用综合法构造6m+3阶完美幻方

2021-10-14徐向东

延安大学学报（自然科学版） 2021年3期

徐向东

(乌兰察布职业学院经济管理系，内蒙古乌兰察布 012000)

幻方是组合数学区组设计的一个新领域，与正交拉丁方存在天然联系[1-7]。完美幻方，又称全对称幻方，性质不平凡，约束条件诸多，获取不易。1985年，李立曾经将全对称幻方分为五类：4m阶、4m+2阶、6m-1阶、6m+1阶和6m+3阶全对称幻方，探索其构造方法[1]。对于6m±1阶全对称幻方，按连续摆数法，采用中国象棋马步和士步排序法构成，并通过几种变换得到若干构造方法[1]；对于4m阶全对称幻方，李立给出十种构造方法[2]。

对于构造6m+3阶完美幻方，方法相对比较复杂。本文首先按自然数序列，构成n=6m+3阶方阵的行列编码，接着实施同步变换，再将变换后的方阵按连续摆数法，采用中国象棋马步和炮步走法[记作H(k+1,j+2)+G(k+2,j)步]并结合排序法，构造出6m+3阶完美幻方。此方法不同于王辉丰和詹森的构造方法[3]。

1 预备知识

设{n}表示集合{1,2,3，…n}，

(1)

(2)

(3)

(4)

其中n为{n}中的元素，<0>n=n，n=n，当0

2 构造6m+3阶完美幻方

本文规定如下排列：

U=(1,2,3…n)=(1,2,3,4,5,6,…,6m+1,6m+2,6m+3)=(u1,u2,u3,…,u6m+1,u6m+2,u6m+3)，

(m,n为正整数，n=6m+3)，

U2=(<1>n,<3>n,<5>n,…,<2n-1>n)=

引进变换：

C’U:u4→c6,u5→c4,u6→c5,u7→c8,u8→c9,u9→c7,ui→ci(i=1,2,3,3m+7,3m+8,3m+9,…,6m+3),ui→c3m+16-i(10≤i≤3m+6)。

令C=(c1,c2,c3,…,c6m+1,c6m+2,c6m+3)为U的一个变换，满足

(5)

定理1 按照连续摆数法，采用中国象棋马步和炮步走法[记作H(k+1,j+2)+G(k+2,j)步]并结合排序法，可以构造出n=6m+3阶完美幻方。

其过程如下：

首先将自然数数列{n2}按顺序从上到下、从左到右排成n行n列方阵Zn，

Zn=(z1,z2,…,zn)，其中zi=(i,i+1,i+2,…,i+n-1)T，(T表示转置)，称为自然数序列n阶方阵。其次对Zn进行行列编码的同步变换：

令Qi=(0,0,0,…,ec3i-2,ec3i-1,ec3i,…,0,0,0)n,

(i={2m+1})，

其中ek为第k个分量为1、其余分量皆为0的单位向量。

(i={n})；

PU∶Pu1=n,Pui=n,

(i={2,3,…,n})，

PjU=PPj-1U,P0U=IU,(j={n})；

HjU2=H(Hj-1U2),H0U2=IU2,(j={n})。

设上述Fn=(fkj)n×n,又设Mn=(mkj)n×n，做变换：

以M9的构造过程为例，首先将自然数序列方阵Z9进行行列编码的同步变换，Z9→F9，然后从m1,1开始，按中国象棋马步[H(k+1,j+2)步]排列F9的第一列“1,2,3,5,6”，此时“6”已在方阵M9的右边上，可将方阵M9左右两边连成一圆筒，接着排列“4,9,7,8”，F9的第一列已排完；此时“8”已在M9的最下边，可将方阵M9上下两边连成一圆筒，从“8”到“10”(F9第二列的第一个数)按中国象棋炮步[G(k+2,j)步]排列(炮步称为列与列之间的过渡步)；F9第二列从“10”到“17”均用马步排列，马步称为内连续步；一直排到F9的最后一个数“71”。这样就得到一个9阶完美幻方M9，如文末举例所示。用同样的方法可以构造15阶，21阶，…，6m+3阶完美幻方。