单元整体视角下小学数学探究性作业的设计

□ 刘善娜

促进思维发展是数学学科的核心使命，也是落实学科核心素养的关键所在。作业是学生独立完成的课内外练习的总称，是实现培养学生思维能力这一数学课程目标的重要载体。在“双减”的大背景下，学生的作业更需摆脱过多的重复操练，要注重发挥作业诊断、巩固、学情分析等功能，教学中应布置分层、弹性和个性化作业。虽然作业促进思维发展在叙说层面已基本形成共识，但在实践中，只关注知识和技能的反复操练和机械识记，忽视思维发展的现象依旧普遍存在。基于单元整体视角进行作业设计是实现作业高质量的途径之一。站在单元之上，教师更能看清全局，摸清教材的脉络，据此帮助学生删减原有的重复性作业，增补探究性作业，形成质高量少的作业体系。

一、指向思维发展的探究性作业类型

（一）“画数学”：通过图示“看见”思维

“画数学”是指让学生用简单的图示把问题的意思表示出来，或者把自己的思维过程用图示呈现出来。“画”可以把学生内在的思维过程变为外在的表现形式，外显对问题的思考过程。“画数学”可以画流程、画模型、画导图等。

1.画流程，让解题思路看得见

画流程是指让学生在解决数学问题的过程中，把隐藏在大脑中的一个个“算法”或者问题解决的步骤画出来。画的过程能帮助学生厘清条件与问题之间的逻辑关系，直观地审视自己的解题思路与程序，防止错误的发生。

例如“组合图形面积”的作业，学生出错的主要原因是解题步骤多，信息量大。通过一步步画解题路径流程图，训练学生用“综合法”与“分析法”解决问题，能大大提升解答组合图形面积问题的正确率。

2.画模型，让解题要素看得见

画模型的过程就是从抽象的文字到直观的图形的再创造、再演示的过程，如画线段图、几何草图等。以“立体图形的认识”为例，很多学生套用公式解决问题，抽象不出图形表象，无法进行三维与二维的转化，这时，教师可以设计画图作业帮助学生解读提炼问题要素：“请你画一个长方体草图。如果在这个长方体的上面，又放了一个长方体，你能在刚刚画的这个长方体上添加吗？观察这个草图，你能发现增加的面是哪些吗？为什么增加的是这一圈前后左右4个面？增加的面的大小与哪些棱有关？你能求出它的面积吗？”（如图1）通过这类不求具体数据结果的画图作业，让学生分析理解解题的要素，关注问题形成过程中条件发生的变化，并结合标注的字母进行表达，学生在想象与描述中提升了空间观念。

图1 “画数学”中的“画模型”示例

3.画导图，让知识生发看得见

思维导图以关键词和图像为支架，帮助学生扩散思维，从一个知识点（或概念）进行生发，使他们的归纳整理能力和想象能力得到提高。例如，“三位数乘两位数笔算”的课后作业，教师并不只是让学生练习笔算，而是让学生通过先写一个式子，再由此进行知识点的生发训练（如图2）。

图2 “画数学”中的“画导图”示例

（二）“说数学”：通过语言“表现”思维

语言是思维的外衣，“说数学”旨在从语言这一途径让思维更加清晰、明了，激发学生表达的兴趣并促进其思维的发展。让学生多表达的目标不仅指向让学生表达结果，还要注意在学生表达过程中加强逻辑思维的训练，促进学生思考能力的提升。

1.“小医生”：诊断中让思维清晰

进行“小医生”角色扮演，可以让学生发现错题、分析陷阱，进行诊断分析，进而找出对策，让整个思维过程清晰可见。

例如，在学习“乘法笔算”单元后，“小医生”可先给自己做一个“全身体检”，把自己在这一单元中做错的题都找出来，并归类分析作业题中的陷阱和自己的错因，再针对自己的做题过程进行总结，寻找出自认为合理的笔算策略，形成一份错题“病例”。

2.“小老师”：讲解中让思维明了

让学生做“小老师”，重在通过讲解具体问题，逐步得出结论，进而提升判断说理能力。如面对“一个平面图形，它的周长越长，面积就越大，这句话对吗”这个问题，“小老师”可以通过举例的方式，条分缕析，逐步得出结论，这一过程让学生的思维明了可视。学生说的过程就是梳理的过程，也是学生反反复复进行自我解读、自我审视与自我调整的过程。这样的作业指向的是思维的训练，面向的是思维的提升。

（三）“做数学”：让思维在做的过程中发展

小学生的思维以感性为主，能集中精力的时间有限，可以做一些体验式、实践性的作业。“做数学”能让学生在操作中体验数学，激发学习数学的兴趣。学生通过合作探究，共同致力于生活中实际问题的解决，进而促进思维的发展。

1.激发学生动手的兴趣

聚焦数学与生活的关联，围绕学生在生活中感兴趣的问题设计作业，能让学生感受到“做数学”的乐趣。基于此，教师可从“基于教材内容”“基于校园资源”和“基于校外资源”三个角度挖掘教学资源，遵循整体性原则开发设计“做数学”作业（如图3）。

图3 围绕学生生活中感兴趣的问题设计作业示意图

例如，“运动会中的数学”就是基于校园资源、让学生自主设计的作业，学生发现了“预赛第一名为什么排在决赛的第四跑道”“跳高调整高度时的等差数列”“跑道起点如何设置”等问题，在后续交流中充分感受到生活中处处有数学。

2.基于合作展开实践探究

为了培养学生合作解决问题的能力，教师可以本着组内异质、组间同质的原则对学生进行分组，一般为5人一组，以学生自由搭配为宜，营造组内融洽的关系，确保小组成员朝着共同的目标前进。

团队组建之后，学生在真实场景中完成有挑战、有意义、有趣味的数学作业。小组成员在这一过程中会产生很多新的观点和问题解决方法。教师要鼓励学生在有了新观点和想法后就大声地说出来，彼此在他人提出的观点之上建立新观点，群策群力借助合作产生的多样化方法，发散思维。例如，在进行测量旗杆高度的头脑风暴环节，学生有的说可以把旗杆放倒进行测量，有的说可以与旁边的办公楼进行对比，也有的说可以利用影长与比例的知识，还有的说可以找一名组员和旗杆一起拍照，通过计算相关数据得出结果，等等。

3.致力于问题的解决

数学来源于生活。引导学生在发现生活中的数学问题后，通过力所能及的实践、调查、分析得出结论，利用所学知识提出建议和策略，经历解决生活问题的过程。在此过程中培养学生的动手实践能力、团队协作能力、数学思维能力。如探索“球形灌木总共有多少片叶子”这个问题，就是通过真实的估算活动帮助学生建立数感。学生经过一系列探究，提出了各种方案，最终讨论确定，可以用渔网罩住灌木的方法解决问题，因为网眼的大小是大致相等的，所以把网罩在灌木上，只要先数出每个网眼内树叶的大致数量，再乘网眼的数量，就可以估算出树叶总数。

另外，如家庭节水妙招、小区门口车流量、调查电瓶车头盔佩戴情况、四色垃圾桶设置等生活中的问题，教师都可以引导学生关注此类问题并尝试加以解决。

（四）“联数学”：让思维在融会贯通中进阶

现实中的问题往往是复杂的，需要融合具体学科中的多个主题以及不同学科的知识，整体性地加以解决。让学生在融会贯通中发展思维是“联数学”这类作业设计的理论依据。通过摸索发现，可以从学科内融合和学科间融合两个方面设计促进学生思维发展的作业，让学生学会用联系的观点看数学。

1.学科内融合

数学中不同专题的知识有内在的联系，需要对其进行融合。比如，乘法分配律这个知识点在运算领域主要用于简便计算。然而事实上，这个知识与笔算、点子图、面积、周长、应用题等知识都有内在的联系，若是学生能够用联系的观点去看这些知识的联结，能够极大地促进其对数学概念的深度理解，并通过触类旁通发展思维。从学生的作业（如图4）中，可以看到这种融合的效果。

图4 乘法分配律与数学其他知识点的融合作业呈现

2.学科间融合

培养学生的问题解决能力，需要在立足本学科的同时，打破固有的学科边界，努力尝试与其他学科在内容和形式上的融合，使各学科之间相互补充、相互促进，真正发展学生的思维。通过多年的摸索，研究团队找到了从生活主题和活动主题两个角度将数学与多个学科进行融合的路径。以数学与美术学科融合为例，可以基于生活主题，梳理出生活中既包括数学知识又包括美术知识的问题，并据此设计相应的作业。如让学生为自己班的女老师设计高跟鞋，就是融合了数学中的黄金比与美术的设计与创造。

二、符合指向思维发展的探究性作业的三个特征

突出问题导向、强调问题解决过程、重视问题解决结果的呈现是探究性作业的特征。具有这三个特征的探究性作业能有效促进学生的思维发展。

（一）突出问题导向

1.问题要具有一定的弹性空间

不指向封闭答案、具备一定开放度的问题，能促进学生个性化的理解，体现不一样的思考路径。如在认识大数后，可设计这样的问题：“你能举出几个大数来介绍与‘大数的认识’相关的知识吗？你会介绍哪些方面呢？”由于每个学生选取的大数各有区别，难度各异且每个大数可以介绍的方面有很多，如计数单位、读法、写法等。这就给了学生一定的表达和思考的弹性空间（如图5）。

图5 弹性问题下的“大数的认识”差异化探究作业呈现

2.问题要立足学生已有的学习、生活经验

学生有经历，有感悟，才能有话可说，有理去推，有图去分析，有自己的体会去对应理解。如四年级学生在学习“交换律”这一内容时，教师请学生想办法教一年级学生学交换律，同时提出自己的困惑，学生在作业中通过写、画等方式把一年级学生教“明白”，也提出了自己当下的“不明白”。

3.问题的来源要有丰富性

要让学生自主发现问题，实现问题来源从教师到学生的转变，就不应局限于教师设计问题。在研究早期，考虑到学生对这一类型作业感到陌生，主要由教师设计探究性问题。到了后期，转变问题来源，让“问题来自学生”，让学生发现问题、设计问题，可进一步激活学生的思维。例如，探究性作业“大石头有多重”，就是先由学生自己提出“校园里这块大石头有多重”的问题，然后确定研究的方法，估算石头的体积，计算石头的质量，最后总结反思学生在团队合作中经历的探究过程。

（二）强调问题解决过程

探究性作业重在探究的过程，这是探究性作业“探究”的要义所在，也是探究性作业可以促进学生思维进阶的重要基础。常态作业里，学生从拿到问题到解决问题，整个思考过程都是内隐的。探究性作业，则强调将这一内隐的思考过程显性化表达。教师可根据小学生的年龄特点，引导学生通过画图、讲故事等方式表达自己的理解，找出表达的依据，鼓励学生形成作品意识，享受作业完成过程中的趣味性。

1.引导多使用“工具”去表达

表达内隐的思维过程，需要工具、方法的引导。使用“工具”就是利用草图分析、借生活故事比喻、关联已有生活经验去举例等。例如，三年级学生在学习了“口算两位数加、减两位数（和在100以内）；笔算几百几十加、减几百几十；用估算解决问题”这一单元之后，教师为了让学生对“估算”有更深入的认识，基于学生的生活实际，设计了这样一道探究性问题：“我校一年级有359人，二年级有252人，三年级有285人，四年级有303人。少先队大队部为本周去秋游的学生准备了600顶小黄帽。猜一猜，可能是哪两个年级在本周去秋游？你是怎么猜的？请你画一画思路，写一写方法。”在解决这一探究性作业的过程中，教师特别要求“画一画、写一写”，为学生提供了呈现问题解决过程的“想法→画图→现在知道→答案→提出新的问题”这一支架。

2.凸显作品意识

培养学生形成一定的自我表达逻辑，让个性化作业成为个性化作品。

3.鼓励趣味性

小学生受到年龄特征的影响，喜欢幽默有趣的、好看的插图，教师应在一定程度上给予引导和鼓励，让学生把探究性作业当作情绪释放、思考绽放的载体。

（三）重视问题解决结果的呈现

探究性作业与常态数学作业在结果呈现方式上有很大不同。首先，探究性作业的结果都是未知的，教师在批阅探究性作业之前，不知道学生会递交怎样的作业；其次，探究性作业呈现的都是学生颇具个性化的作品；另外，探究性作业还体现了自然分层的特征。正因为具有这些特点让有不同经验、不同能力的学生可以完成不同思维层级的作品，这不但有利于教师因材施教，也让学生对每一次作业充满期待。

值得注意的是，小学生的探究重在基于观察、发现问题，通过解读、分析、验证和反思，得出解决问题的办法，并在拓展和应用的过程中进行创造性表达。但并不是所有知识都适合探究，因此教师必须在明晰单元教学目标的基础上，分析原有作业类型与思维指向，根据思维发展需求设计该单元的探究性作业。