一类时空的分数阶组合扩散方程的初边值问题

管亭亭，张松涛

1.山西师范大学数学与计算机科学学院，山西 临汾 041000；2.山西省临汾工商行政管理学校，山西 临汾 041000

0 引言

最值原理是研究扩散方程、复杂动力系统等现象的重要方法.通过最值原理，可以直接或间接获得分数阶偏微分方程解的一些重要性质，如：解的唯一性、正解或负解的存在性、比较原理以及解的连续依赖性等.2009年，Luchko[1]给出了分数阶偏微分方程最值原理的具体表达式.他应用该原理获得了一类广义时间分数阶扩散方程的解的存在性与唯一性[2,3].2016年，Jia和Li[4]研究了具有分数Laplace算子的时空分数阶扩散方程.他们应用时间分数阶导数和分数Laplace算子的性质，证明了古典解和弱解的最值原理.2019年，Wang[5]等研究了具有分数Laplace算子的Hadamard分数阶偏微分方程的初边值问题，得到并证明了该方程的最值原理，并应用该原理得到了一些存在性与唯一性结果.2020年，Mokhtar和Berikbol[6]证明了分别具有时间分数阶Caputo型导数和时间分数阶Riemann-Liouville型导数的时空分数阶扩散方程和时空分数阶pseude-paraboic方程初边值问题解的唯一性和连续依赖性.分数阶微分方程的最值原理具有潜在的广泛应用，它引起了越来越多的学者的关注和研究[7～10].

Jarad[11]给出了Caputo型和Riemann-Liouville型分数阶组合导数及它们的一些性质.据我们所知，关于Caputo型分数阶组合导数的最值原理及其应用的数学文献还很少.受此启发，本文研究了一类时空的Caputo型分数阶组合扩散方程.首先，我们应用Caputo型分数阶组合导数的预备知识得到一个最值原理.其次，通过最值原理，我们得到了初边值问题的解的估计、解的唯一性与连续依赖性.

本文结构如下：第1部分给出一些关于Caputo型分数阶组合导数的预备知识；第2部分证明最值原理；第3部分应用最值原理获得初边值问题解的估计、解的唯一性与连续依赖性.

1 预备知识

本文我们研究一类时空的具有分数阶组合导数的分数阶扩散方程

(1)

(2)

记

H={u(x,t)|u(x,t)∈C2,1((0,l)×(a,b]),u(x,t)∈C([0,l]×[a,b])}

2 最值原理

在这一小节，我们考虑具有初边值条件(3)的线性时空的具有Caputo型分数阶组合导数的分数阶扩散方程(1)，其中初边值条件如下：

u(x,a)=φ(x)x∈(0,l)
u(0,t)=μ1(t)t∈[a,b]
u(l,t)=μ2(t)t∈[a,b]

(3)

定理1 假设u(x,t)∈H满足具有初边值条件(3)的线性时空Caputo型分数阶组合扩散方程(1).当f(x,t)≤0，(x,t)∈(0,l)×(a,b]时，则

(4)

成立.

证明 以下用反证法证明定理成立.假设不等式(4)不成立，即存在一个点(x0,t0)∈(0,l)×(a,b]使得

(5)

记ε=u(x0,t0)-M，做函数

容易知W成立如下不等式

由W满足的第二个不等式可知，W在[0,l]×{a}∪{0}×[a,b]∪{l}×[a,b]上取不到最大值.

W(x1,t1)≥W(x0,t0)≥ε+M>ε

故在点(x1,t1)如下不等式成立

(6)

式(6)与式(1)矛盾，故假设不成立.证毕.

用-u代替u，同理可证下面这个定理.

定理2 假设u(x,t)∈H满足具有初边值条件(3)的线性时空Caputo型分数阶组合扩散方程(1).当f(x,t)≥0，(x,t)∈(0,l)×(a,b]时，则

成立.

3 最值原理的应用

定理3 假设u(x,t)∈H满足具有初边值条件(3)的线性时空Caputo型分数阶组合扩散方程(1)，则

(7)

成立，其中M=‖f‖C([0,l]×[a,b]).

如果u(x,t)是满足初边值条件(3)的扩散方程(1)的解，则V(x,t)是扩散方程(1)的解其对应的初边值条件如下：

因此

(8)

同理可得

(9)

由式(8)及式(9)，定理得证.

定理4 假设u(x,t)∈H是具有初边值条件(3)的扩散方程(1)的解.u(x,t)连续依赖于所给定的初始条件及边界条件，即，如果

‖f1-f‖C([0,l]×[a,b])≤ε‖φ1-φ‖C([0,l])≤ε0

定理5 假设f(x,t)≤0,φ(x,t)≤0，μ1(x,t)≤0且μ2(x,t)≤0，如果u(x,t)∈H是具有初边值条件(3)的扩散方程(1)的解，则

u(x,t)≤0 (x,t)∈[0,l]×[a,b]

成立.

定理6 假设f(x,t)≥0,φ(x,t)≥0,μ1(x,t)≥0且μ2(x,t)≥0，如果u(x,t)∈H是具有初边值条件(3)的扩散方程(1)的解，则

u(x,t)≥0 (x,t)∈[0,l]×[a,b]

成立.

注1 假设f(x,t)=0,φ(x,t)=0,μ1(x,t)=0且μ2(x,t)=0，如果u(x,t)∈H是具有初边值条件(3)的扩散方程(1)的解，则

u(x,t)=0 (x,t)∈[0,l]×[a,b]

成立.

(10)

在H中如果有解必是唯一解.

证明 假设u1和u2是非线性初边值问题(10)的两个解.令

u(x,t)=u1(x,t)-u2(x,t) (x,t)∈[0,l]×[a,b]

则u满足如下方程

(11)

由于

(12)

其中u*=(1-λ)u1+λu2,0<λ<1.

由式(11)及(12)可得

定理得证.