《二次函数模型的实际应用》教学案例

黄德诚 周之琴

【摘要】本文以《二次函数模型的实际应用》为例，阐述利用生活中见到的拱桥辅助学生学习运用二次函数模型解决实际问题的意识和能力，以及在解决问题的过程中渗透函数、方程等模型思想的具体做法，使学生切身感受数学来源于生活，又能更好地服务于生活，从而激发学生学习数学的热情和兴趣，培养学生的数学应用意识。

【关键词】二次函数模型 模型思想 数形结合

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2021）29-0084-04

在数学教学中，教师普遍重视数学知识、概念的教学以及技能和算法的培养，但却常常不太重视对数学思想的渗透和数学能力的培养。学生虽然掌握了比较丰富的数学理论知识，但不能较好地将理论知识和实际应用联系起来，导致学生数学学习效果低。因此，针对这种现象，笔者试图以《二次函数模型的实际应用》为例，阐述创设实践性教学模式，将数学知识与生活中的实际问题结合，调动学生学习兴趣的方法，使学生理解数学的价值和建立模型的意义，以便提高学生运用数学知识解决问题的意识和能力。

一、教学背景分析

（一）教学内容分析

二次函数是初中数学学习的重要内容之一，它的应用是本章的教学重点和难点。它是从生活实际问题中抽象出的数学知识，又是在解决实际问题中被广泛应用的数学工具，因此这部分的教学内容具有重要意义。同时，学好二次函数，并能较好地应用，也是为高中进一步学习各类初等函数作好准备。初中学习的二次函数是比较简单的函数，也是其他初等函数的基础。它与一元二次方程紧密联系，在许多方面也会用到一元二次方程的相关知识。因此，在教学中，教师要让学生经历从实际问题情境入手，到抽象出解决问题的数学模型和相关知识的过程，理解二次函数的价值和建立二次函数模型的意义，培养学生运用二次函数解决问题的能力。

（二）学生情况分析

本节课的授课对象是九年级的学生。在此之前，学生已经掌握了求二次函数解析式的方法并理解图象上的点和图象函数的关系，也学习了一元一次方程、一元一次不等式、一元二次方程、一次函数，并掌握了运用这些知识解决问题的方法，初步掌握简单的二次函数的应用知识。在数学课堂上，他们也多次经历了从实际问题抽象出数学知识，再运用相关知识解决实际问题的过程，因此他们有解决简单实际问题的基础知识和基本能力。但是，他们从实际问题中抽象出数学问题的能力以及利用已有的数学知识去解决比较复杂的问题的能力还仍然比较弱。他们对比较抽象的函数知识还是感到比较难掌握，多数学生对函数的应用意识也不强。

二、教学过程

（一）情景导入

播放一组幻灯片，内容如下：

（1）赵州桥;（2）遇龙桥;（3）桂林花桥;（4）解放桥。

师：（提问温故）图中的桥洞是什么形状？有我们学过的数学图象吗？

生：二次函数。

师：对了，这就是我们这节课要研究的问题：二次函数模型在拱桥问题中的实际应用。

【设计意图】这个设计，引入学生熟悉的生活情境，激发学生的学习兴趣。

【赏析教法】通过演示法，让学生感知数学来源于生活。

（二）师生互动，探索新知

师：（用多媒体出示例题）如图，抛物线形的拱桥，当水面在CD时，拱桥顶E离水面CD为2 m，水面CD宽4 m;当水面下降1 m时，水面宽度AB是多少米？

1.师生共同分析，将实际问题转化成数学问题

让学生独立分析题意，请一名同学口述标图，将原图中的抛物线抽象出来，教师板书。

师：将这里的抛物线抽象出来后，已知什么？未知什么？

生：已知EN=2 m，CD=4 m，NM=1 m。未知AB=？m。

师：联系我们已有的知识，我们可以将线段长度问题转化成什么？

生：坐标。

师：在学习用坐标表示点的位置时，我们借助了什么工具呢？

生：坐标系。

师：现在没有坐标系，我们应该怎么做呢？

生：画一个坐标系。

师：建立坐标系后就能有点的坐标么？

生：不一定。

师：我们来看A、B两点在哪儿？

生：抛物线上。

师：因此我们需要先求出这个抛物线的解析式，然后再求A、B两点坐标。

师：（教师初步小结）在研究二次函数时，我们仍然是在坐标系中研究它的图象以及解析式，因此现在解决问题的关键是建立平面直角坐标系。

师：怎样建立坐标系以求出抛物线的解析式呢？请大家在备用图上试一试。

【设计意图】这个设计，通过提问引导，帮助学生分析问题，找到解决问题的关键。

【赏析教法】运用问题式教学法，引发学生思考，为解决怎样建坐标系写出抛物线的解析式做准备。

2.学生独立思考后，小组交流并展示

师：（教师巡视指导）请你在建立坐标系时思考以下几个问题：①怎样在原图中建立平面直角坐标系？②建立坐标系后能找到哪些点的坐标？请标在图中。③可以求出抛物线的解析式吗？

师：小组交流以下内容：①小组同学共有几种建坐标系的方法？②所有思路都可以求出抛物线的解析式吗？怎样求的？

【设计意图】这个设计，让学生独立思考，再小组合作，各抒己见;使学生在合作中学会倾听，敢于发表看法。

【赏析教法】教师通过自主探究式学习法和小組讨论学习法，增强课堂教学效果。这些方法对学生的学习起到推动作用。

3.学生展示讲解，师生共同评判

学生在黑板上展示建立坐标系的方法。

学生代表到黑板展示求解析式的思路，教师和其余学生认真倾听。

师：同学们请思考以下几个问题：①以哪个点为原点建坐标系？②建坐标系后能找到哪些点的坐标？怎么得到的？③说明求抛物线解析式的思路，解析式设成什么形式？

师：大家认为这位同学的做法可行吗？

生：可行（此时学生说在同一种坐标系下，还有其他的表达式形式）。

师：大家做得非常好，大家的方法都能解决问题。

【设计意图】教师通过交流展示，锻炼学生的表达能力;通过追问，加深学生对实际量与坐标的对应关系的认识，突破难点，深化建模思想。

【赏析教法】教师通过讲授法，对学生不断地追问，以发展学生智力。

4.同学之间讨论

（1）让学生讨论，在这几个坐标系中，哪个坐标能更加简便地解决问题？

师：在这几种方法中，哪一种解决问题的方法更简便呢？为什么？

生：以点N或M为原点时，点的坐标简单;以点E为原点时，解析式的形式最简单。

师：（小结）一般建坐标系时考虑两个方面：①点的坐标易计算;②解析式形式简单。这也体现了数学的简洁美。

【设计意图】这个设计，让学生通过对比，使学生既能发散思维，又能体验解决问题的方法的多样性。让学生通过比较，体会建坐标系时要考虑的问题，即如何才能简化问题。

【赏析教法】教师通过发现式学习法，促进学生学习的积极性，提高课堂教学质量。

（2）让学生讨论，以A点为原点建坐标系的情形。

师：如果以点A为原点建坐标系，那么可不可以呢？

有的学生说可以，有的学生说不可以。

师：（教师在黑板上画以点A为原点的坐标系）我们是不是发现这样建坐标系后，点C、D、E的坐标不好表示，也不方便求出解析式？如果這样建立坐标系，那么就要设未知数表示坐标，再找关系代入解析式求解。这种方法比较繁琐，但大家不妨试一试。

【设计意图】设置问题，引发学生思考，明确建坐标系时要注意的问题。

【赏析教法】教师通过发现式学习法，引发学生思考，提高学生的数学思维能力。

5.板书，规范书写格式

师：（教师在黑板上板书）

设这个二次函数的解析式为

y=ax2（a≠0）

∵抛物线过点D（2，-2）

∴a·22=-2

∴a=-[12]

∴这个抛物线的解析式为y=-[12]x2

当y=-3时， -3=-[12]x2

∴x=±[6]， ∴AB=2[6]

答：当水面下降1m时，水面宽度增加（2[6]-4）m。][注意正负]

【设计意图】板书以规范书写格式，培养学生规范书写的习惯。

【赏析教法】教师通过板书，使学生逐渐养成良好的学习习惯。

6.师生共同小结，教师板书标注

师：（同时呈现PPT）我们一起总结一下解决实际问题的一般步骤：①建坐标系，选择适当的方式建立直角坐标系;②找点，将已知条件转化为点的坐标;③求解析式，用待定系数法求二次函数的解析式;④解答，解决具体问题，知x求y，或知y求x，回答实际问题。

师：我们一定要注意点的坐标的正负。

师：实际上，我们通过建坐标系建模将实际问题转化为数学问题，再运用二次函数的图象、解析式等知识，去解决数学问题，然后将数学问题的解转化成实际问题的答案。在这个过程中，体现了什么思想方法？

生：转化思想、数形结合思想。

师：还运用了建模思想。

【设计意图】师生共同总结解题步骤、注意要点，以及数学思想，以加深印象。

【赏析教法】教师对本节课进行小结，以帮助学生加深对所学知识的认识。

（三）应用练习

下面请同学们尝试解决变式的问题。（用多媒体展示变式题目）

变式：今年，桂林正在进行创建全国文明城市活动。某公园要在地面建造一个人工喷泉，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下。喷水口A距地面2 m，水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1 m，且水流的着地点距水枪底部B的距离是3 m。喷出的水流距地面的最大高度是多少？

1.学生独立审题分析，标图，尝试完成解题过程

生：（独立分析）

师：（巡视指导）

2.展示学生解题过程，师生共同评判

[学生1]（以点B为原点）

解：建立如图直角坐标系，

可设抛物线的解析式为

y=a（x-h）2+k（a≠0）

∵A（0，2），C（3，0）在抛物线上，

且抛物线对称轴为x=1

∴[a（0-1）2+k=2a（3-1）2+k=0]

解得[a=-23k=83]

∴解析式为y=-[23]（x-1）2+[83]

当x=1时，y=[83]

∴水流距水平面的最大高度是[83]m。

[学生2]（以点M为原点）

[可设抛物线的解析式为

y=ax2+k（a≠0）

y=-[23]x2+[83]

y=[83]][（2，0）][（-1，2）]

[学生3]（以点A为原点）

[可设抛物线的解析式为

y=ax2+bx（a≠0）

y=-[23]（x-1）2+[23]

y=[23]

∵地面是BC

∴PM=[83]][（3，-2）][（0，0）]

[学生4]（以点O为原点）

[可设抛物线的解析式为

y=ax2+k（a≠0）

y=-[23]x2+[23]

y=[23]

∵地面是BC

∴PM=[83]][（2，-2）][（-1，0）]

[师]（總结）注意实际量与坐标系中的点的对应关系，建坐标系后的点的坐标放在第一象限时不容易出错。

【设计意图】学生通过变式练习，巩固所学方法，提高学生运用数学知识解决问题的能力。

【赏析教法】教师通过反馈训练教学法，可根据学生解题情况来了解学生对知识的掌握情况，以便及时解决存在的问题。

3.思考拓展

师：（多媒体呈现拓展）一个身高1 m的小孩如果不想被水流喷到，那么他在这个水池内的地面上的活动范围有多大？

师：（提示）想要不被水流喷到，说明他左右的活动范围是怎样的？你可以描述一下吗？这个1 m的小孩恰好被水流喷到时，他的位置是怎样的？

生：（小组讨论得出）只需将y=1代入到解析式当中，求x的值，即抛物线与x轴交点坐标，结果取正;这个x值在坐标系所对应的点是他可以向右走动的极限点。因为水流完全相同，所以左右边完全对称，即在左边的最远距离与右边的相同。

[当x=1时，y0=[83]

∴水流距水平面的最大高度是[83]m.

当y=1时，-[23]（x-1）2+[83]=1

∴（x-1）2=[52]

∴x=1±[102]

∴S=[π]r2=[π]（1+[102]）2

∴他活动的范围是以B为圆心，（1+[102]）为半径的圆形区域，

最大面积是[π]（1+[102]）2平方米。]

【设计意图】思考题旨在开阔学生思维，供本节课学有余力的同学在课上思考。

【赏析教法】教师通过设置思考题，以开阔学生的数学思维。

（四）课堂总结

师：本节课你的收获是什么？

生：运用二次函数解决实际问题。

师：解决有关二次函数的实际问题的一般步骤是什么？

生：（1）建坐标系：选择适当的方式建立直角坐标系;（2）找点：将已知条件转化为点的坐标;（3）求解析式：用待定系数法求二次函数的解析式;（4）解答：解决具体问题，知x求y，或知y求x，回答实际问题。

师：建坐标系时需要考虑什么问题？

生：在平面直角坐标系中坐标可以表示出来。

师：求解析式和坐标时需要注意什么就可以避免出现错误？

生：注意坐标的正负。

师：本节课运用了哪些数学思想？

生：转化思想、建模思想、数形结合思想。

（五）作业

【基础】完成学案，课本P33 A1和B5。

【提高】课时作业P20～21。

三、教学反思

本节课的授课对象是九年级的学生。此前，学生已经掌握了求二次函数解析式的方法并理解图象上的点和图象的关系，而且是在学习了一元一次方程、一元一次不等式、一元二次方程、一次函数的应用，以及二次函数的初步应用，经历了多次从实际问题抽象出数学知识，再运用相关知识解决实际问题的过程的基础上。他们具备了解决简单的实际问题的基础知识和基本能力。但是，由于二次函数知识的抽象性、综合性，多数学生在学习中运用二次函数的意识不强，方法不够熟练。同时，学生从实际问题中抽象出数学问题的能力以及利用已有的数学知识去解决问题的能力也是比较弱，因此，教师从生活中最常见的桥梁问题入手，很好地吸引学生的注意力。

在本节课中，笔者从学生身边的桥梁入手，引出了二次函数在生活中的应用问题。在解决问题的过程中，恰到好处地渗透了函数、方程等模型思想，让学生切身感受数学来源于生活，又能更好地指导我们建设美好生活，从而激发学生学习数学的热情和兴趣，培养学生的数学应用意识。在授课过程中，教师适时利用希沃白板系统展示学生的解答过程;学生积极参与，互相帮助，共同进步;师生互动活动多，相处融洽，圆满地安成了教学任务。

【作者简介】黄德诚，男，广西阳朔人，中学高级教师，1992年毕业于广西师大数学系，现任桂林市宝贤中学教务处主任，2009年起被广西师大、广西民族师院、贺州学院、桂林师专等多所高校聘为“国培计划”培训专家，研究方向为初中数学教学。周之琴，女，广西灵川人，2021年毕业于北部湾大学数学系，优秀毕业生，现就职于桂林市宝湖中学。

（责编 李 唐）