高阶时滞微分方程的Ulam稳定性*

王淑一, 孟凡伟

(曲阜师范大学数学科学学院,273165,山东省曲阜市)

0 引 言

2019年,Zada[1]证明了下列高阶时滞微分方程的 Ulam 稳定性

(1)

1990年,Meng[3]证明了下列高阶方程解的渐近性

Lnu+g(s,u)=r(s),

受以上启发,我们利用自共轭微分算子研究高阶时滞微分方程的 Ulam 稳定性.

考虑自共轭微分算子形式下的高阶微分方程

(2)

当wj(s)=1,j=1,…,n时,此时即是文献[1]中的方程.

本文的主要目的是利用自共轭微分算子得到高阶时滞微分方程 (2) 的 Ulam 稳定性,推广了文献[1]中的结果.

1 预备知识及引理

令J1=[s0-ζ,s0+η],J2=[s0,s0+η],J3=[s0-ζ,s0],C(J1,) 表示从J1到的连续函数全体构成的巴拿赫空间,且其范数为

根据文献[3]中的结果,我们给出方程 (2) 的形式解.

定义1.1 若u(s) 是下列方程的解

则u(s) 满足

定义1.2 若v(s) 是下列微分不等式的解

其中θ>0,且存在 (2) 的解u(s) 和常数K>0 使得 |u(s)-v(s)|≤K·θ,s∈J1,则方程 (2) 具有 Hyers-Ulam 稳定性.

定义1.3 若v(s) 是下列微分不等式的解

其中σ(s)≥0,且存在 (2) 的解u(s) 和常数Kg,σ>0 使得 |u(s)-v(s)|≤Kg,σ·σ(s),∀s∈J1,则方程 (2) 具有 Hyers-Ulam-Rassias 稳定性.

引理1.4[1]设 (Y,d) 是度量空间,算子ψ:Y→Y.若∃n∈,使得ψn在Y上是严格压缩算子,则ψn和ψ在Y上具有相同的不动点.

引理1.5(Gronwall 引理) 令u(s),b(s)∈C([a,+∞],[0,+∞)),T≥0 是常数.若u(s) 满足

引理1.7[2]假设w(s),d(s),l(s),m(s),n(s) 是 [0,+∞) 到 [0,+∞) 上的连续函数.若d(s) 和l(s) 在 [0,+∞)上是不减函数,且w(s) 满足

以及初始条件

w(s)=r(s),s∈[β,0],

其中

2 主要结果

在陈述主要定理之前,我们给出下列假设.

(S1):

(S2):

(S3):

接下来,给出方程 (2) 解的存在唯一性定理.

证明(ⅰ) 定义算子 Λ 如下:

首先证明 ∃m∈+,使得 Λm是压缩映射.令u1,u2∈C(J1,)∩Cn(J2,).

当s∈J3时,|(Λu1)(s)-(Λu2)(s)|=0,则 |(Λmu1)(s)-(Λmu2)(s)|=0.

当s∈J2时,

|(Λu1)(s)-(Λu2)(s)|=

g(τ,L0u2,…,Ln-1u2,L0u2(λ),…,Ln-1u2(λ))]dτ|≤

因此,可得 |(Λu1)(s)-(Λu2)(s)|≤2nKgM‖u1-u2‖.通过简单计算,可得|(Λmu1)(s)-(Λmu2)(s)|

≤(2nKgM)m‖u1-u2‖.根据定理条件,(2nKgM)m<1,则 Λm是压缩映射.由引理 1.4 知,Λ 有唯一不动点u,即方程 (2) 的唯一解.

(ⅱ)由定理条件知u(s)∈C(J1,)∩Cn(J2,) 是下列方程的解

因此,可得

若v(s) 满足

那么

…,Ln-1v(λ))dτ|≤ηnθ.

当s∈J3时,|v(s)-u(s)|=0.

当s∈J2时,

g(τ,L0u,…,Ln-1u,L0u(λ),…,Ln-1u(λ))dτ|≤

对于上式,我们考虑算子A:C(J1,[0,+∞))→C(J1,[0,+∞)),定义如下

首先证明A是压缩映射.

当s∈J2时,

|(Ay(j))(s)-(Ax(j))(s)|≤

因为 2nKgM<1,则A是压缩映射.由压缩映射原理,算子A是 Picard 算子,FA={ω(j)},则

由 Gronwall-Bellman 不等式,可得

因为 |v(s)-u(s)|≤Ay(j)(s),则 |v(s)-u(s)|≤Aw(j)(s)=w(j)(s)≤Kε,即方程 (2) 具有 Hyers-Ulam 稳定性.

定理2.2 假设 (S2) 和 (S3) 成立.若v(s)∈C(J1,)∩Cn(J2,) 满足

则存在方程 (2) 的解u(s) 满足 |v(s)-u(s)|≤Kg,σ·σ(s),即方程 (2) 具有 Hyers-Ulam-Rassias 稳定性,其中

V1(s)=lHlIn-1(s,τ;w1,…,wn-1)wn(s)e(s)+mHmIn-1(s,τ;w1,…,wn-1)wn(s)k(s).

证明因为u(s) 是方程 (2) 的解,所以

由v(s) 所满足的条件以及 (S3),可以简单计算出

当s∈J3时,|v(s)-u(s)|≤σ(s).

当s∈J2时,

g(τ,L0u,…,Ln-1u,L0u(λ),…,Ln-1u(λ))dτ|≤

g(τ,L0u,…,Ln-1u,L0u(λ),…,Ln-1u(λ))dτ|≤

[e(τ)|L0v-L0u|l+k(τ)|L0v(λ)-L0u(λ)|m]dτ|.

因此

因此

V1(s)=lHlIn-1(s,τ;w1,…,wn-1)wn(s)e(s)+mHmIn-1(s,τ;w1,…,wn-1)wn(s)k(s).

因此方程 (2) 具有 Hyers-Ulam-Rassias 稳定性.

定理2.3 假设 (S2) 成立,且v(s) 满足

则存在方程 (2) 的解u(s) 满足 |v(s)-u(s)|≤K·θ,即方程 (2) 具有 Hyers-Ulam 稳定性,其中

In-1(s,τ;w1,…,wn-1)wn(τ)k(τ)((1-m)Hm+mH1-mθηn)]dτ,

V1(s)=lHlIn-1(s,τ;w1,…,wn-1)wn(s)e(s)+mHmIn-1(s,τ;w1,…,wn-1)wn(s)k(s).

证明根据定理 2.2 的证明可得,当s∈J3时,|v(s)-u(s)|≤θ.

当s∈J2时,|v(s)-u(s)| ≤

根据引理1.7,令h=1,a=l,b=m,w(s)=|v(s)-u(s)|,d(s)=θηn,m(τ)=In-1(s,τ;w1,…,wn-1)wn(τ)e(τ),n(τ)=In-1(s,τ;w1,…,wn-1)wn(τ)k(τ),σ(τ)=λ(τ),l(s)=1,得

因此

In-1(s,τ;w1,…,wn-1)wn(τ)k(τ)((1-m)Hm+mH1-mθηn)]dτ,

V1(s)=lHlIn-1(s,τ;w1,…,wn-1)wn(s)e(s)+mHmIn-1(s,τ;w1,…,wn-1)wn(s)k(s).

因此方程 (2) 具有 Hyers-Ulam 稳定性.