考虑动力学扩散作用的煤系气储层渗透率模型

张宏学，刘卫群，李 盼

（1. 安徽理工大学力学与光电物理学院，安徽 淮南 232001；2. 中国矿业大学（徐州）力学与土木工程学院，江苏 徐州 221116；3. 中国矿业大学（徐州）深部岩土力学与地下工程国家重点实验室，江苏 徐州 221116）

煤系气泛指煤系中赋存的各类天然气，主要包括煤层气、页岩气及煤系砂岩气等[1]。截至2017 年底，我国煤层气累计提交探明储量为7.118 × 1011m3，2017 年产气量为4.95 × 109m3[2-3]。我国页岩气技术可采资源量约为2.18 × 1013m3[4]，煤系页岩气占页岩气总资源量的19%～37%，截至2019 年，我国页岩气年产气量达到1.53 × 1010m3[5]。目前，我国页岩气勘探开发的主体为海相页岩气和陆相页岩气。规模开发煤系气，能够优化调整我国的能源结构。

煤系气储层是典型的天然裂缝性储层，渗透率是评价其商业开发可行性的重要参数之一。目前，国内外学者对煤系气储层渗透率解析模型的研究成果颇丰。Palmer 等[6]认为储层压力降低导致渗透率降低，而储层压降又导致甲烷解吸，煤基质收缩，裂隙张开度增大，渗透率随之增大，在此基础上提出了计算煤层渗透率随有效应力和煤基质收缩变化的理论模型，该模型适用于单轴应变条件。Shi 等[7]假设储层水平主应力垂直于裂隙，通过直接类比热收缩和基质收缩，得到等温气体解吸煤层的本构关系，基于此，推导了煤层渗透率模型。Cui 等[8]利用线性等温多孔弹性理论，结合孔隙率的定义，假设煤层处于单轴应变条件，推导了煤层的渗透率变化模型。张宏学等[9]通过引入裂隙法向刚度，建立了页岩储层的有效应力-渗透率模型，进一步分析了页岩储层在单轴应变和常体积条件下的渗透率模型。文献[10-11]均将煤层简化为双孔双渗模型（基质和裂隙），分别提出了煤基质系统和裂隙系统的渗透率模型。文献[12-14]将煤系气储层简化为三孔双渗模型，分别建立了储层的渗透率解析模型。

上述文献在建立储层的渗透率模型时，均认为在开采过程中储层的裂隙压力始终等于基质压力，但是在实际开采过程中，由于气体在基质中的动力学扩散作用，储层基质压力不等于裂隙压力，尤其在开采初期，这一现象特别明显。本研究将煤系气储层简化为双孔单渗模型，基于多孔弹性力学理论以及渗透率与孔隙率的立方关系，考虑气体在基质中的动力学扩散作用，提出与应力相关的渗透率模型，在此基础上，分别得到煤系气储层在常体积和单轴应变条件下的渗透率模型，并利用现场实测和实验室测试的渗透率数据验证模型的有效性，并分析模型中的各参数对渗透率的影响。

1 渗透率模型

1.1 有效应力-渗透率模型

将煤系气储层简化为双孔单渗模型，如图1所示。该模型中基质渗透率近似为零，吸附在基质上的气体解吸以后向裂缝扩散，通过裂缝流入生产井。设压应力和压应变为正，考虑气体在基质中的动力学扩散作用，煤系气储层的应力-应变本构关系为

图1 双孔单渗模型Fig. 1 Dual-porosity and single-permeability model

式中：σij为应力分量，Pa； λ为拉梅常数，Pa， λ=Eμ/[(1+μ)(1-2μ)]， 其中E为岩体的弹性模量，Pa， μ为泊松比； εkk为体应变， εkk= εx+ εy+ εz； δij为 Kronecker符号；G为剪切模量，Pa，G=E/[2(1+μ)]； εij为应变分量；Km和Ks分别为基质和固体颗粒的体积模量，Pa，Km=Em/[3(1-2μ)]，Em为基质的弹性模量，Pa； α 和 β均为Boit 系数， α=1-Km/Ks， β=1-K/Km，K为体积模量，Pa；pm和pf分别为基质和裂隙的压力，Pa； εs为吸附/解吸引起的基质的体应变， εs=εLpm/(pm+pL)， εL为朗缪尔体积应变，pL为朗缪尔压力，Pa。

1.2 常体积条件下的渗透率模型

1.3 单轴应变条件下的渗透率模型

煤系气储层渗透率解析模型中的第1 项表示基质压力变化对渗透率的影响，第2 项表示裂隙压力变化对渗透率的影响，第3 项表示煤系气解吸/吸附对渗透率的影响。该渗透率模型认为储层基质压力和裂隙压力不相等，因此，式(19)表示的渗透率模型比C-M 模型多了一项。与常体积条件下的渗透率解析模型相比，单轴应变条件下的渗透率模型考虑了基质压力变化对渗透率的影响。

若煤系气储层裂隙压力和基质压力相等，则式(19)所示的渗透率模型简化为

1.4 反弹压力

由于裂隙压缩和基质收缩对渗透率的影响是相反的，因此随着煤系气的开采，当储层压力下降到某一数值时，煤系气储层的渗透率会出现反弹，渗透率反弹时的储层压力称为反弹压力，当渗透率反弹到初始渗透率时的储层压力称为开采压力。由式(23)可得开采压力prc和反弹压力prb分别为

式(25)表明，反弹压力与基质弹性模量、泊松比、朗缪尔体应变和朗缪尔压力有关。各参数取值不同时，反弹压力随弹性模量的演化规律如图2 所示。

由图2 可知，当其他参数不变时，反弹压力随弹性模量的增大而增大。各参数相同时，本研究的反弹压力大于C-M 模型的反弹压力。当其他参数不变时，反弹压力随着泊松比的减小而增大，随着朗缪尔压力的减小而减小。

图2 反弹压力的演化规律Fig. 2 Evolution of rebound pressure

2 模型有效性分析

2.1 模型验证

为了利用渗透率解析模型评价煤系气藏商业开发的可行性，解决关于煤系气开采过程中储层为常体积条件还是单轴应变条件的争议，必须利用实验数据验证模型的有效性和准确性。本研究分别建立了储层在常体积条件和单轴应变条件下的渗透率模型，分别利用San Juan 盆地现场实测的渗透率数据以及室内实验得到的渗透率数据对两种条件下的渗透率模型进行拟合，如图3 所示，其中：Model 1、Model 2 分别表示单轴应变模型和常体积模型。

图3 渗透率模型的有效性Fig. 3 Effectiveness of permeability model

由图3 可知，当常体积条件和单轴应变条件下的渗透率模型中的参数相同时，如表1[15-16]和表2[8,16]所示，模型中的初始渗透率k0=b30/12a0， 初始孔隙率 φ0=2b0/a0， 其中：a0为初始裂隙间距，m；b0为初始裂隙张开度，m。单轴应变条件下的渗透率模型能够较好地反映San Juan 盆地以及室内实验岩心的渗透率演化规律，因此煤系气储层在单轴应变条件下的渗透率解析模型是有效、准确的，能够较准确地预测储层以及室内岩心的渗透率演化规律。

表1 渗透率数据[15-16]Table 1 Permeability data[15-16]

表2 模型参数[8,16]Table 2 Model parameter[8,16]

由图3 还可以看出，随着孔隙压力的增大，模型渗透率和现场渗透率的比值逐渐减小。在本模型和C-M 模型（没有考虑动力学扩散作用）中的参数取值相同的条件下，本模型所体现的渗透率比值随孔隙压力的演化规律与现场渗透率、室内实验测试的渗透率演化规律基本一致。在孔隙压力增大初期，C-M 模型的渗透率比值下降较平缓，而本模型和实验测试的渗透率比值急剧下降。这是由于C-M模型认为基质压力和裂隙压力相等，储层压力增大表示基质压力和裂隙压力均同时增大，作用在基质和裂隙上的有效应力相同且随压力的增大而减小，基质尺寸和裂隙张开度随压力的增大逐渐增大，裂隙张开度增大时，渗透率增大，而基质尺寸增大时，渗透率减小，因为基质弹性模量大于裂隙弹性模量，在相同的有效应力作用下，基质尺寸的增大量小于裂隙张开度的增大量，因此储层渗透率增大。另一方面，基质压力增大导致气体吸附，基质膨胀，裂隙张开度减小，渗透率随之减小。当气体吸附引起的渗透率减小量略大于基质和裂隙变形引起的渗透率增大量时，渗透率随着孔隙压力的增大呈现出平缓的下降趋势。本研究在建立储层的渗透率模型时，认为基质压力与裂隙压力不相等，储层压力增大表示裂隙压力先增大，气体因此向基质流动，基质压力随之增大，在储层压力增大过程中，基质压力小于裂隙压力，因此作用在基质上的有效应力大于作用在裂隙上的有效应力；与C-M 模型相比，在同一压力作用下，本模型的裂隙压力不变，裂隙张开度不变，而基质压力降低，基质受到的有效应力增大，基质尺寸的变形量减小，因此由基质尺寸变化导致本模型的渗透率增加量小于C-M 模型的渗透率增加量，所以因压力变化导致基质尺寸和裂隙张开度变化而引起的渗透率增加量减小；另一方面，基质压力增大导致气体吸附，基质膨胀，裂隙张开度减小，渗透率随之减小。综上所述，与C-M 模型相比，本模型在孔隙压力增大初期，渗透率比值急剧下降。

2.2 渗透率演化规律

对于式(19)所示的煤系气储层渗透率解析模型，基质压力和裂隙压力是不相等的，基质初始压力等于裂隙初始压力。下面将分别讨论渗透率随基质压力（裂隙压力不变）和裂隙压力（基质压力不变）的演化规律。

当裂隙压力不变时，储层渗透率随基质压力的演化规律如图4 所示。由图4 可以看出，当裂隙压力不变时，随着基质压力的降低，渗透率先平缓地下降，当基质压力下降到一定程度时，渗透率出现反弹，然后迅速增大。裂隙压力越小，随着基质压力的下降，渗透率下降得越急剧，则随后反弹得越剧烈。渗透率之所以随基质压力降低出现反弹现象，是因为基质变形和气体解吸对渗透率的影响是相反的。

图4 渗透率随基质压力（裂隙压力不变）的演化规律Fig. 4 Evolution of permeability with matrix pressure(fracture pressure is constant)

当基质压力不变时，储层渗透率随裂隙压力的演化规律如图5 所示。由图5 可以看出，当基质压力不变时，渗透率随裂隙压力的下降逐渐增大，渗透率没有出现反弹。基质压力越大，渗透率增大得越急剧。随着裂隙压力的降低，渗透率之所以没有出现反弹现象，是因为本研究在建立渗透率模型时不考虑气体对裂隙的吸附作用。

图5 渗透率随裂隙压力（基质压力不变）的演化规律Fig. 5 Evolution of permeability with fracture pressure(matrix pressure is constant)

3 模型参数对渗透率的影响

本研究所建立的煤系气储层渗透率解析模型表明，渗透率的主要影响因素为弹性模量、泊松比、初始孔隙压力、初始渗透率、初始裂隙间距等。下面将分别分析上述因素对储层渗透率的影响。

模型参数对储层渗透率的影响如图6 所示。由图6(a)可知，泊松比越小，随着孔隙压力的下降，渗透率变化越平缓，但是渗透率反弹越剧烈。由图6(b)可知，弹性模量越大，随着孔隙压力的下降，渗透率变化得越平缓，但是渗透率反弹越剧烈。由图6(c)可知，初始孔隙压力不同时，渗透率随着孔隙压力的下降呈现出相同的变化趋势，孔隙压力下降初期，渗透率急剧下降，当压力下降到某一数值时，出现急剧的反弹现象。由图6(d)可知，当初始渗透率相同时，初始裂隙间距越大，随着孔隙压力的下降，渗透率下降越剧烈，渗透率反弹越剧烈。由图6(e)可知，当初始裂隙间距相同时，初始渗透率越小，渗透率下降越剧烈，渗透率反弹越剧烈。

图6 模型参数对渗透率的影响Fig. 6 Effects of model parameters on permeability

综上所述，泊松比越小，储层渗透率反弹越剧烈；弹性模量越大，渗透率反弹越剧烈；初始孔隙压力对渗透率反弹趋势影响较小；当初始渗透率相同时，初始裂隙间距越大，渗透率反弹越剧烈；当初始裂隙间距相同时，初始渗透率越小，渗透率反弹越剧烈。

4 结 论

（1）考虑气体在基质中的动力学扩散作用，基于多孔弹性力学理论，建立了煤系气储层的有效应力-渗透率解析模型，分别推导了储层在常体积条件和单轴应变条件下的渗透率模型。该模型表明，弹性模量、泊松比、初始孔隙压力、初始渗透率、初始裂隙间距是影响储层渗透率的主要因素。

（2）分别利用San Juan 盆地现场实测的渗透率数据以及室内实验测试的渗透率数据验证了模型的有效性。结果表明，当考虑气体在基质中的动力学扩散作用时，单轴应变条件下的渗透率模型随孔隙压力的演化规律和实验测试的渗透率演化规律基本吻合。C-M 模型（未考虑气体在基质中的动力学扩散作用）体现的渗透率演化规律与实验测试的渗透率演化规律的误差较大。因此，在建立渗透率模型时，必须考虑气体在基质中的动力学扩散作用，不能简单地认为基质压力等于裂隙压力。

（3）渗透率随着压力的降低而减小，当压力下降到一定程度时，由于基质变形和气体解吸对渗透率的影响是相反的，进而导致渗透率开始出现反弹。

（4）在孔隙压力下降初期，泊松比越大，弹性模量越小；初始裂隙间距越大（初始渗透率不变），初始渗透率越小(初始裂隙间距不变)，渗透率下降越剧烈。在孔隙压力下降后期，泊松比越小，弹性模量越大；初始裂隙间距越大（初始渗透率不变），初始渗透率越小（初始裂隙间距不变），渗透率反弹越剧烈。