基于平抛运动对第一宇宙速度的近似推导

2021-10-15汤烨锦李守谦

物理教师 2021年9期

汤烨锦李守谦

（长沙市南雅中学，湖南长沙 410029）

1 引言

第一宇宙速度，又称为环绕速度是指在地球上发射的物体（例如航天器或卫星）在离地面不远处绕地球作匀速圆周运动所需要的最小初始速度.可见，第一宇宙速度是人类实现太空探索的一个重要概念.［1］第一宇宙速度一般是利用万有引力推导出来的，［2］也可利用重力近似导出.但是，牛顿在其《自然哲学的数学原理》中提出一个设想，如果从高山上抛出物体，抛出速度很大，物体就不会落回地面.［3］这就引出了以下疑问：（1）能不能从抛体运动导出第一宇宙速度呢？（2）为什么抛出速度较小时，物体会落到地面，而抛出速度足够大时就不会落回到地面呢？（3）如果抛出速度很大，抛出物体不落回地面，那么，这时的物体会如何运动呢？为此，本文利用平抛运动对第一宇宙速度进行推导，通过分析对上述疑问进行了回答.

2 第一宇宙速度的常规推导方法

设地球质量为M，卫星（运动物体）质量为m，根据万有引力定律，二者之间的引力为

其中G为万有引力常数，r为地球与卫星之间的距离或称为卫星的轨道半径.

当卫星以速率v1绕地球作圆周运动时，必须受到向心力的作用，这个向心力就是地球对卫星的引力，因此有

这就是第一宇宙速度的常用计算公式.［2］

另一方面，在地球附近，卫星受到地球的引力就是卫星的重力，利用重力等于卫星围绕地球作圆周运动的向心力有

上面就是导出第一宇宙速度的两种常用方法，v1和v2则是计算第一宇宙速度的两个常用公式.取G＝6.67×10－11N·m2·kg－2，M＝6×1024kg，g＝9.8 m/s2，将卫星的轨道半径r近似取为地球平均半径6.4×106m，代入（3）和（5）式得到第一宇宙速度为v1＝7892 m/s，v2＝7920 m/s，两者非常接近，所以第一宇宙速度的常用值为7.9 km/s.

3 基于平抛运动的推导方法

假设在一座山顶上水平发射一颗炮弹，发射炮弹的位置记为A，地心位置记为O，如果炮弹没有受到地球引力作用，炮弹将垂直于直线OA运动，并于1 s后到达B点，如图1所示.事实上，炮弹必须受到地球的引力作用，所以炮弹的实际位置为C点.由于重力的作用，C点在B点下方4.9 m处.显然，如果C点位置与地面之间的距离小于A点与地面之间的距离，炮弹将落到地面上，否则就不会落到地面上.如果C点位置与地面之间的距离与A点与地面之间的距离相同，炮弹将沿地球表面作圆周运动，这实际上就是卫星的轨道运动，因此，满足此条件的炮弹速度就是第一宇宙速度.根据上述分析，图1中三角形OAB是一个直角三角形，直角边OA近似为地球半径r，斜边OB比OA长4.9 m，所以求得直角边AB为

图1 平射炮弹运动示意图

由于直角边AB是炮弹在1 s所飞行的距离，所以等于炮弹的速度，记为v3，于是有

这就是我们导出的第一宇宙速度的近似计算公式.取r＝6.4×106m，代入公式（6），得到v3＝7920 m/s，这个计算结果与公式（5）的计算结果完全相同，与公式（3）的计算结果十分接近.为了检验公式（6）的可靠性，我们对地球半径的不同取值进行了计算，对比情况如表1所示.可以看出，公式（6）与公式（5）的计算结果确实完全相同，并与公式（3）的计算结果非常接近.

表1 地球半径取不同值时第一宇宙速度计算结果

从以上推导过程和结果可知，基于平射炮弹的运动推导第一宇宙速度，方法简明直观，且结果有足够的精度.这就回答了基于牛顿设想所带来的第一问题，即可以从抛体运动导出第一宇宙速度.

4 分析与讨论

如果炮弹速度小于7.9 km/s，它在1 s后的位置记为B1，但它仍然要沿“竖直方向”下降4.9 m，所以炮弹实际位置C1必然要落在表示等高线的虚线下方，因此，随着时间的增大，炮弹离地面越来越近，最终必然要落到地面上.反之，如果炮弹速度大于7.9 km/s，它在1 s后的位置记为B2，但它也只沿“竖直方向”下降4.9 m，所以炮弹实际位置C2必然要落在表示等高线的虚线上方，显然，随着时间的增大，炮弹必然离地面越来越远，最终脱离地球，因此只有满足（6）式的速度才能保证炮弹绕地球表面做圆周运动，这就是第一宇宙速度的含义所在，而且上述分析同时也回答了基于牛顿设想所带来的另外两个问题.