双水平控制策略和延迟不中断单重休假的M/G/1排队系统分析

2021-10-20高文萍唐应辉唐蓓蕾

应用数学 2021年4期

高文萍,唐应辉,唐蓓蕾

(四川师范大学数学科学学院,四川成都610068)

1.引言

在有控制策略和服务员休假的排队系统研究中,经典的一维控制策略有N-策略、T-策略与D-策略等[1−3],典型的服务员的休假规则有单重休假、多重休假与多级适应性休假等[4−5].之后,根据实际背景和应用需要,许多关于N-策略、D-策略、T-策略,以及上述这些经典控制策略和服务员休假相结合的推广研究成果陆续出现[6−17].例如文[6]把N-策略与“延迟休结合起来,提出建立了“延迟N-策略M/G/1排队模型”,文[11]根据实际背景,提出建立了“带启动时间的N-策略M/G/1排队模型”等.目前,在具有Min(N,V)-策略、Min(N,D)-策略、Min(D,V)-策略以及Min(N,D,V)-策略的排队模型研究中[15−16,22−26],从控制策略方面讲,都是一维控制策略与服务员休假机制结合,或是两个方面的一维控制策略的组合,但是从双阀值(双水平)或多阈值(多水平)的角度,在具有双阀值(双水平)或多阈值(双水平)控制策略下的推广研究要少得多.文[18-20]在N-策略的基础上提出了一个双阀值(m,N)-控制策略,即当系统变空时,服务员就立刻关闭系统直到系统中有m(m ≥1)个顾客就启动系统,而且启动系统需要一定的时间.如果在启动时间完成后系统中的顾客数没有达到N(N ≥m)个,则服务员就待在系统中直到有N个顾客到达才开始服务,如果在启动时间完成后系统中的顾客数大于等于N个,则服务员立即为顾客服务直到系统变空又关闭系统.文[21]把这种双阀值(m,N)-控制策略推广到了离散时间排队模型研究中.但是,到目前为止,我们还未见有文献把这样的双阀值(m,N)-控制策略与服务员的休假机制结合起来,而且目前在有策略控制和服务员休假机制的排队系统研究中[5,16,21−26],作者大都假定服务员的休假可根据系统所采取的控制策略可以中断休假.事实上,在实际中情况并非完全如此,例如在服务员所从事的辅助工作不能立即中断的情况下,只有等待服务员完成辅助性工作后才能回到系统为顾客服务,因此,文[27]就把N-策略与服务员的延迟单重休假结合,提出了“休假不中断的N-策略和延迟单重休假的M/G/1排队模型”.本文将“延迟休假”、“双阀值控制策略”、“服务员单重休假且休假不中断”结合起来,提出建立一类具有双阀值(双水平)控制策略和延迟单重休假且休假不中断的M/G/1排队系统,不仅模型更广泛、更复杂,而且更有现实意义和研究价值.使用全概率分解技术和拉普拉斯变换等数学工具,在任意初始状态下我们讨论了系统队长的瞬态和稳态性质,得到了队长瞬态分布关于时间t的拉普拉斯变换的表达式,然后通过直接计算获得了稳态队长分布的递推表达式,以及稳态队长分布的概率母函数和平均队长的显示表达式.本文提出的系统模型描述如下：

在系统中,顾客的相继到达是相互独立的,相继到达的间隔时间τ有分布F(t)= 1−e−λt,对每个顾客的服务也是相互独立的,且每个顾客的服务时间χ有任意分布G(t),平均服务时间设为1/µ(0<µ<∞).进一步假设：

1)服务员的休假机制是延迟单重休假且休假不中断,即每当系统变空时,服务员不是马上去休假,而是进行一段随机时间C的“休假准备”,这段时间称为“延迟休假时间”.如果有顾客在延迟休假时间C内到达,那服务员就停止“休假准备”而立即为顾客服务又直到系统再次变空而重新做“休假准备”;如果没有顾客在延迟休假时间C内到达,那服务员在“休假准备”结束后就去进行一次随机时间长度为V的休假(或去做辅助性的其他工作),直到本次休假结束再回到系统(休假不中断),休假时间V是任意分布V(t).

2)系统的启动阈值为1,即当服务员从休假归来时,若系统中已有顾客等待,服务员就立即启动系统,若服务员休假归来系统中没有顾客等待,则服务员待在系统中直到有一个顾客到达时才启动系统.系统的启动需要一段随机时间Y的启动时间(例如服务员做服务准备所需的准备时间等),且启动时间Y服从任意分布Y(t).

3)服务员开始服务的阀值为N(N ≥1),即在系统启动完成后,若系统中顾客数大于等于N(N ≥1),则服务员立即为在场的顾客服务直到系统再次变空,若系统中顾客数小于N,则服务员待在系统中直到累计有N个顾客时立即开始服务直到系统再次变空.

另外,假定到达间隔时间τ、服务时间χ、延迟关闭时间C、休假时间V、启动时间Y是相互独立的,而且在t=0时刻,如果系统是空的,则系统不采取该控制策略,服务员也不休假,留在系统中等待第一个顾客到达后马上服务(这样的假设更符合实际背景).