关于线性代数习题课教学改革的思考

张淑琴，王 洁

(中国矿业大学(北京) 理学院，北京 100083)

0 引言

线性代数是讨论代数学中线性关系经典理论的课程，具有较强的抽象性和逻辑性，广泛应用于各个学科[1]。习题课教学作为线性代数教学的一个重要环节，旨在帮助学生深化巩固所学知识，体验解题过程，培养学生的自主学习能力。然而，“轻基础，重应用”思想的出现以及大学扩招带来的师资缺乏等原因，使得部分高校的线性代数的学时被压缩，而教师为了完成教学大纲的要求，大都选择了压缩习题课的学时。在实际的教学过程中，有的教师把习题课变成了例题讲解课与作业题纠错课，也有的在教学过程中直接取消了习题课，把习题课要讲的典型例题放在了平时的新授课中。鉴于此，笔者认为习题课的教学效果是有待考究的。

实际上，习题课的教学和讲授新课过程中所讲的习题是有所不同的。由于受学生所学知识、课堂时间等因素的限制，新授课中的习题所涉及的基本概念、基本定理以及基本方法都比较单一，且很少能涉及知识点的应用。但是系统地讲完一章之后，这方面的影响就会相对减少，习题的选择与设计面就会宽很多，所以习题课是非常重要且必要的。

相信大部分教师尤其是青年教师都有这样的困惑：为什么大部分学生觉得线性代数比微积分学起来要相对难一些，而教师自己则认为微积分要难学一点。笔者认为，教师看到的是“整片森林”，而大部分学生只看到了森林里杂乱无章的“树木”。具体来说，一方面学生普遍反映线性代数的内容比较抽象，与实际生活关联不大，并且用处不多，比如行列式的定义、向量的线性相关与线性无关的定义等；另一方面，线性代数相关问题的计算量比较大，比如逆矩阵的计算、特征值与特征向量的求解等，动辄一个题都是两页以上的运算量，并且稍有不慎，就会计算出错，容易使学生丧失学好线性代数的兴趣和信心。所以，好的习题课教学应该能在一定程度上解决这样的困惑。关于如何上好线性代数的习题课的思考有很多[2-10]，笔者结合自身的经验，认为工科类专业的线性代数习题课的教学设计应该注意以下几个方面。

1 习题课的教学设计

1.1 习题课要对知识点进行梳理，使其清晰化、条理化

习题课作为新授课的巩固深化，离不开对基本概念、基本定理、基本方法和基本数学思想的总结与回顾，是帮助学生理解与掌握这些知识的重要环节。每次讲完新的一章后，教师可以引导学生把本章所讲的内容按其内在联系串联起来，最后形成框架图或是思维导图。这样学生不仅理解了一个个知识点，而且还明白了知识点之间的联系，以及它们各自的作用及背后所蕴藏的数学思想。通过这种方式，使学生更易见到“森林”，进而逐步达到把书本由厚变薄的境界。

1.2 习题的选择要具有典型性、综合性和层次性

习题课的时间是宝贵的，选择习题的时候不能贪多、贪全，但同时还要考虑到知识点的覆盖面，要通过所选题目的训练，达到使学生能够举一反三的目的，所以习题的选择要具有典型性和综合性。另外，在习题的设计上，要有一定的层次性，既要给基础好的学生提供展示的舞台，又要给基础差的学生提供参与的机会，使多数学生都能得到不同程度的提高。

此题目所涉及的知识点包含：①找出数量关系并列出线性方程组；②线性方程组的矩阵表示；③矩阵乘法；④向量组的线性无关；⑤矩阵的特征值和特征向量。

问题1)主要考查知识点①和②，相对来说比较简单。问题2)主要考查知识点④和⑤，验证线性无关比较容易，但是验证特征向量的时候要学会逆向思考，实际上是先求特征值，再求特征向量，最后要与所给向量作比较得到结果，问题2)的计算量相对较大，但方法简单。问题3)主要考查知识点③，同时也考查学生找寻规律的能力，这是比较高层次的要求。这3个问题涵盖的知识点比较多，并且由浅入深，层层递进，是非常好的典型习题。

1.3 习题的设计尽量使抽象的内容具体化

由于线性代数内容本身具有很强的抽象性，比如前面提到的向量的线性线关与线性无关的定义，向量组的最大无关组等定义。学生很难理解透彻，只能死记硬背定义。如果在习题课中，能用具体的实例说明抽象的概念，进而解决实际问题，就能加深学生对抽象内容的理解。

例2[4]某调料公司用7种成分制造6种调味品，详见表1。

表1 每包调味品所需各成分的量/(×28 g)Tab.1 Amount of ingredients required for each package of condiment/(×28 g)

1)一位顾客为了避免购买全部6种调味制品，他可以只购买其中一部分并用它们配制出其余几种调味制品，为了能配制出其余几种调味品，这位顾客必须购买的最少调味品的种类是多少？写出所需最少的调味品的集合。

2)由1)中得到的最小调味品集合是否唯一？能否找到一个最小调味品集合？

3)用1)中的最小调味品集合,按下列成分配制一种新调味品,写出需要的调味品的包数。

红辣椒18，姜黄18，胡椒9，欧莳萝9，大蒜粉4.8，盐4.5，丁香油3.25。

4)另一位顾客希望按下列成分配制一种调味品，他要购买的最小调味品集合是什么？

红辣椒12，姜黄14，胡椒7，欧莳萝7，大蒜粉35，盐35，丁香油175。

例2是一道与实际问题相结合的题目，能够激发学生解决问题的欲望。通过该题目的训练，可以使学生深刻理解向量组的极大无关组、向量组的线性表示等相关概念，并且方法简单，运算量小，容易使学生获得成功解决问题的成就感。

1.4 习题的设计尽量与专业相联系

目前工科数学教学面临的一个比较大的问题是：缺乏工程背景。现在课堂上做得比较多的是，如何让学生进入数学，但是更应该做的是让学生走出数学，知道怎么用数学。新授课由于种种原因的限制很难使所讲授的内容与所学专业相联系，即使能够联系起来，也是蜻蜓点水式的，很难展开讨论，而习题课能很好地弥补这一缺陷。我校是矿业高校，如果能用所学的线性代数的相关知识去解决矿业领域的一些小问题，对学生理解所学内容和其将来的发展是非常有益的。

文献[6]介绍了如何利用线性代数方程组来计算瓷土矿石的矿物含量,从而研究瓷土矿石中矿物的组合规律及其比例变化。这是一个非常典型的与专业相结合且又不是晦涩难懂的题目，并且具有一定的研究性，使学生走出了数学，利用所学知识去解决与专业相关的一些问题，同时又在解决问题的过程中培养了学生的科研能力。

1.5 习题的设计可以突破线性代数课程的界限，与其他数学课程的相关内容有机地结合在一起

多数学生在学完微积分和线性代数之后，普遍觉得这两门课程几乎是没有联系的。这可能是由使用的教材造成的，因为大部分的线性代数教材中很难看到与微积分内容相关的题目，二者是否就真的不能有机结合在一起去解决问题呢？答案当然是否定的。我们可以在习题课上设计一些能有机融合这两门课程的题目，使学生知道可以用线性代数解决微积分中的问题，同样也可以用微积分来解决线性代数中的问题。虽然方法不同，但总能殊途同归。

文献[7]通过三角形面积与行列式的关系、Lagrange中值定理的行列式法证明、二次型函数对应的矩阵和函数的线性无关4个问题，阐述了微积分和线性代数课程之间的联系。这些题目训练，有助于开阔学生的视野，建立学生的数学整体感，使学生达到知识的融会贯通。

1.6 习题课的课堂可以引入数学软件，淡化运算技巧，突出概念和思想方法的讲解

由于计算机的普及和一批功能强大的数学软件系统(如Matlab、Mathematics等)的出现，数学的作用和数学教学发生了深刻的变化。它使大量数据的采集和处理成为可行，也使得数学建模成为一种试验的手段，从而大大推进了数学在各个领域的应用。在这种形式下，线性代数的教学中“一张纸，一支笔”的训练方式就显得远远不够。在对问题进行初步的分析和归纳的基础上，数学思想与计算机的结合，已成为现代数学教学的一种重要方式。

1.7 习题课的教学方法与教学手段可以多样化

针对学时不够的问题，习题课可以不占用教学大纲要求的学时，以课外辅导课的形式开设。实施小班或中班教学，有助于数学软件的使用和“讨论式”“研究式”等教学方法的开展，可以使助教在主讲教师的指导下完成教学。教师不宜过多讲解，应在教师的指导下，以学生自己动脑、动手为主。根据教学内容的不同，可以灵活地运用“示范式”“建构式”和“讨论式”等教学方法，帮助学生深化理解，引导学生总结解题的思路与方法，活跃学生思维，培养学生发现问题、提出问题和解决问题的能力。

2 总结

教学改革是一项复杂的工程，不可能一蹴而就。线性代数的习题课教学作为其中重要的一环，必须始终坚持以学生为主体，在教学实践中改革，在改革中思考，力争把我们的课程打造成学生拍手称赞的金课。