三维不可压磁微极流的投影统计解及其退化正则性

赵才松,徐明月,赵才地

(1.湖北省阳新县荻田中学,湖北黄石435200;2.温州大学数理学院,浙江温州32035)

1.引言

我们先简单回顾不可压磁微极流的一些已有结果.在二维空间中,文[12]研究了具有混合部分粘性时整体解的存在性;文[13]研究了解的整体正则性;文[19]研究了统计解的存在性及其退化正则性.在三维空间中,文[14]研究了三维空间中弱解的整体存在性和二维空间中整体弱解的唯一性,文[17]构造了轨道统计解.

统计解已被认为可以较好地理解湍流的运动[5,8,11],主要的原因是由于流体的主要物理量(如质量和速度场)本质上由流体的这些量关于时间的平均来刻画其特征.在统计力学中,统计解作为数学概念被引进来刻画流体的整体平均.目前主要由两种形式统计解的定义.第一种是由Foias和Prodi[7]提出的Foias-Prodi统计解,第二种是由Vishik和Fursikov[15]提出的Vishik-Fursikov统计解.文[7]中提出的统计解是一族以时间为参数的定义在相空间上的Borel测度,刻画了流体的速度场在每个时刻的概率分布,Vishik-Fursikov统计解则是定义在轨道空间上的单个Borel测度,描述了速度场在时空空间上的概率分布.

目前已有一些文献研究了若干典型演化方程的统计解问题.例如,Foias,Rosa和Temam在文[8]中系统地研究了三维不可压Navier-Stokes方程组的统计解及其性质.Łukaszewicz在文[10]中构造了二维不可压Navier-Stokes方程组的统计解.Bronzi,Mondaini和Rosa在文[1-2]中给出了一般演化方程统计解和轨道统计解的理论框架.最近,ZHAO,LI和Caraballo在文[17]中应用无穷维动力系统的理论证明了一般自治演化方程存在轨道统计解的充分条件,且该结论被应用于三维不可压磁微极流方程组[19],三维修正的Navier-Stokes方程组[16],三维不可压微极流方程组[18].

吸引子的退化问题与吸引子的维数密切相关.对于不可压Navier-Stokes方程组,已有一些文献研究了它的Grashof数控制其吸引子维数的问题.[4]本文中我们用Grashof数讨论三维不可压磁微极流方程组轨道统计解的退化正则性.

2.预备知识

3.投影统计解的存在性

4.投影统计解的退化正则性