扩充阶段.有理数可以进行一步分为引入、定义与分类，数轴表示与性质，运算这三个单元.要用数系扩充的大观念指导学生的单元学习，在大单元中嵌套小单元进行“整体——部分——整体”教学设计.再如，在图形与几何领域中，三角形是最简单的多边形，其研究的思路是“引入、定义、表示、分类——性质——关系——特例”，可以把三角形单元进一步划分为“三角形”、“全等三角形”、“特殊三角形”等单元.

3.3.4 教学单元规划要考虑学情

学生的认知基础是一切教学设计的出发点.学业基础好的学生可以适当扩大教学单元，学业基础差的可以缩小教学单元.单元设计是否合理，以学生是否可学为评价标准.例如，“一般的平行四边形”单元中，学业基础好的学生可以一气呵成研究平行四边形的性质和判定，再进行平行四边形的对角线变式动态研究——三角形中位线研究；学业基础差的学生则可以把平行四边形的性质单列一个单元，平行四边形的判定单列一个单元，平行四边形研究拓展——三角形中位线定理为第三单元.无论如何划分单元，其内容都要相对完整，要用“怎样研究一类数学对象”的大观念引领.如，不管平行四边形教学中怎样划分单元，都要先整体规划研究思路(引入，定义,表示——性质、判定——特例，类比特殊三角形的研究给出)，整体提出研究的问题(研究边、角、对角线的各自关系)，然后分单元进行研究.

3.4 怎样科学规范地进行单元整体教学设计

整体设计单元教学是一个系统的工作，需要建立教学设计的规范流程，在“理解数学、理解学生、理解教学”的基础上保证教学设计的合理性.

3.4.1 分析单元内容

单元整体教学的设计，首先要按照“课程——领域——章节——单元——课时”的程序分析内容的逻辑脉络，明确本单元教学内容的逻辑地位与育人价值，知识发生发展的出发点和发生发展的逻辑，知识发生发展过程中所反映的思想和方法，本单元研究的大观念，蕴含的核心育人价值，在此基础上明确本单元及本单元教学内容的重点.在对单元整体内容进行分析的基础上，分析本单元内容之间的关系，明确各课时内容划分及重点.例如,分式是数与代数领域中的代数式研究的重要内容，包括分式的概念、分式的基本性质、分式的四则运算.分式是重要的代数式，它在现实中有广泛的应用，是今后研究代数函数的重要基础；分式来源于整式的运算，是两个整式相除不能整除情况下的产生的，从符号抽象的角度看，分式是分数分子分母一般化符号化抽象的结果;分式相关知识发生发展的逻辑起点是整式，分式知识发生发展过程中蕴含的核心思想是类比和转化；研究的大观念来自于分数的研究：引入、定义、表示——性质——运算,蕴含的核心育人价值是发展学生的符号抽象、运算和推理能力,因此，本单元的教学重点是分式的运算.分式单元中，可以把内容划分成分式的概念、分式的基本性质、分式的运算三个部分.分式的概念教学的重点是引入分式，抽象分式的概念，提出分式研究的主要问题，重点是抽象分式的概念;分式的基本性质则主要基于分数的基本性质抽象出分式的基本性质，类比分数的约分和通分学习分式的约分和通分，重点是约分和通分；分式的运算则类比分数研究分式的四则运算,重点是分式的四则运算.

3.4.2 构建单元目标体系

单元目标既是数学课程整体目标的具体化，又指导着本单元各课时目标的设计.在设计单元总体目标时，首先要把课程目标中的过程性和发展性目标分解到本单元内容中，成为在单元学习结束后成为可评价的指标；其次，要分析课程标准中的本单元内容目标，分析要求学生能做什么、做到什么程度以及在什么条件下做.例如：依据《义务教育数学课程标准(2011年版)》，数与代数的过程性发展性总体目标是“从具体情境中抽象出数学符号，理解有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数，掌握必要的运算技能(包括估算)”“通过用代数式、方程、不等式、函数表述数量关系的过程，体会模型思想，建立符号意识”“体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力”.从这里可以明确分式的整体课程目标是“从具体情境中抽象出分式概念，发展符号意识”“掌握分式的四则运算技能”“用分式表示数量关系，体会模型思想”“用分式进行表示的基础上用合情推理发现结论，用演绎推理进行证明”.从具体内容目标看，《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出分式单元如下目标：“了解分式和最简分式的概念，能进行简单的分式加、减、乘、除运算”.

把上述课程目标具体化的分式单元，则可以得到如下的单元整体目标：

(1)抽象分式的概念，了解分式的意义；

(2)能类比分数的基本性质概括出分式的基本性质，并能用来约分和通分；

(3)能进行简单的分式加、减、乘、除运算，形成分式运算技能；

(4)会用分式表示数量关系，并在此基础上通过推理和计算解决简单的问题.

有了单元整体目标，接下来要依据单元中课时教学内容的划分，把单元整体目标分解到课时目标：如，分式的概念教学目标是：①通过整式的除法运算不封闭性和现实情境，类比分数抽象出分式的概念，了解分式的意义，明确分式有意义的条件；②能用分式表示具体情境中数量关系；③会类比分数和整式规划分式的研究思路，提出分式的研究问题.

构建单元目标体系的基本要求是：确立单元整体目标，构建单元整体目标导向下的具体课时内容目标体系，要通过目标解析，用可教、可测、可评的认知任务描述目标.

这样，用具体课时内容目标的落实支撑单元整体目标的达成，使单元整体教学有的放矢，保证单元内容育人价值的有效实现.

3.4.3 分析学情

分析学情首先要分析完成本单元的学习活动需要哪些知识、思想方法及观察、想象、抽象、推理、运算、建模、数据分析等认知能力基础，其中哪些学生已经具备，哪些还不具备，不具备的需要做一些补救.其次，要预估学生在学习中可能是怎样思考的，已有的思考经验是否与当前单元学习活动相匹配，如果不匹配，需要做哪些铺垫、引导和启发.第三，在上述分析的基础上确定学生学习的难点，难在哪里(比如观察不到、想不到、想法多元难以取舍与选择等)，并制定突破难点的预案.

3.4.4 设计单元整体教学策略和架构

单元整体教学设计首先要基于内容、目标和学情选择教学策略，包括问题研究的大观念来自哪里，怎样引入研究对象提出研究问题，怎样规划研究思路，用哪些思想和方法进行研究，研究中要求学生完成哪些认知任务，用哪些问题驱动，等等.其次，要明确划分不同课时的内容，理清不同课时的教学目标和要求，需要用哪些例题、练习、习题等.第三，需要设计本单元的前后测评的方案.特别要指出的是：单元教学中要区分学生“学会”和“会学”两个阶段，“学会”阶段要求通过问题研究获得大观念，或者用大观念研究主要问题，形成或发展研究经验，“会学”则是要求学生能在大观念的引领下，用学会的研究思路、研究内容和研究方法进行独立或小组合作研究，解决新情境中的问题.例如，在等腰三角形单元中，“学会阶段”指的是等腰三角形的性质与判定研究活动;“会学”阶段主要让学生进行独立研究和作业：提出新的特殊三角形(如等边三角形，等腰直角三角形，含30°角的直角三角形等)的研究问题并进行独立研究，写出研究报告进行交流，等等.

3.4.5 设计主题研究活动

主题研究活动是指知识发生发展过程的研究和建构活动，这种活动应该创建适当的数学或现实情境，引导学生发现并引入研究对象；指导学生通过类比，用已有的数学对象研究的大观念去提出研究问题，规划研究思路，然后按照研究思路逐步进行研究，获得知识，构建知识体系.根据内容的特点和学情，主题研究活动可以集中进行，也可以分课时进行并配套相应的例题、练习与作业，但研究的主题、研究的思路架构不能变.例如，平行四边形的性质与判定单元，可以先类比等腰三角形的研究经验，集中进行平行四边形的性质与判定研究，再回头通过习题课的形式进行知识应用与巩固，让学生用学到的研究经验进行对角线的变式研究，得到三角形中位线定理，后面特殊的平行四边形研究，是平行四边形研究经验的迁移，让学生独立研究，写出研究报告.全等三角形判定的单元教学，由于学生刚刚学习形式化证明，重点是学习怎样应用全等三角形判定的基本事实进行推理证明，因此，需要分散练习，这个单元宜采用“研究思路整体规划，分步实施，分散训练”的教学方法.分式单元的教学中，由于需要进行运算技能的训练，采用“整体规划，分步实施”教法可能更合适，比如，第一课时中，创设数学和现实情境引入分式这类对象，类比分数提出研究主题，抽象分式的概念，规划分式的研究思路，而不是把后面的全部内容做系统的介绍.

3.4.6 设计习题课的教学

由于单元整体教学往往采用“先集中研究问题，再进行知识应用”的教学策略，知识的应用和基本技能的训练，以及思想方法的感悟和迁移，则需要专门的习题课来完成.单元整体教学下的习题课教学是目前稀缺而又有重要价值的研究主题.单元整体教学中的习题课，不是单个知识点的对应练习的堆砌，而应该是主题研究活动的整体拓展和延伸，需要引导学生用学到的知识、思想方法和大观念独立系统地研究问题.例如，在等腰三角形单元中，设计以下习题课教学：用学到的研究经验提出新的特殊三角形研究问题并进行系统研究，比如研究等边三角形、等腰直角三角形、含30°角的直角三角形，等等.

结束语单元整体教学是开展深度教学的重要途径，是让数学核心素养发展育人目标落实到课堂教学的一种很有前景的教学策略.研究清楚上述单元整体教学中的四个问题，形成单元整体教学的规范化的教学设计流程，对保证单元整体教学沿着正确的方向发展，改进单元整体教学的育人效果，具有重要的作用.