泊松比在薄壁箱梁约束扭转和横向内力分析中的影响

黄洪猛，张元海

(1. 兰州交通大学 土木工程学院，甘肃 兰州 730070；2. 西北民族大学 土木工程学院，甘肃 兰州 730030)

组成薄壁箱梁的各板件在约束扭转和横向弯曲中的受力性能可以按照平面应力问题进行分析，而在弹性力学平面问题的物理学中，泊松比是描述应力应变关系的材料弹性常数之一。乌曼斯基第二理论和符拉索夫的广义坐标法是薄壁箱梁约束扭转分析最为实用的理论[1]。采用乌曼斯基第二理论分析薄壁箱梁的约束扭转效应时，需利用平面应力问题中的应力应变关系并满足刚周边假设。谢旭等[2−4]考虑泊松比建立约束扭转翘曲正应力与应变的关系，而郭金琼等[1,5−9]却忽略泊松比的影响，近似取拉压弹性模量描述应力应变关系。横向内力分析，即对组成薄壁箱梁的各板件考虑畸变效应的横向挠曲分析，一般采用框架分析法，KURIAN等[10]基于大量的三维有限元分析提出了修正的简化框架分析法。根据平面应力问题的物理和几何条件，参照薄板弯曲理论的力矩—位移方程，薄板的横向抗弯刚度含有泊松比这一常数。但是在畸变横向内力分析时，对泊松比的处理并不统一：项海帆等[5,9,11−12]在畸变横向内力分析中忽略泊松比对横向弯曲刚度的影响；XU 等[3]在畸变横向内力分析时考虑泊松比对弹性模量修正，而郭金琼等[1,13−15]考虑泊松比均对横向弯曲惯性矩修正。目前，在薄壁箱梁的约束扭转和横向内力分析中，对泊松比这一常数的处理方式尚不统一，而且泊松比考虑与否对结果的影响程度尚无对比研究。本文分别采用乌曼斯基第二理论和框架分析法对薄壁箱梁的约束扭转和横向内力进行分析，结合不同材料的薄壁箱梁数值算例，对比泊松比考虑与否对约束扭转效应和横向内力的影响。

1 约束扭转分析

图1 为薄壁箱梁的横断面简图。坐标原点O为形心，y轴和z轴为形心主轴，S为扭转中心；b，bt，bb，bf，bw分别为箱梁总宽、顶板宽、底板宽、悬臂板宽、腹板宽，tt，tb，tw分别为顶板、底板、腹板的厚度，h为顶、底板中面的距离；s为沿箱壁的曲线坐标；ρ为扭转中心至各板中面的垂直距离。

根据乌曼斯基第二理论及刚周边假定εs=0，结合平面应力问题的几何和物理方程，扭转翘曲正应力σωˉ表达为：

式中：x为纵向坐标；u为横截面约束扭转时的纵向翘曲位移；E为材料弹性模量；μ为材料泊松比；考虑泊松比影响时，用E'代替E，E'=E/(1-μ2)。

薄壁箱梁约束扭转分析时需考虑二次剪切变形影响，引入新的广义翘曲位移β'(x)，则翘曲正应力σωˉ为[1]：

式中带有符号‖l/2的项表示x＞l/2 时考虑此项。由式(11)～(13)可以看出，跨中截面的总扭矩Mz，自由扭矩Ms和二次扭矩Mωˉ不受泊松比的影响。

将式(9)代入式(3)可得简支箱梁跨中截面的扭转翘曲正应力表达σωˉ为：

由式(14)可以计算出跨中截面考虑泊松比与不考虑泊松比时的翘曲正应力，按照2种方式计算的翘曲正应力比值与约束扭转特性参数k和泊松比μ有关，而k只与μ有关，因此翘曲正应力比值是常量。

2 横向内力分析

本文采用框架分析法分析由畸变引起的横向内力，框架分析法包括加支承的框架分析和支承释放后的结构分析。加支承时的框架横向内力采用结构力学的方法即可求得，支承释放后将加支承的框架反力反向施加在原结构上，并分解为对称荷载和反对称荷载。由于对称荷载作用下的横向弯矩较小，可忽略不计，故仅分析反对称荷载作用下的横向弯矩。支承释放后的反对称荷载分布如图2 所示，A和D分别为腹板与顶板、底板的交点，qs和qh分别为支承释放后的水平、竖向反对称荷载。

图2 支承释放的反对称荷载Fig.2 Dissymmetric load after releasing the supports

假定箱梁各板件在反对称荷载作用下的畸变翘曲正应力在平面内沿直线分布且符合平截面假

畸变翘曲正应力在箱梁横截面需满足自平衡关系：

式中：各参数的含义如图1所示。

支承释放后的结构分析中，反对称荷载可使箱梁产生刚性扭转和畸变，从而在各板件上沿纵向产生扭转剪力差和畸变剪力差。设t′s，t′x，t′h分别为顶板、底板和腹板上的扭转剪力差，T′s，T′x，T′h分别为顶板、底板和腹板上的畸变剪力差。剪力差分布如图3所示。

底板和腹板交点处的平均剪力流相等，即：

ηm为描述腹板反弯点位置的系数，依据反弯点的概念，采用结构力学方法可求得系数ηm：

结构分析中，畸变荷载作用下会产生畸变角和畸变位移。根据畸变角和畸变位移之间的几何关系，以及纵向挠曲作用求解的畸变位移和按框架作用求解的畸变位移之间的协调性[1,15]，可得：

联立式(16)～(24)即可求得Qs，Qx，Qh，进而由图4求得反对称荷载下各角点的横向弯矩。

图4 各板件的剪力Fig.4 Shear force of each slab

3 数值算例

3.1 剪切变形的影响分析

为了验证本文方法的正确性，并对比剪切变形对约束扭转和畸变横向弯曲的影响，选取跨度l=1 m，截面宽度b=0.4 m，高度h=0.3 m，壁厚t=0.01 m 的矩形薄壁箱梁作为算例，材料弹性模量E=206 GPa，泊松比μ=0.31。

约束扭转分析时，选取左端固定右端自由的悬臂梁为算例，自由端作用集中扭矩荷载M͂ = 1.0 kN ⋅m。由于矩形箱梁的双对称性，腹板与顶、底板交点处的各角点扭转翘曲正应力绝对值相等。图5 绘制了角点扭转翘曲正应力沿纵向的分布曲线。由图5可以看出在固定端处，考虑剪切变形与不考虑剪切变形的计算结果存在明显差异固定端处的结果存在明显差异。文献[1]中提到不考虑剪切变形，选取扭率φ'(x)作为描述扭转翘曲位移的函数时，结果误差很大。

横向内力分析时，选取简支梁为算例，距顶板中点0.1 m 处满跨布置竖向均布荷载q=1.0 kN/m。跨中截面的横向弯矩分布如图6 所示。由图6 可以看出，考虑剪切变形与不考虑剪切变形的计算结果差异很小，因此横向弯曲内力分析时可以不考虑剪切变形。

图6 跨中截面横向弯矩分布Fig.6 Transverse bending moment at mid-span cross section

3.2 约束扭转分析算例

文献[1,5]中的预应力混凝土等截面简支箱梁，横截面尺寸如图7所示。计算跨径l=40 m，在跨中截面作用集中扭矩荷载M=1 060 kN⋅m。材料弹性常 数：E= 34 GPa，μ= 0.17。 计 算 得 出Iρ=11.503m4，Id= 8.069 m4，Iωˉ= 2.366 m6，ξ=0.299，ωˉA= 1.627 7 m2，ωˉB= -1.375 4 m2，ωˉC=0.7513m2。

图7 箱梁横截面Fig.7 Cross section of box girder

为了分析不同泊松比对薄壁箱梁约束扭转效应的影响，本文还按照钢材、有机玻璃等常用材料选取不同的泊松比。材料弹性常数：钢材E=206 GPa，μ=0.31；有机玻璃E=2.8 GPa，μ=0.37。为了分析考虑泊松比与不考虑泊松比的计算结果差异，引入差值比，其由考虑泊松比的解与不考虑泊松比的解的差除以不考虑泊松比的解求得。

由式(3)和式(4)可知同一截面上任一点的扭转翘曲正应力和双力矩是正比例关系，并且考虑泊松比与不考虑泊松比时的结果也是正比例关系，故差值比相等，表1 中仅列出了A点扭转翘曲正应力的结果。表1 中有限元解是采用有限元软件AN‐SYS 中的SHELL63 壳单元计算得到，为了消除跨中截面加载的局部应力影响，故选在距跨中2 m 处的截面与有限元解进行比较。由表1可以看出：泊松比越大，扭转翘曲正应力差值比越大；考虑泊松比的扭转翘曲正应力与有限元值吻合更好，且比不考虑泊松比时的结果大；距跨中2 m 处的扭转翘曲正应力差值比大于跨中截面，当μ=0.37(有机玻璃)时，差值比达到17.38%。

表1 扭转翘曲正应力比较Table 1 Comparison of torsion warping normal stresses

表2 给出了跨中截面的扭转角结果，由表2 可以看出，泊松比考虑与否的最大扭转角基本相等，最大扭转角差值比的绝对值均未超过0.5%。

表2 跨中截面的扭转角Table 2 Torsional angle at mid-span cross section

为了研究箱梁约束扭转翘曲正应力与宽跨比的关系，悬臂板相对顶板宽度不变的情况下，改变箱梁总宽b的尺寸，使其从2 m 开始以2 m 的步长增大至16 m，对应的宽跨比b/l从0.05 以0.05 的步长增大至0.4。图8 绘制了考虑泊松比后不同宽跨比的混凝土箱梁翘曲正应力沿纵向坐标的分布曲线，由图8可以看出，跨中截面的翘曲正应力最大，并且向两侧呈现减小的趋势，随着宽跨比的逐渐增大，翘曲正应力减小的趋势由陡峭逐渐变缓，当宽跨比为0.40时，距跨中2 m 截面处的翘曲正应力达到跨中的44%，因此靠近跨中位置的截面应力不能忽视。计算表明，当按照钢材和有机玻璃计算时，不同宽跨比的箱梁扭转翘曲正应力虽数值不同，但沿纵坐标的分布规律一致。

图8 不同宽跨比b/l的混凝土箱梁扭转翘曲正应力Fig.8 Torsion warping normal stresses of concrete box girder with different b/l

为了分析翘曲正应力差值比随宽跨比的变化趋势，图9绘制了不同材料的薄壁箱梁在跨中截面和距跨中2 m 截面处的翘曲正应力差值比曲线。由图9可以看出：跨中截面的翘曲正应力差值比不随宽跨比变化，这是因为跨中的应力差值比只与约束扭转特性参数k和泊松比μ有关，而k只与泊松比μ有关所致；距跨中2 m 截面处的翘曲正应力差值比随宽跨比的增大而减小，当μ=0.37(有机玻璃)、b/l=0.05 时，应力差值比达到28.41%；当宽跨比b/l相同时，同一截面上的应力差值比随泊松比的增大而增大。

图9 翘曲正应力差值比随宽跨比b/l的变化曲线Fig.9 Variation of difference ratio of warping normal stresses with b/l

3.3 横向内力分析算例

有机玻璃制作的等截面简支箱梁模型[1]，计算跨径l=1 200 mm，在顶板上距离腹板50 mm 的位置处满跨作用q=1 kN/m 的偏心竖向均布荷载。材料弹性常数：E=2.8 GPa，μ=0.37。简支箱梁荷载及横截面见图10。

图10 箱梁荷载及横截面Fig.10 Load and cross section of box girder

为了分析不同泊松比对薄壁箱梁横向内力的影响，按照钢材、混凝土等常用材料选取不同的泊松比值，对钢箱梁、混凝土箱梁、钢(腹板)—混凝土(顶板、底板)组合箱梁等结构的横向弯矩进行了分析。材料弹性常数：钢材E=206 GPa，μ=0.31；混凝土E=34 GPa，μ=0.17。

加刚性支承的框架横向弯矩和支承反力可采用结构力学的方法求解，根据支承反力与支承释放后的荷载之间的关系，可进一步求得反对称荷载。当组成箱梁的各板件选用相同的材料时，由ηm的表达式可知反对称荷载下的横向弯矩不受泊松比的影响，故各点在反对称荷载下的横向弯矩差值比相同。对于钢—混组合箱梁的各板件选用不同的材料，造成各板件的相对弯曲刚度发生变化，及加支承的框架支承反力重分配，进而使得释放支承后的反对称荷载值发生变化，另外各板件选用不同的材料时，受泊松比的影响ηm也不同，也使得横截面各点在反对称荷载下的横向弯矩差值比不同。

表3 列出了泊松比考虑与否在跨中截面A点和D点的横向弯矩结果，表3 中的有限元解同样采用有限元软件ANSYS 中的SHELL63 壳单元计算得到。由表3可以看出：考虑泊松比的横向弯矩与有限元值吻合良好；支承释放后反对称荷载下的横向弯矩差值比的绝对值随泊松比的增大而增大，但均未超过5%。

表3 跨中截面A和D点的横向弯矩比较Table 3 Comparison of transverse bending moment at mid-span cross section

为了研究箱梁在反对称荷载下的横向弯矩与宽跨比的关系，通过改变箱梁总宽b，使得箱梁总宽b从100 mm 以100 mm 的步长增大至500 mm，对应宽跨比b/l分别为0.083，0.167，0.333，0.25和0.417，顶板、悬臂板和底板宽度随总宽b 呈正比例变化，梁高h分别取值100 mm，200 mm，q=1 kN/m 的竖向荷载作用于距顶板中点20 mm 的位置。有机玻璃箱梁的横向弯矩差值比随宽跨比的变化曲线如图11 所示。由图11 可以看出，反对称荷载下的横向弯矩差值比绝对值随宽跨比的增大而增大，当h=200 mm，b/l=为0.417时，横向弯矩差值比达到了-24.97%。

图11 反对称荷载下的横向弯矩差值比随宽跨比b/l的变化曲线Fig.11 Variation of difference ratio of transverse bending moment with dissymmetric load with b/l

4 结论

1) 通过数值算例分析了剪切变形在约束扭转和横向内力中的影响，剪切变形对约束扭转的影响较大，采用乌曼斯基第二理论分析约束扭转时应考虑剪切变形的影响，而采用框架分析法分析横向内力时剪切变形的影响可忽略。

2) 本文提出对薄壁箱梁的约束扭转和横向内力分析应考虑泊松比的影响，数值算例表明：按本文方法计算扭转翘曲正应力和横向弯矩与有限元结果吻合良好，验证了本文方法的合理性。

3) 采用乌曼斯基第二理论分析薄壁箱梁的约束扭转时，翘曲正应力差值比随泊松比的增大而增大，距跨中2 m 截面处的翘曲正应力差值比随宽跨比的增大而递减，最大可达到28.41%，泊松比在约束扭转分析中的影响不容忽视。

4) 采用框架分析法分析薄壁箱梁畸变横向内力时，反对称荷载下的横向弯矩差值比绝对值随泊松比的增大而增大，同种材料下随宽跨比的增大而增大，横向弯矩的差值比绝对值最大达到24.97%，泊松比在横向内力分析中的影响同样不容忽视。

5) 对薄壁箱梁的各板件在约束扭转和横向弯曲中的受力性能分析时，结合平面应力问题的几何和物理方程，考虑泊松比对应力应变关系的影响，才能真实反映薄壁箱梁各板件的受力情况，本文的研究也使得对泊松比的处理相统一。