一类时滞脉冲随机系统的有限时间稳定性

李羽辰，姚凤麒

(安徽工业大学 电气与信息工程学院，安徽 马鞍山 243032)

众所周知，经典的Lyapunov稳定描述了系统在无穷时间内的渐进特征[1]。然而，它只反映了系统的稳态性能，并不能反映系统的调节时间、峰值时间、超调量等暂态特性[2]。这在实际工程中并不适用，如网络通信系统、火箭发射系统、高精度机械臂等，都需要系统满足一定的暂态性能要求[3]。因此，20世纪60年代就提出了有限时间稳定(FTS)的概念。有限时间稳定性是指当系统的初始状态在一定范围内时，系统的状态在一定时间间隔内不超过预定的限度[4-6]。本文结合实际，考虑了随处可见的时滞对系统的影响，并引入了脉冲控制，构建了一个Lyapunov-Krasovskii泛函，得到系统的有限时间均方稳定性能，最后通过Matlab，验证了结论的有效性。

符号说明：Rn代表n维欧式空间，N代表非负整数集，E[·]为数学期望算子，diag{·}代表对角矩阵，λmax(A)(λmin(A))代表矩阵A的最大(最小)特征值，A>0代表A是正定矩阵，A<0代表A是负定矩阵，*代表矩阵的对称项。

1 预备知识

考虑具有定时滞的线性脉冲随机系统

(1)

定义1 对于给定正常数c1，c2，T，c1

(2)

则称系统(1)关于(c1,c2,T)有限时间均方稳定。

定义2 给定脉冲序列{tk}(k∈N)，如果存在正数τa和正整数N0，满足

(3)

则该脉冲序列的平均脉冲区间为τa，N(t,s)代表脉冲序列在时间(t,s)内脉冲发生的次数。

引理1 令u:[t0,∞)→R+满足时滞微分不等式

若η+ξ>0，可得

u(t)≤Me(η+ξ)(t-t0),t∈[t0,T],

dx(t)=f(t,x(t))dt+g(t,x(t))dω(t)

dV(t,x(t))=LV(t)dt+Vx(t,x)gdω(t)。

(4)

2 有限时间稳定性分析

首先，利用Lyapunov-Krasovskii泛函和李雅普诺夫函数，结合时滞微分不等式，建立了系统(1)在u(t)=0下的有限时间均方稳定的充分条件。

定理1 假设脉冲序列满足平均脉冲区间条件，给定正数c1,c2,T(0≤c10,Q>0，使得

(5)

FTPF-μP≤0,

(6)

(7)

(8)

式中：λ1=λmax(P),λ2=λmax(P),λ3=λmin(Q),则系统(1)(u(t)≡0)关于(c1,c2,T)有限时间均方稳定。

证明:选择Lyapunov-Krasovskii泛函

当t≠tk，k∈N时，系统(1)轨迹上的Kolmogorov算子

dV(t)≤αV(t)dt+2xT(t)P[Dx(t)+Ex(t-h)]dw(t)

(9)

将式(9)在tk到t上积分并在两边取期望，可得

(10)

由Gronwall 不等式可得

EV(t)≤eα(t-tk)EV(tk),t∈[tk,tk+1),k=0,1,2,…。

(11)

由条件(6)和μ≥1，可得

进一步可得

(12)

令

EV(t)≤μN(t,t0)EV(t0)eα(t-t0),t≥t0。

(13)

当t∈[t0,t1),N(t,t0)=0时，由式(13)，可得

EV(t)≤EV(t0)eα(t-t0),t∈[t0,t1),

(14)

当t∈[t1,t2),N(t,t0)=1时，利用式(11)、式(12)可得

(15)

类似地，当t∈[t2,t3),N(t,t0)=2时，

(16)

所以，通过简单的归纳法说明式(13)成立。因此，结合平均脉冲区间以及μ≥1，由式(13)可得

(17)

对于给定形式的Lyapunov函数V(t)，有

(18)

所以，系统(1)(u(t)≡0)是关于(c1,c2,T)有限时间均方稳定的。

3 数值算例

考虑时滞脉冲随机系统(1)，其系数矩阵如下：

取N0=3,τa=0.24，假设脉冲序列满足假设，如图1所示。

图1 脉冲序列N0=3,τa=0.24

取c1=0.1,c2=10,T=2,h=0.5,μ=1.121 0,α=0.794 1，使用Matlab中的线性矩阵不等式求解定理1中的不等式(5)～不等式(8)，得到t<0说明存在可行解，得到

易得矩阵的最大、最小特征值，λ1=102.074 9,λ2=122.594 0,λ3=220.771 4。当系统(1)在u(t)=0时的均方样本轨迹如图2所示。由图2可知，系统(1)在u(t)=0时是关于c1,c2,T有限时间均方稳定的，结论可证。

图2 开环系统的均方状态轨迹

4 结 语

本文研究了一类线性时滞脉冲随机系统的有限时间均方稳定问题。利用Lyapunov稳定性理论、时滞微分不等式和平均脉冲区间方法,利用Matlab中常用的LMI工具箱，建立了有限时间稳定的一些易于验证的充分条件。以本文的方法为基础，可以继续研究具有时变时滞的切换系统有限时间稳定、非线性脉冲随机系统的有限时间同步等课题。