一个混合幂型的华林-哥德巴赫问题的例外集

朱豆豆

(华北水利水电大学数学与统计学院，450046，河南省郑州市)

0 引 言

首先介绍一下本文用到的一些记号和术语．

下面介绍一些华林-哥德巴赫(Waring-Goldbach)问题的背景知识．

混合幂华林-哥德巴赫问题主要研究将整数n表示为

此外，Kumchev与赵立璐等[4]都在这类问题的研究中取得了重要结果．同时，一些新的方法也发展起来，为此类问题的研究提供了一般方法．本文主要应用圆法并结合文献[5]的思想得到如下结论：

1 预备知识

为了清晰地说明定理1的证明思路，下面给出一些必要定义．

取

(1)

定义主区间M和余区间m如下

(2)

其中

则

定理的证明还需要如下命题和引理.

其中S(n)是由(5)定义的奇异级数，该奇异级数绝对收敛且对于任意的奇数n和某个固定常数c*，有

0

(3)

命题1的证明将在第3节给出，对奇异级数性质的讨论将在第4节给出．

定义可乘函数ωk(q)如下

对于整数k≥3和集合A ⊆(U，2U]∩，定义

(4)

引理1．1[5]对于γ∈以及X≤U，定义

则L(γ)≪X2U-k(logU)Ak，其中ck和Ak是依赖于k∈的常数．

假设G(α)和h(α)是周期为1的可积函数，g(α)=gA(α)如(4)式定义，m⊆[0，1)是一个可测集，则

2 定理1的证明

由命题1，

对应的

其中M如引理1．2中定义所示，应用引理1．1可得J0≪Lc．又因为

3 命题1的证明

在证明命题1之前，首先引入一些符号．

当k=1，3，5时，对于Dirichlet特征χmodq，定义

其中δχ=1或者0取决于Dirichlet特征χ是否为主特征．进一步，设

记

(5)

现在引入Dirichlet特征，对于(a，q)=1，根据Dirichlet特征的正交性，容易得到

定义集合Lj(j=1，2，…，8)如下

Lj={{1，3，5}若j=1，{3，5}若j=2，{1，5}若j=3，{1，3}若j=4，{5}若j=5，{3}若j=6，{1}若j=7，∅若j=8．}

(6)

其中

这里I1可以用常规方法估计，需用到如下引理.

引理3．2 对于k=1，3，5，设χkmodrk是原特征，χ0modq是主特征，r0=[r1，r3，r5]，则

(7)

证明类似于文献[7]引理6.7的证明，(7)式左侧

接下来估计I1．对于k=1，3，5，根据文献[8]引理4．8，

(8)

将(8)式代入I1得

(9)

由估计

(10)

并且令r0=1，由引理3．2，(9)式中的余项

因此，(9)式可表示为

(11)

下面用文献[9]中的迭代方法估计I2，…，I8的贡献．为此，对于k=1，3，5，设

关于Jk(g)和Kk(g)的估计，有如下结论

引理3．5 当P,Q满足条件(1)时，有J1(1)≪NL-A．

引理 3．3～引理3．5的证明与文献[10]中的引理 2．2～引理2．4的证明类似，在此略去.

首先从I8开始估计，这是最复杂的一项．

其中χ0modq是主特征，r0=[r1，r3，r5]．对于k=1，3，5，当q≤P,Xk

在最后一个积分中运用柯西不等式，则

因为r0=[r1，r3，r5]=[[r1，r3]，r5]，应用引理3．3及引理3．5可得

(12)

在对I2，…，I7估计时，需结合由(8)，(10)式得出的以下估计，

利用处理I8类似的方法可得

(13)

结合(6)(11)(12)(13)式，命题1得证．

4 奇异级数

引理4．2 对于(p，n)=1，有

(14)

证明记(14)式左侧为S，通过引理4．1，有

若k∈{3，5}时有|Ak|=0，则S=0．否则，

引理4．3 设L(p，n)为下列同余方程的解的个数

则对于任意的正奇数n，有L(p，n)>0．

引理4．4A(n，q)是关于q的可乘函数．

证明由(5)式知，只需证明B(n，q)是关于q的可乘函数．设q=q1q2,(q1，q2)=1，则

(15)

因为(q1，q2)=1，则

(16)

把(16)式代入(15)式，得

引理4．5 设A(n，q)如(5)所示，则

(2)存在一个绝对正的常数c*>0，对于任意的正奇数n，有S(n)≥c*>0．

证明由引理4．4知B(n，q)是关于q的可乘函数．因此，有

(17)

(18)

记R(p，a)：=C3(p，a)C5(p，a)-S3(p，a)S5(p，a)，则

(19)

另外，若直接运用引理3．1，则

因此

令c3=max(c2，240)，则对于无平方因子的q，

(20)

因此，由(18)式可得

则引理4．5中(1)式成立．并且由(20)可得