基于Jacobi椭圆函数的CH方程的求解方法

邹灵果

(厦门海洋职业技术学院 公共教育学院，福建 厦门 361009)

近年来，研究非线性方程的方法已趋于成熟，学者们利用各种方法研究典型的非线性方程，得到了一些很有意义的解。 其中，行波解是非线性偏微分方程非常重要的一类解，并且很多典型的非线性偏微分方程有丰富的行波解。 例如：KdV方程ut-6uux+uuxxx=0[1]有光滑的孤立波解；CH方程(Camassa-Holm方程)ut-uxxt+3uux=2uxuxx+uuxx[2]有孤立尖波解等行波解；Fornberg-Whitham方程ut-uxxt+ux=uuxx-uux+3uxuxx[3]在一定条件下会出现爆破的行波解。 除此之外，Burgers方程、Sine-Gordon方程、KP方程等都有丰富的行波解。辅助方程法[4](代数方法)、广义椭圆方程法[5]、F-展开法[6]和平面动力系统分支理论[7]都被运用到非线性偏微分方程领域的研究中，这4种数学方法一直都是很好的非线性分析工具。本研究利用Rui[8]提出的一种改进的方法即积分分支法来求解非线性偏微分方程，这种改进的方法不像分支理论那样涉及复杂的相图分析，它很容易就能够满足，可为用积分分支法解非线性偏微分方程奠定基础。

1 非线性偏微分方程的积分分支法

1.1 积分分支法概述

对于一个给定的(n+1)维非线性偏微分方程：

E(t，xi，uxi，uxixi，uxixj，utt，…)=0，i，j=1，2，…，n，

(1)

积分分支法简单过程如下：

P(ξ，φ，φξ，φξξ，φξξξ，…)=0。

(2)

反复对式(2)积分，直到它变成式(3)这样的二阶非线性常微分方程后进行下一步：

G(φ，φξ，φξξ)=0。

(3)

(4)

(5)

这里的τ是参数。

如果方程(4)是一个积分系统，那么方程(4)与方程(5)有如下相同的积分：

H(φ，y)=h，

(6)

这里的h是积分常数。一般情况下，函数(6)满足如下关系：

y=y(φ，h)，

(7)

如果式(7)是一个积分表达式，那么把式(7)代入系统(4)的第一个方程并进行积分运算，得到

(8)

如果式(7)是一个分式，那么把式(7)代入式(5)的第一个方程并进行积分运算，得到

(9)

因为方程(1)的参数值和方程(6)、(7)中的常数h是变化的，方程(8)、(9)也一样，所以称这些积分表达式为积分分支，不同的积分分支相当于不同的行波解。

以上为积分分支法的全部过程。

1.2 积分分支法的改进

Rui[8]在积分分支法的基础上结合Jacobi椭圆函数积分对积分分支法进行了一些改进。

由系统(4)得到

(10)

或者由系统(5)得到

(11)

根据A，B，…，C或P，Q，…，R的取值，结合表1可以得到方程(1)的解。

表1 方程F′2=RF2+QF3+PF4的参数选择Tab.1 Parameter selection of equation F′2=RF2+QF3+PF4

2 采用积分分支法求CH方程的精确解

2.1 对CH方程约化

ut+c0ux+3uux-α2(uxxt+uxxx+3uxuxx)+γuxxx=0。

(12)

首先对方程(12)作变换，令u=φ(ξ)=φ(x-ct)，其中ξ=x-ct，x为波长，t为时间，都是变量，c为波速，为待定参数，则方程(12)变形为

(c0-c)φ′+3φφ′-α2(-cφ‴+φφ‴+3φ′φ″)+γφ‴=0。

(13)

方程(13)两边对ξ积分得

2(c0-c)φ+3φ2+2(α2c+γ-α2φ)φ″-2α2(φ′)2=0。

(14)

令φ′=y，则方程(14)变成下面两个微分系统：

(15)

再令

dξ=2(α2c+γ-α2φ)dτ，

(16)

则系统(15)变为

(17)

由式(17)得

(18)

化简得

(19)

解方程(19)，得

(20)

式中的h为积分常数，即

(21)

结合式(16)，方程(21)可以变形为

(22)

2.2 求CH方程的精确解

(1)情形Ⅰ：h=0。

方程(22)变形为

(23)

dξ=D(1+Eφ)dτ。

(24)

(25)

类似地，结合表1和方程(24)得到方程(12)的解：

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

由此可知，解(33)是孤立波解。

(2)情形Ⅱ：h≠0。

(34)

φ(τ)=sn(τ,r)。

(35)

把方程(35)代入方程(26)，两边积分，可得到方程(12)一个特殊的周期波参数解：

(36)

(37)

(38)

(39)

2.2.2求CH-γ方程的显式解

由方程(20)定义

(40)

(41)

当-α2c-γ=0时，即当γ=-α2c时，hs=0，取h=hs(α≠0)，则方程(20)可变形为

(42)

即

(43)

所以

(44)

把方程(44)分离变量，两边积分得

(45)

(46)

3 结语

本研究采用积分分支法结合Jacobi椭圆函数积分在不同的参数条件下得出了方程(12)的多种参数行波解和一种显示解，包括纽子波解、反纽子波解、周期波解、孤立波解等行波解，并与现有文献相比得到了一些新的结果。