以“算”启“思”，生长指向数学思维

郭兴华

【摘 要】数的运算历年来是小学数学教学的重要内容，培养和发展运算能力一直是小学数学教学的主要目标之一。整数除法笔算是小学阶段数的运算中的一大难点，为了克服这一难点，笔者对比多种版本教材的编排，解析整数除法笔算的意义理解，并结合“首位能整除的两位数除以一位数的笔算”的教学实践探索出促进学生学习整数除法笔算的教学策略，推动学生数学思维的积极发展。

【关键词】除法笔算 教学策略 数学思维

数的运算教学，主要包括口算、笔算、估算和简算的教学。而笔算是以口算为基础的复合运算，它作为计算教学的一个内容，不只是满足于学生发现算法、理解算理，更重要的是使学生愿思维、会思考。在立德树人、发展素质教育的今天，有结构、有系统、有目标地进行笔算教学，是培养学生运算能力素养的重要途径。但在实际教学中，普遍存在着“重算法，轻算理;重计算，轻思维”等实际问题。本文将主要对小学阶段整数除法笔算中的“首位能整除的两位数除以一位数的笔算”进行研究，深入挖掘除法笔算教学这一领域所蕴含的内涵以及思维价值。

一、整数除法笔算的运算意义

进入21世纪，“数学课程标准（实验稿）”把运算作为学生必须具备的数学应用技能之一，在课程目标中明确要求学生“掌握必要的运算技能”。而《义务教育数学课程标准（2011年版）》更是进一步加强了数的运算地位，目标更加明确具体，内容结构更加完善，明确指出“应当注重发展学生的运算能力”。运算能力的形成是建立在对运算对象的理解，对运算法则和运算律的理解、掌握与运用，以及对运算价值的体会的基础上，其表征是正确地进行计算。运算能力的培养有助于学生理解运算的算理，发展思维能力。

整数除法笔算作为整数四则运算之一，它的运算意义不仅仅是让学生掌握除法竖式计算的格式，更重要的是让学生经历主动建构算法的过程，提升运算能力。在学习整数除法笔算之前，学生已经有了口算表内乘除法的知识经验和方法经验，这些计算经验都为整数除法笔算的学习做好了铺垫。当学生无法利用原有计算经验解决问题时，就会产生寻求新的计算方法的需求。整数除法笔算的教学过程其实就是理解算理、构建算法的过程，起到帮助学生调度经验、启发思维的作用。

二、整数除法笔算的编排特点

（一）蘇教版教材整数除法笔算教学的编排体系

笔算教学贯穿于整个小学数学教学的始终，它的重要性不言而喻。而整数除法笔算主要集中在低中年级。在苏教版数学二年级下册中，第一次安排“有余数的除法笔算”;随后在苏教版数学三年级上册中，安排了“两、三位数除以一位数的笔算”;最后在苏教版数学四年级上册中，则安排了“两、三位数除以两位数的笔算”。可以看出“两、三位数除以一位数的笔算”在整数除法运算中具有重要的承上启下的作用，它不仅是表内除法的自然延伸，同时也是除数是两位数乃至更多位数除法的基础。

（二）不同版本教材的编写对比

1.与人教版教材相比

人教版教材在教学除法笔算时，先通过例题教学首位能整除的两位数除以一位数（42÷2）的笔算，然后通过例题教学首位不能整除的两位数除以一位数（52÷2）的笔算，最后通过例题再教学三位数除以一位数的笔算。苏教版教材在基本计算方法的教学中，则先通过例题教学首位能整除的两位数除以一位数（46÷2）的笔算，再通过随后的“试一试”教学首位能整除的三位数除以一位数（246÷2）的笔算，最后再通过例题教学首位不能整除的两位数除以一位数（52÷2）的笔算。不难看出，苏教版教材这样安排更有利于学生实现自主迁移，将已有的计算经验迁移到新知的学习中去，并逐步形成合理的认知结构，从而为学生进行探索性学习以及习得新的思维技能提供更多机会。

2.与旧版（实验版）教材相比

旧版教材在本单元的第一课时主要教学首位能够整除的整十数除以一位数的口算，以及首位能够整除的两位数除以一位数的笔算。首先，列出算式“40÷2”解决第一个问题，让学生理解基本算理，掌握首位能够整除的整十数除以一位数的口算方法，为学生进一步探索首位能够整除的两位数除以一位数的计算方法打好基础。然后再列出算式“46÷2”解决第二个问题，让学生掌握首位能够整除的两位数除以一位数的计算方法，理解竖式计算的基本原理和程序。而新教材把上述内容安排了两课时进行教学，第一课时先教学整十、整百数除以一位数的口算，让学生打好基础，初步掌握算理和算法，然后在第二课时再教学首位或首两位都能整除的两、三位数除以一位数的笔算。不难看出，新教材这样安排不仅合理分解了教学目标，分散了教学难点，降低了学生学习的难度，而且给予学生充分的探索空间，帮助学生搭建思维阶梯。

三、指向数学思维生长下整数除法笔算的教学策略

（一）创设开放性问题情境

创设开放的问题情境，其核心意义在于引导学生以问题解决为任务驱动，激发学生学习的内驱力并进行数学思考，同时引发学生的认知冲突，形成指向数学思维生长的动因。

以苏教版教材中“首位能整除的两位数除以一位数的笔算”为例，教材中以10个羽毛球为一筒的4筒羽毛球和6个单个的羽毛球为题材创设了具体的问题情境，并提出问题：“平均分给2个班，每班分得多少个？”呈现了需要用两位数除以一位数计算的实际问题。教师在课堂教学中引领学生列出除法算式后，让学生利用已有除法运算的知识和经验尝试算出得数。当学生利用现有知识和经验无法解决问题时，就产生了认知冲突，于是数学思维就产生了动因。此时，教师要借助情境的设置，用小棒代替羽毛球，在真实的情境中分小棒，带动有条理的思考，帮助学生理解两位数除以一位数的算理与算法。所以，创设相对真实的问题情境，不但有助于唤醒学生已有的生活经验，而且有助于学生的数学思维在认知冲突中开始萌芽。

（二）设计挑战性学习任务

在数学思维课堂教学中，要想培养学生自主解决问题的能力，设计挑战性学习任务无疑是学生学习数学的助燃剂。它可以促使学生尝试用现有知识和经验去解决有难度的问题，让学生的数学思维看得见。思维可视化是指向数学思维生长的基础。

在“首位能整除的两位数除以一位数的笔算”这节课中，当学生列出除法算式“46÷2”后，如果教师只是要求学生尝试列竖式计算出得数，那么这样的教学设计显然就束缚了学生的思维，不仅不利于学生体验解决问题方法的多样性，而且也不利于学生自主探索、合作交流等能力的培养。因此，教师可以设计这样的学习任务：（1）想一想：你打算用什么方法算出得数？如果需要的话，可以和组内同学交流讨论。（2）试一试：用你想到的办法尝试算出得数。（3）说一说：把你的想法在组内和其他同学交流一下。当学生面对这样一个富有挑战性的学习任务后，教师没有给予任何有关分析和思考问题的方法提示，而是放手让学生动脑、动手操作，使学生的思维得到真正的磨砺。这样的学习任务让我们清晰地看到学生在自主探索与合作交流基础上的真实、丰富的思维过程和思维成果，有效地促进了学生思维能力的提升。

（三）引导可视性思维表达

思维表达能力是学习能力的体现和反映。在数学思维课堂教学中，教师要引导学生通过可视化的思维表达，激活知识，将知识真正转化、升华为能力，实现从掌握知识和能力到培养思维品质和提升思维能力的转向，这是指向数学思维生长的关键。

1.自主探索，呈现学生思维过程

在“首位能整除的两位数除以一位数的笔算”这节课中，教师在提出挑战性学习任务后，让学生想一想、试一试并说一说，用自己想到的方法来尝试算出算式“46÷2”的得数。通过这些活动，引导学生积极动脑、独立思考、自主探索，进而呈现出学生的思维过程，思维的深刻性、灵活性、独创性在过程中不断地被提升，学生的学习逐渐从表层学习走向深度学习。

2.互动交流，展现学生思维方法

当学生用自己的方法算出得数后，教师可以进行结构素材资源的捕捉，为接下来的互动交流、质疑思辨埋下伏笔。有的学生会通过摆小棒寻找到分法，借助摆小棒的结果找到答案;有的学生会联系生活经验，想到可以先把4筒羽毛球平均分成2份，每份2筒，再把6个羽毛球平均分成2份，每份3个，合起来是23个;有的学生会利用知识经验将操作过程抽象成分步计算，即先算40÷2=20，再算6÷2=3，最后算20+3=23;还有的学生是通过列竖式算出得数。此时要引导学生比较不同的方法之间有没有共同点，让学生来进行评价，帮助学生从不同中找相同，在对比中层层深入。这样学生既明晰了不同的思维方法，又领会到了不同方法之间的联系与区别，让思维敞亮。

（四）组织系统性回顾反思

数学思维经验的积累是一个循序渐进的过程，学生在数学活动中的自我反思，对于提升和丰富数学思维经验是十分必要的。因此在课堂教学中，教师要组织学生对参与了的数学活动进行回顾与反思，反思自己思考了哪些问题，运用了哪些思维方法，有什么好的经验，进而从中回味思路，自我领悟，形成指向数学思维生长的保障。

在进行全课总结时，教师可以提问学生：“今天这节课我们学习了首位能整除的两位数除以一位数，你是怎样思考的？又是怎样去研究的？笔算的过程为什么要分两步除？笔算时还要注意什么？”然后让学生在充分独立思考、相互交流后进行回顾与反思，促使学生系统化、结构化地梳理知识，防止知识以及思维点状化。同时鼓励学生完整表述自己的观点，以帮助学生完善认知结构，促使思维“清晰化”，让较低级的数学思维经验上升到一个更高的水平，并逐步生成新的数学思维经验。

综上，在整数除法筆算的教学中，教师不仅要重视学生对算理的理解和算法的掌握程度，更要进一步抓住思维的提升点，让学生在深度思考的过程中积累数学思维经验，使整数除法笔算教学不仅成为提升学生运算能力的重要途径，更是开启学生思维发展的一把“金钥匙”。

【参考文献】

[1]王林.小学数学课程标准研究与实践[M].南京：江苏教育出版社，2011.

[2]潘小福.小学数学教材的专业化解读[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2017.

注：本文系江苏省中小学教学研究2017年度第十二期课题“城郊接合部小规模学校小学数学学习的困难及对策研究”（编号：2017JK12L077）的阶段性研究成果。