k角数中的立方数

管训贵

(泰州学院 数理学院，江苏 泰州 225300)

0 引言及主要结论

在数论中，经常遇到平方数和立方数，这种数的几何表示方法是从古希腊数学思想中继承下来的许多遗产之一[1]。多角数就是其中最典型的例子。

首先出现的是三角数，其序列为

1，2，2+1，2+2×1，…，2+(n-2)×1，…

很容易算出序列的前n项和第n个三角数的计算公式

之后出现了四角数、五角数、六角数……一般地，k(k≥3)角数序列为

1，k-1，(k-1)+(k-2)，(k-1)+2(k-2)，…，(k-1)+(n-2)(k-2)，…

而第n个k角数的计算公式

关于多角数中的完全方幂问题由来已久。本文将讨论其中的立方数问题，该问题可归结为三次丢番图方程

T(k,n)=l3，k,l∈N*

(1)

的求解问题。本文中的N*表示全体正整数的集合，Z表示整数的集合。

对此，GYÖRY K[2]证明了不定方程x(x+1)=2yn(x,y,n∈N*，n≥3)仅有解(x,y)=(1,1)，从而推出三角数中仅有立方数1；乐茂华[3]证明了五角数中仅有立方数1。本文解决了四角数、六角数、七角数和十角数中的立方数问题，即证明以下定理1。

定理11)四角数中仅有立方数a6(a∈N*)；

2)六角数中仅有立方数1；

3)七角数中仅有立方数1；

4)十角数中仅有立方数1和27。

1 若干引理

引理1若a,b∈Z且3|(a3-b3)，则9|(a3-b3)。

证明由a3-b3=(a-b)[(a-b)2+3ab]及3|(a3-b3)知，3|(a-b)或3|[(a-b)2+3ab]。

若3|(a-b)，则3|[(a-b)2+3ab]；若3|[(a-b)2+3ab]，则3|(a-b)。无论哪一种情况，总有9|(a3-b3)。

引理2设C=1,3，A>B>1(A,B∈Z)，gcd(AB,C)=1，且C=3时可取B=1，则丢番图方程

Ax3+By3=C，x,y∈Z，xy≠0，

除了2x3+y3=3有两组解(x,y)=(1,1)和(4,-5)外，最多只有一组解(x,y)。

证明参见文献[4]。

引理3设D不被6k+1形的素数整除，则丢番图方程

x3+1=Dy3，D>1，x,y∈Z，xy≠0

除D=2仅有解(x,y)=(1,1)，D=9仅有解(x,y)=(2,1)，D=17仅有解(x,y)=(-18,-7)和D=20仅有解(x,y)=(-19,-7)外，其他情形均无解。

证明参见文献[5]。

由引理3，可立得引理4和引理5。

引理4丢番图方程x3+1=30y3(x,y∈Z)仅有解(x,y)=(-1,0)。

引理5丢番图方程x3+1=15y3(x,y∈Z)仅有解(x,y)=(-1,0)。

2 定理1的证明

1)当k=4时，不定方程(1)可写成n2=l3，故n=a3(a∈N*)，即四角数中仅有立方数a6(a∈N*)。

2)当k=6时，不定方程(1)可写成

n(2n-1)=l3，

(2)

因为gcd(n,2n-1)=1，故由(2)式可得

n=a3，2n-1=b3，l=ab，

(3)

这里a,b∈Z，gcd(a,b)=1。

当(3)式成立时，由(3)式中的前两式可得

b3+1=2a3，

(4)

根据引理3，方程(4)仅有整数解(a,b)=(1,1)。此时n=1，即六角数中仅有立方数1。

3)当k=7时，不定方程(1)可写成

n(5n-3)=2l3,

(5)

因为gcd(n,5n-3)=gcd(n,-3)=1或3，故由(5)式可得

n=a3，5n-3=2b3，l=ab，

(6)

或

n=2a3，5n-3=b3，l=ab，

(7)

或

n=3a3，5n-3=18b3，l=3ab，

(8)

或

n=18a3，5n-3=3b3，l=3ab，

(9)

这里a,b∈Z，gcd(a,b)=1。

当(6)式成立时，由(6)的前两式可得

5a3-2b3=3，

(10)

根据引理2，方程(10)仅有整数解(a,b)=(1,1)。此时n=1。

当(7)式成立时，由(7)的前两式可得

10a3-b3=3，

(11)

即

9a3+(a3-b3)=3，

(12)

由(12)式知，3|(a3-b3)。根据引理1，9|(a3-b3)，从而9|3，这不可能，因此方程(11)无整数解。

当(8)式成立时，由(8)的前两式可得

5a3-6b3=1，

(13)

根据引理2，方程(13)仅有整数解(a,b)=(-1,-1)。此时n=-3(不合题意，舍去)。

当(9)式成立时，由(9)的前两式可得

b3+1=30a3，

(14)

根据引理4，方程(14)仅有整数解(a,b)=(0,-1)。此时n=0(不合题意，舍去)。

综上可知，七角数中仅有立方数1。

4)当k=10时，不定方程(1)可写成

n(4n-3)=l3，

(15)

因为gcd(n,4n-3)=gcd(n,-3)=1或3，故由(15)式可得

n=a3，4n-3=b3，l=ab，

(16)

或

n=3a3，4n-3=9b3，l=3ab，

(17)

或

n=9a3，5n-3=3b3，l=3ab，

(18)

这里a,b∈Z，gcd(a,b)=1。

当(16)式成立时，由(16)的前两式可得

4a3-b3=3，

(19)

根据引理2，方程(19)仅有整数解(a,b)=(1,1)。此时n=1。

当(17)式成立时，由(17)的前两式可得

4a3-3b3=1，

(20)

根据引理2，方程(20)仅有整数解(a,b)=(1,1)。此时n=3。

当(18)式成立时，由(18)的前两式可得

b3+1=15a3，

(21)

根据引理4，方程(14)仅有整数解(a,b)=(0,-1)。此时n=0(不合题意，舍去)。

综上可知，十角数中仅有立方数1和27。