GeoGebra与高中数学教学深度融合的思考与探索

陈丽萍

[摘   要]GeoGebra软件具有强大的几何和代数功能。以高中数学“为什么截口曲线是椭圆”问题链驱动式的教学设计为例，将GeoGebra的运用与教材深度融合，对于有效增强学生学习数学的兴趣、提升学生直观想象和逻辑推理学科核心素养、深化数学审美价值的认识具有积极的意义。

[关键词]GeoGebra;高中;直观想象;逻辑推理;审美价值

《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确提出，数学课程目标的集中体现是形成和发展学生的数学学科核心素养[1]。数学教学活动是达成这一目标的重要载体[2]。在数学教学中，融合信息技术创设丰富的教学情境和教学活动，可以使学生经历鲜活的学习过程，更加直观地感悟数学发生、发展的过程和数学的本质，自主探究和解决相关问题。GeoGebra（以下简称GGB）是一款动态数学教育软件，由“Geo”加“Gebra”组成，从字面上看，具有几何与代数两大功能，实际上，它是一个多功能的动态数学软件[3]。GGB与高中数学教学的深度融合，将对教师的教和学生的学产生强大的辅助功能。以下将结合“为什么截口曲线是椭圆”课例，讨论如何将GGB深度融合于教学设计，旨在探索和拓宽在课堂上进一步发展学生数学核心素养的有效途径。

一、教材与学情分析

“为什么截口曲线是椭圆”是人教A版数学教材（选修2-1）“椭圆及其标准方程”之后的一个专题，设置在“探究与发现”栏目，是数学学科内容的延伸与拓展。由于不是必考内容，所以教师往往不太重视这一栏目的教学。实际上，将信息技术深度融合于“探究与发现”栏目，可以更好地体现数学学科核心素养的价值。

从知识水平上看，学生通过对椭圆的定义和标准方程的学习，对椭圆的性质有了一定的了解和掌握;通过对立体几何的学习，认识和理解了基本图形的位置关系及性质。从思想方法上看，学生已经历了用坐标法解决一些与椭圆有关的简单几何问题的完整过程，再次感悟了“数形结合”的基本思想。从探究能力上看，学生从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力在逐步提高。

二、教学目标与教学重难点

这一专题的教学目标如下：一是结合GGB动态图形，运用数学家丹德林（G·P·Dandelin）的方法，理解截口曲线是椭圆的证明过程;二是结合椭圆及其标准方程，了解椭圆与其方程的对应关系，进一步体会“数形结合”的基本思想;三是增强学习数学的兴趣，提升直观想象和逻辑推理核心素养，深化对数学审美价值的认识。其中，教学的重难点是：结合GGB动态图形，运用数学家丹德林的方法，利用定义证明截口曲线是椭圆。

三、教学过程

用一个平面去截圆锥，当截面与圆锥轴线夹角不同时，可以得到不同的截口曲线。教师依次提出问题，逐步引导学生观察与思考。

【问题1】请观察下图中平面截圆锥得到的截口曲线，你能猜想出截口曲线的类型吗？（见图1）

教师操作：在GGB文件中先后勾选复选框“圆锥”和“平面”，出现平面截圆锥的图形。然后勾选复选框“截口曲线”，则平面截圆锥后得到的截口曲线可呈现。平面e视图（见图4）中的图形也同时出现。学生通过GGB直观感知图形，猜想截口曲线的类型。

问题1的设计意图是：通过GGB图形帮助学生将文字语言问题转化成几何图形语言问题，以增强学生探究截口曲线的兴趣，提升学生直观想象和逻辑推理素养。

【问题2】能否先通过GGB动态图形验证截口曲线上的任意一点都满足椭圆的定义呢？（见图2）

教师介绍及操作：在历史的长河中，很多人对截口曲线的类型问题从纯几何角度进行了深入研究。其中，数学家丹德林采用一个非常巧妙的方法证明了截口曲线是椭圆。教师在GGB文件中勾选复选框“球O1”和“球O2”，将两个大小不同的球先后嵌入圆锥内截面的两侧，上、下球分别为O1和O2，并且使它们与截面和圆锥的侧面均相切，其中与截面的切点分别为F1和F2。 然后勾选复选框“M”，在截口曲线上任取一点M，平面e视图（见图4）中的点M也同时出现。 接着勾选复选框“MF1”和“MF2”，连接MF1和MF2，平面e视图中也做了相应连接。教师拖动点M，使其在截口曲线上运动，通过观察绘图区2中的数据变化，发现此时截口曲线上的任意一点M都有|MF1|+ |MF2|=1.86，且有|F1F2|=0.72，|MF1|+|MF2| >|F1F2|，即截口曲线上的任意一点都满足椭圆的定义，这说明“截口曲线是椭圆”的猜想是合理的。 教师还可以改变参数的滑动条，在截口曲线仍是椭圆的情形下，引导学生观察图形和数据的特点。如果时间允许，也可请学生上台亲自操作GGB进行演示。学生们观察图形和数据，完成验证问题。

问题2的设计意图是：通过数形结合肯定猜想的合理性，提升学生直观想象和逻辑推理素养，为进一步的严谨证明做好铺垫。

【问题3】为什么截口曲线是椭圆呢？你能根据椭圆的定义和相关几何知识证明吗？（见图3）

教师操作及说明：接下来我们通过定义证明截口曲线是椭圆。勾选复选框“AB”，即过点M做圆锥的母線，分别与两个球相切于点A、B。这样可容易知道，直线MF1和MA都是球O1的切线，根据“同点发出的球的切线段长度相等”，因此有|MF1|=|MA|。同理，对球O2，有|MF2|=|MB|。于是|MF1|+|MF2|=|MA|+|MB|=|AB|。依据在整个作图过程中切点A、B的产生方法，可以得到两切点之间的距离|AB|是一个定值的结论。这样，截口曲线上的任意一点M到两个定点F1和F2的距离之和为常数。由椭圆的定义可以知道，此时平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆。学生在教师的引导下经历以上证明过程。

问题3的设计意图是：借助GGB图形，使学生从理论层面认识截口曲线是椭圆，提升学生直观想象和逻辑推理素养。

【问题4】你能根据绘图区2中的数据，求出在这种情形下平面e视图中椭圆的标准方程吗？（见图4）

教师引导学生建立适当的平面直角坐标系，使焦点F1、F2落在x轴上。共同观察并分析绘图区2中的相关数据可知，|MF1| +|MF2| =2a=1.86，|F1F2|=2c=0.72。最后根据椭圆的定义求出此时平面e视图中椭圆的标准方程。学生在教师的引导下求出焦点在x轴上的椭圆的标准方程。

问题4的设计意图是：充分利用GGB提供的“附加视图”功能，多元关联，帮助学生重温椭圆的定义和标准方程，提升学生直观想象和逻辑推理素养。

【问题5】将圆锥换成圆柱，用平面斜截圆柱，得到一条截口曲线。你能类比这种极具创造性的方法，经过猜想和验证，最终证明截口曲线也是椭圆吗？你能根据绘图区中的相关数据，求出平面p视图中椭圆的标准方程吗？（见图5）

教师让学生先自行画图，然后演示GGB动态图，再引导学生完成证明，求出标准方程。学生通过小组讨论完成证明，求出标准方程，汇报展示成果。

问题5的设计意图是：引导学生自主探究和解决平面斜截圆柱生成截口曲线是椭圆的问题，从而提升学生直观想象和逻辑推理素养。

四、教学反思与感悟

1. GGB可以增强学习数学的兴趣

在必修阶段学习平面解析几何的基础上，学生将在人教版A版（选修2-1）第二章中学习圆锥曲线与方程，用坐标法探究的第一类圆锥曲线即是椭圆。通过椭圆及其标准方程的学习，有些学生产生了畏难情绪，对于课后探究与发现“为什么截口曲线是椭圆”更没有什么兴趣。本课例摒弃了传统的静态教学，设计了层层递进、逻辑连贯的五个问题，并将GGB的动态演示巧妙融入每一个问题，使学生经历了丰富多彩的数学活动，产生了情感和视觉的充分体验。这样，不仅可以引导学生循序渐进地思考“为什么截口曲线是椭圆”，还可以增强学生学习圆锥曲线的兴趣。

2.GGB有助于提升直观想象素养

充分利用GGB强大的动态几何功能，借助图形描述问题，使平面斜截圆锥和圆柱生成截口曲线为椭圆这一问题变得直观可视。学生看到椭圆的动态生成，发展了几何直观和空间想象能力。教师引导学生紧跟数学家丹德林的脚步，利用对图形的理解，在变化中证明了不变的本质，完美解决截口曲线是椭圆的问题，增强了学生运用几何直观和空间想象思考问题的意识。另外，绘图区和视图区多元关联，通过让学生用代数语言描述截口曲线的特征，即建立特定位置时平面视图区椭圆的标准方程，由此感悟数形相融动态变化中的联系和本质，从而提升了直观想象学科核心素养。

3.GGB有助于提升逻辑推理素养

学生已经学习了立体几何中点、直线、平面的位置关系和数量关系，椭圆的定义和标准方程，证明“截口曲线是椭圆”是一个严谨理性的逻辑推理过程。通过在GGB动态课件中设置复选框，使3D图形动态演示与猜想、验证和证明过程相匹配，可以引导学生更好地发现和提出问题，探索和表述合乎逻辑的论证过程。如在平面斜截圆柱得到截口曲线是椭圆的问题中，结合GGB动态图形，引导学生采用类比推理的方法参与探究活动。GGB辅助学生有逻辑地思考问题，在复杂空间图形中把握椭圓的本质，进行严密的逻辑推理，助力学生进一步提升逻辑推理学科核心素养。

4.GGB可以深化对审美价值的认识

普洛克拉斯（Proclus）曾说过，哪里有数学，哪里就有美！GGB的融入有助于培养学生的审美能力。 在这一课例中，GGB呈现了三维立体平面截圆锥和圆柱的图形，可以通过拖动滑条、勾选复选框、360°旋转图形，使圆锥和圆柱、平面和丹德林球动起来，成为一个动态图形，便于学生从中体验动静之美。在图形色彩方面，圆锥、平面和丹德林球各具鲜明的不同颜色，呈现出色彩之美。此外，椭圆标准方程的结构形式也非常简洁漂亮。虽然本课主要是探究和证明截口曲线是椭圆，但是基于GGB强大的几何和代数功能，在教学设计中追加了一个求椭圆标准方程的问题，让学生进一步使用坐标法，将“数”与“形”完美地结合起来，使学生感受到了椭圆标准方程结构形式的美。事实上，GGB带来的美，不仅能够提升学生的审美情趣和审美能力，还使学生在形象思维的基础上增强理性思维能力。

五、结语

与教材的章节引言一样，“探究与发现”栏目也是经过教材编写者精心设计的。编者挑选了一些有益的拓展性材料置于章节之后，发挥着承前启后的重要作用，它们既是对教材资源在内容上的补充和拓展，也是对学生能力层面上的更高要求，为广大教师的教学实践活动提供了较强的灵活性和广阔的探究空间。基于GGB强大的几何和代数功能，将其同“探究与发现”深度融合，在教学活动的开展与推进过程中，适时引导学生学习、发现和探究，可以帮助学生更好地认识和理解数学，为数学课堂的教与学注入新的活力。实践证明，该教学软件对于有效增强学生学习数学的兴趣、提升学生直观想象和逻辑推理学科核心素养、深化学生对数学审美价值的认识具有积极意义。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]史宁中，王尚志.普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M].北京：高等教育出版社，2018.

[3]郭衍，曹一鸣.动态数学软件GeoGebra使用指南[J].中学数学教学参考，2012（1）：129-131.

（责任编辑 郭向和   校对 姚力宁）