一个Ostrowski型不等式的加强

时统业

(海军指挥学院，江苏 南京 211800)

0 引言

1937年，OSTROWSKI A[1]给出了用函数值近似平均值的误差估计。

学者们对Ostrowski不等式作了许多改进和推广[2-24]，得到了各种类型凸函数的Ostrowski型不等式、各种类型积分的Ostrowski型不等式、扰动的Ostrowski型不等式、加权的Ostrowski型不等式等。

为方便起见，记

q(x)=(x-a)(f(x)+f(a+b-x)-f(a)-f(b))+(c-x)(f(x)+f(a+b-x)-2f(c))，

文献[15]给出了一个Ostrowski型不等式。

定理2设f在[a,b]上可微，且存在常数γ和Γ,使得γ≤f′≤Γ，则对于任意x∈[a,c]有

(1)

定义1设f:[a,b]→R，如果存在常数γ和Γ，使得对于任意s,t∈[a,b]，s

文献[16]在M-Lipschitz条件下给出式(1)的加强。

定理3[16]设f在[a,b]上满足M-Lipschitz条件，则对任意x∈[a,c]，有

本文将用引入参数求最值的方法，建立式(1)的新的加强。

引理1[16]设f在[a,b]上可微，且f′在[a,b]上可积，则对任意x∈[a,c]，有

(2)

证明式(2)的第一个等式即文献[16]中的式(30)。利用积分的变量代换可证式(2)的第二个等式。

引理2设f:[a,b]→R满足(γ,Γ)-Lipschitz条件，则有

引理3设f:[a,b]→R满足(γ,Γ)-Lipschitz条件，则有

|q(x)|≤2k(x)(Γ-γ)。

证明因为

f(x)+f(a+b-x)-f(a)-f(b)=(f(x)-f(a))+(f(a+b-x)-f(b))≤

Γ(x-a)+γ(a-x)=(Γ-γ)(x-a)，

f(x)+f(a+b-x)-2f(c)=f(x)-f(c)+f(a+b-x)-f(c)≤

γ(x-c)+Γ(c-x)=(Γ-γ)(c-x)，

故证得q(x)≤2k(x)(Γ-γ)。类似可证q(x)≥-2k(x)(Γ-γ)，故引理3得证。

注1若f在[a,b]上可微，且存在常数γ和Γ，使得γ≤f′≤Γ，则f满足(γ,Γ)-Lipschitz条件，此时引理2和引理3仍成立。

1 主要结果

定理4设f在[a,b]上可微，且f′在[a,b]上可积，存在常数γ和Γ，使得γ≤f′≤Γ，则对于任意x∈[a,c]，有

(3)

证明对任意常数ε，利用引理1有

(4)

当ε∈[x-c,0]时，有

(5)

当ε∈[0,x-a]时，有

(6)

综合式(4)～(6)，对于任意ε∈[x-c,x-a]，有

其中

利用引理2，有ε1∈[x-c,x-a],φ1(ε)在ε1处取得最小值且

故式(3)的两个不等式成立。

当γ≤f′≤Γ时，有-Γ≤(-f)′≤-γ。对函数-f应用已证结论，则式(3)的左边两个不等式得证。

推论1设条件同定理4，则有

(7)

推论2设条件同定理4，则有

(8)

(9)

证明在式(7)中依次取x=a，x=c即可得证。

定理5设f:[a,b]→R满足(γ,Γ)-Lipschitz条件，则式(3)成立。

证明对任意常数ε∈[0,x-a]，有

对任意常数ε∈[x-c,0]，

综上所述，对于任意常数ε∈[x-c,x-a]，有

以下证明类似于定理4的证明，故略去。

推论3设条件同定理5，则式(7)～(9)成立。

定理6设f在[a,b]上可微，且f′在[a,b]上可积，存在常数γ和Γ，使得γ≤f′≤Γ，则对于任意x∈[a,c]，有

(10)

其中

于是有

其中

利用引理3知ε1∈[0,x-a]。取ε=ε1，则式(10)的右边不等式得证。当γ≤f′≤Γ时，有-Γ≤(-f)′≤-γ。对函数-f应用已证结论，则式(10)的左边两个不等式得证。

当x=a时，即要证明

(11)

这正是定理4中x=a时的结果。定理得证。

推论4设条件同定理6，则有

(12)

定理7设f:[a,b]→R满足(γ,Γ)-Lipschitz条件，则对于任意x∈[a,c]，式(10)成立。

证明当x=a时，即要证明式(11)，这正是定理5中x=a时的结果。

于是有

(13)

推论5设条件同定理7，则式(12)成立。