“线性代数”线上教学的实践与探索

沈吓妹

（宁德师范学院 数理学院，福建 宁德 352100）

2020年的上半年是一个特殊的时期，教师陆续开展线上教学，学生也在家自主学习.在教师与学生的相互配合下，这种“空中课程”如火如荼，双方都收获颇丰.“线性代数”是高校非数学专业的公共基础课.它以线性方程组为主线，将行列式理论、矩阵理论，向量空间理论等知识串联起来，既培养学生的代数计算能力，又训练学生的抽象思维能力，为学习后续课程奠定坚实的代数基础.

随着信息技术的不断发展，线上教学也成为了教育工作者推崇的教学模式.学习通是基于微服务架构打造的课程学习与管理分享平台，可通过手机端和浏览器访问.它是利用超星20 多年来创造的图书、期刊、视频、原创等资源，为师生提供一站式工作与学习平台.教师可以在学习通上进行建课与授课.建课包括门户编辑、资料云盘上传与课程建设.授课包括班级名单添加、考核方式权重设定、课堂教学、督学、结课与成绩导出.

针对“线性代数”中存在概念抽象、性质繁多、计算烦琐的特点，笔者按照“课前准备—课中实施—课后反思—课程考核”的教学模式进行系统性教学，以最大化提升教学质量.运行方式见思维导图（图1）.

图1 “线性代数”线上教学思维导图

1 课前准备

课前准备是实践好线上教学的重要前提.除了上传视频与课件外，还要提前开放教学视频，并精心制定学习任务预告与设计提问，为后续线上教学工作正常运行做好充分准备.

1.1 开放教学视频

首先，由于网格平台教学资源丰富，根据本课程的教学大纲选择合适的教学视频；其次，结合教学进度，提前开放即将学习的教学视频，设置隐藏后续的教学视频.

1.2 制定学习任务预告

学习任务预告是课前准备的一个重要环节，包括教学重点与难点、作业布置、提问时间、签到时间以及其他需要注意的事项.通过制定并发布学习任务预告，不仅使学生事先明白本节课将要学习的重要知识，也缩小了师生间的距离，学生不是孤军奋战，而是教师一起并肩作战，使学生更有信心战胜困难，达到学习效果.

比如，在教授“矩阵的初等变换”[1]时，提前预告学习任务，提示学生首先要理解视频中引例的“高斯消元法”，同时辅助课件学习，进而让学生掌握矩阵初等行变换与初等列变换的定义.长此以往，学生会期待着学习预告的到来，这极大程度地调动学生学习的积极性.

1.3 巧设提问

启发学生学习数学的关键词有：定向、架桥、置疑、揭晓[2].教师首先要明确希望学生解决什么问题，其次要考虑希望学生解决的问题与现实差距之间的距离，应该设计哪些问题或进行哪些活动架桥铺路来化解难题[2].因此，课前精心设计提问非常必要.提问内容包括定义、性质、公式、计算等，还可以准备较高难度的问题，以便考查学生的学习掌握情况.

比如，在教授“矩阵的运算”时，学生需要掌握两个矩阵乘积的计算.此时可以首先提问两个矩阵相乘的条件、怎样运算、结果是什么等.还可以提问“矩阵乘法满足哪些运算律、不满足哪些运算律”，引领学生对已有知识结构转向更高层次的思考.

2 课中实施

在课前充分的准备下，课中实施过程按照“签到—跟踪—提问”的形式有效地进行.

首先，发布签到“预备铃”.在上课前半小时发布签到，通过签到提醒学生做好线上上课准备.

其次，“现场”跟踪.第一节课是学生自学教学视频与课件.同时，通过学习通平台，跟踪学生在线学习进度，提醒学生做好笔记，解答学生在学习时遇到的问题.

然后，推送提问、解疑释难.第二节课是师生互动.把事先精心设计好的问题依次推送给学生.互动过程中，可以鼓励学生适当查阅笔记，耐心思考.在学生提交作答后，认真给予一一批改与明确的评价.同时，学生也会提出相关问题，比如“行列式两行或两列相同，为什么行列式等于0？”“逆矩阵的应用有哪些？”“什么时候使用初等列变换？”等，教师要及时给予答复.

最后，推送总结性知识.临近下课给出本节课的总结.比如“计算行列式的基本方法”“矩阵乘法不满足的运算律”“向量组线性表示的判定方法”等，还可以做些简明分析图（图2），让知识系统化，帮助学生理解，并提醒学生注意一些容易出错的地方.

图2 向量组线性表示判定方法的分析图

著名教师沈大安说过：“课堂教学要给学生自主学习的空间，将‘预设’与‘生成’结合起来，好的课堂效果只有在师生互动中才能生成.”课中实施是线上教学的核心部分，通过学生的学、师生的互动，高效圆满地完成课中实施.

3 课后反思

课后反思包括“存在问题反思”与“改进措施反思”.其目的在于改进线上教学，促进教师自我教育和学生全面发展.课后反思不但可以促进教师由经验型教师转向反思型教师，而且可以检查是否达到教学目标、学生是否主动学习、学习质量是否有提高、提问的设计是否科学、提问时间安排是否合适、某种教育行为是否会对学生造成伤害等.

3.1 存在问题反思

存在问题反思指的是对课前准备、课中实施和课后批改作业中各方面存在的问题逐一回顾与深思.主要存在如下问题：①个性化问题不容易得到解决；②学生没有养成做学习笔记的习惯；③小部分学生学习不主动，不及时改正作业中的错误；④师生互动存在局限性.

3.2 改进措施反思

针对“存在问题反思”映出的问题，逐一思考解决问题的方法.

①提供一题多解进行对比

比如，在教授“行列式的性质”时，学生在应用行列性质计算行列式时经常出错.这时，可以采取“一题多解”的方法进行对比，让学生进一步理解：r3+2r1表示把第一行的2 倍加到第三行，行列式不变；2r3+r1表示把第一行加到第三行的2倍，行列式扩大2 倍，因此原行列式要乘以1/2，才能保持左右相等.

②提醒学生做好学习笔记

提醒学生对有关课前给出的注意点、课中遇到的重要知识点一一做好记录.比如：余子式与代数余子式的定义以及它们两者间的关系.温馨提示学生，把每次课上所做的小笔记看作是“微记”，期末累加起来，就是一笔大的收获，便于随时查阅.

③提醒学生在提问时积极发言，做到当天任务当天清，或是当周任务当周清.必要时，可以进行选人发言.

④鼓励学生在各种网络平台随时提问，坚持“打破沙锅问到底”的学习精神.

4 课程考核

目前，课程考核有过程性考核和形成性考核.

4.1 过程性考核

过程性考核指的是课后推送针对性测试.结合教学目标、学生掌握情况，精心设计一些难易适中的客观题，比如填空题、选择题、判断题，提前导入学习通.选择合适时间开放，并提醒学生按时参加测试.

同时，及时查看学生的作答情况，并做好答案解析（图3）.在习题课时，对出错率较高的题目进行师生互动，课后把答案解析发布到学习通资料模块，供学生们查阅.

图3 答案解析

4.2 形成性考核形

形成性考核指的是对某一个专题给出测试方案，由学生现场作答，在规定时间内提交.这样的考核可以开展多次.

比如，完成第一章和第二章教学内容后，开展知识点总结考核.在规定时间内，学生把总结的知识点拍照提交.其目的在于让学生复习相关知识，以便今后能轻松自如地运用它们.这种考核不会对学生心理造成太大的压力.如果学生提前完成作品，提醒学生前往学习通资料模块阅读“线性代数发展简史”，拓展视野.由于知识点总结是主观题，需要教师评分，因此需要制定一份评分参考标准（表1）.

表1 第一、二章知识点总结评分参考标准

批改作业发现：一方面，大部分学生都非常用心地完成作业（图4-图5）；另一方面，失分率较高的是“计算行列式的基本方法”“矩阵乘法不满足的运算律”“分块对角矩阵的性质”.

图4 第一章行列式知识点总结

图5 第二章矩阵及其运算知识点总结

5 结束语

在学校的优化管理、教师的循循善诱与学生的有力配合下，线上教学取得了良好的教学效果.但也存在不足，比如：对学生的管控不到位、师生互动不方便[4]、课堂学习氛围不足、对师生视力影响大，等.线上与线下混合式教学是一种趋势.在教学改革的过程中，提倡教师不断提升信息化教学能力，开展形式多样化的混合式教学，不断提升教学质量.