思维可视化：厘清圆柱与圆锥体积关系的实践策略

张雪平

在六年级数学圆柱与圆锥的计算教学中，学生常常公式会背，但计算不会。在已知的等底等高圆柱体积是圆锥体积的三倍，圆锥体积又是圆柱体积的三分之一，学生在学习两者之间的关系，解决实际问题中会出现很多错误。如何厘清圆柱与圆锥的体积关系并提高学生解决问题的能力？

一、研究背景

（一）硬背公式，不会运用

学生只有死记硬背，完全不理解圆柱与圆锥的体积，有的只有机械的记忆。学生对于圆柱体积计算公式：V柱=sh，圆柱底面积（圆面积）计算不理解，不懂圆柱高与什么有关，对于圆锥的体积是圆柱体积的三分之一思维也是空白的，没有逻辑思维能力。在“SOLO分类理论”中处于前结构层次。

（二）概念模糊，不会转换

在已知条件比较明显的题型中，会运用计算公式进行简单的圆柱体积与圆锥体积的计算。但由于各个点之间没有联系起来，或者某个知识点上出现了问题，无法将圆柱体积与圆锥体积两者之间有机贯通，会公式、会简单体积计算，但往往不会分析两个图形之间的关系，导致圆柱、圆锥之间底面积、高、体积三者转换出现错误。在“SOLO分类理论”中处于单点结构到多点结构层次转变不够。

（三）思维单一，不会变通

学生不会利用圆柱与圆锥体积的相关知识进行概括，在多种题型中归纳总结能力不够，找不到已知条件或已做题型之间的关联性。导致学生做一题是一题，不会“一题多解”“多题通解”“一题多变”的学习方式。在“SOLO分类理论”中属于关联结构层次不够。

二、实践策略

本文中笔者尝试以丰富的题型分析及经验反思，对“通过塑形、建模、绘图来强化思维可视化”的教学策略进行实践研究，致力于提升数学思维可視化，优化圆柱与圆锥的体积计算。

本文中思维可视化主要利用图示技术中思维导图、模型图、流程图、概念图等思维可视化方法对圆柱与圆锥体积之间的关系及问题解决的方法进行阐述。本文以“思维可视化”为生长线，以“塑形”为基础点，以“建模”为支撑点，以“绘图”为拓展点，以此为主轴，以题型、计算为辅助，充分呈现学生的“思维可视化”过程，提升圆柱与圆锥体积计算的问题解决能力。

（一）“塑形”促思维可视化

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。”研究者认为，在圆柱与圆锥的体积教学前，先要让学生从原有认知水平出发，通过“塑形”逐渐加深圆柱与圆锥体积相关的数学学习思维的可视化。一般包含用实物塑形，用学具塑形，用意想塑形三个层次。

1.用实物塑形

圆柱与圆锥是小学阶段第一次接触曲面的立体图形，是建立在正方体和长方体体积认知的基础上进一步深入学习体积。教学中可以通过学生日常生活中常见的圆柱与圆锥实物入手，让学生经历“看一看、摸一摸、量一量”等基本数学活动，生动形象地塑造“原型”。“看一看”让学生寻找圆柱与圆锥的相同点与不同点；“摸一摸”感受三维立体空间及曲面的变化；“量一量”能够通过测量得到两个图形中哪些有用的数学信息。教师在课堂中利用生活中的实物让学生用“五官”感知圆柱与圆锥的“型”。

荷兰著名的数学教育家弗赖登塔尔强调：“学习数学唯一的方法是实行‘再创造，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来。”利用小组合作交流的形式找到实物圆柱与圆锥外形特征上的相同点与不同点，并测量相对应的有效数据，让学生感知曲面图形的测量方法（如表1）。

2.用学具塑形

学生寻找的实物在测量对比过程中无法得出特定的数据，这时需要用到特定的学具进行研究，得出圆柱与圆锥之间存在的密切关系。在教材配套的学具中有对应的圆柱与圆锥学具，学生用学具进行研究，发现两者之间底面积相等，高相等，塑造“等底等高”的圆柱与圆锥模型。

3.用意想塑形

通过实物、学具塑形实现思维可视化，用意想强化思维可视化，塑造“空间模型”。学生空间观念的发展是离不开对表象物体的进一步想象的。建立在想象塑形中，学生才能从形象思维过渡到抽象思维，从具体到抽象，从而更加深刻地感悟空间观念。

（二）建模促思维可视化

数学空间观念的形成是学生通过旧知转化新知，完善数学模型的过程，需要学习者将所学知识纳入到其内在逻辑形式及知识网络中，实现新概念与旧经验的融合，构建起合理的知识结构网，形成建模思想。一般包含动态演示建模、公式推导建模、条件逆推建模三种形式。

1.动态演示建模

在现代信息技术发展下，教学中可以通过动态的演示形成更直观的空间感知。在教学中用动态演示呈现圆柱与圆锥从具体到抽象的过程，从“体动成面、面动成线”的动感生成过程，实现了“体—面—线”的思维可视化。同时，完善意想塑形，加深学生对于圆柱与圆锥体积的建模（如图1、2）。

2.公式推导建模

在《九章算术·商功》中记载了关于圆柱和圆锥体积之间的关系，圆柱体积：“今有圆堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺。问：积几何？答曰：二千一百一十二尺。术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一。”圆锥体积：“今有圆锥，下周三丈五尺，高五丈一尺。问：积几何？答曰：一千七百三十五尺一十二分尺之五。术曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。”从而验证了圆锥体积是圆柱体积的三分之一。圆锥体积需建立在圆柱体积基础上推导公式，圆柱体积需建立在长方体体积基础上推导公式，环环转化建立公式推导可视化模型。在公式推导过程中借助动手操作、动态演示、图形绘制等方法把圆柱的体积转化成其他物体的体积，渗透“转化”和“等积变形”的数学思想，发展学生的空间观念。尝试把圆柱切、拼成近似的长方体，并思考长方体的长、宽、高分别对应的是圆柱的底面圆的周长和高。同理，借助学具推导圆锥的体积公式。

3.条件逆推建模

（三）绘图促思维可视化

圆柱与圆锥的思维可视化过程是从“体—面—线”的学习过程，在厘清圆柱与圆锥的体积关系后，遇到解决实际问题时，还需继续借助几何直观的图形来阐明圆柱与圆锥之间的某种关系。研究者认为，通过绘图“以形解数”方式可以更好地形成思维可视化的效果，一般包含变识图为绘图、变转化为绘图、变答疑为绘图三个方向。

1.变识图为绘图

在解决实际问题时，一般都会用“数形结合”的方式进行解题，研究者认为在圆柱与圆锥的体积计算时，有时也可以“以形绘形”，把具体物体抽象化，提炼出几何直观图形，以面转线，更直观、简便地展现思维可视化。

2.变转化为绘图

在已有的思维导图公式中，把难懂的数学体积公式用绘图来代替，让学生能更看得清，弄得明。如：将圆柱与圆锥体积相等的两个图形画出来，当底面积相等，那么圆锥的高是圆柱的3倍；当高相等，那么圆锥的底面积是圆柱的3倍。在实际解决问题中，可以让学生在逆推公式时用绘图的方式，将两者解决问题的过程进行对比，也能有效地对结果是否正确进行检验。

3.变答疑为绘图

有时学生遇到问题时，往往直接用正确的公式去計算，但有的学生却无从下手。其实真正会解题的同学并不是公式会背，而是在他们看到题型时，已经在大脑中绘制成了一个图形。有的同学能正确绘图也就能理解题意，在学生掌握“画图策略”的数学技能时，数学学习也就变得更轻松了。如：（1）一根3米的圆柱形木料，沿着横截面把它截成3个小圆柱，表面积增加了4.8平方米，原来这根圆柱形木料的体积是多少？学生在解决问题时首先借助图形：理解题意中增加的面有几个，增加的是哪几个面，增加的面面积相等吗？学生在直观可视化的图形中更能厘清解决问题的思路。

新课标中强调数学教学要以学生的发展为本。建构主义理论认为：“知识不是被动接受的，而是由认知主体构建的。”总之，只有学生自己习得的知识才能将其学懂、弄透。在图形计算的过程中，学生不断地通过塑形、建模、绘图的思维可视化过程对图形知识进行探索，揭露图形的本质，最终实现思维的灵活变通，达到最佳的学习效果。