几何画板在初中数学教学中的应用

王跃祖

几何画板软件是一款优秀的动态几何软件，用几何画板可以呈现传统课堂教学中难以呈现的课程内容，它功能强大，不言而喻。尤其是在“考改促课改”的今天，显得尤其   重要。

《数学课程标准》（2011版）指出：“要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的教学活动中去。”

现我就对山西省中考试题和2021年山西省中考模拟试题中部分试题，利用几何画板突破学生思维难点简单来说一下。

一：几何画板在综合与探究中的应用

1.（山西2021省适应性23题）综合与探究：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线W1：y=ax2+bx+3（a≠0）的顶点为A，与y轴交于点D，与x轴交于点B（3，0），C（﹣1，0）.P是W1上的动点，设点P的横坐标为m（0

（1）求抛物线W1的函数表达式及点A，D的坐标;

（2）如图2，连接BD，直线l交直线BD于点M，连接OP交BD于点N，求PM的长（用含m的代数式表示）及 的最大值;

（3）在点P运动过程中，将抛物线W1沿直线l对称得到拋物線W2，W2与y轴交于点E，F为W2上一点，试探究是否存在点P，使△DEF是以D为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出此时点P的坐标;若不存在，请说明理由.

此题的难点在于第三问，把等腰直角三角形的存在性问题以抛物线的翻折为载体，加大了学生思维的难度。利用几何画板绘制出抛物线W1沿直线l对称得到拋物线W2函数图象，拖动P点观察，可以发现由于W1和W2关于直线l对称，W1与W2开口大小不变，方向相反，对称轴都是直线x=1，从而可设它的函数解析式为y=.由点E和点D关于直线l对称，可求得点E的坐标为（0，-2m2+4m+3），把点E的坐标代入W2，得到W2的函数解析式。后续求点P的问题就转化为常规的等腰直角三角形存在性的思路了。

从第三问来看，给我们的教学启示就是要注意数学学科内部知识的纵向整合。“跨学科整合”这是山西省中考命题落实核心素养在考试评价中落地的“四大手段”之一。

2.（2014山西中考）综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A、C两点的坐标分别为（4，0），（﹣2，3），抛物线W经过O、A、C三点，D是抛物线W的顶点.

（1）求抛物线W的解析式及顶点D的坐标;

（2）将抛物线W和▱OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m（0

（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W′的顶点为F，若点M是x轴上的动点，点N时抛物线W′上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N，使得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标;若不存在，请说明理由.

此题的第（2）问是由抛物线在平移的过程中产生的面积问题，是几何与代数知识间的综合题，体现了数学知识内部的联系。解决这一问题先要研究运动过程中重叠部分的形状，从而确定重叠部分面积的表达式，然后通过对表达式的研究，找到解决问题的突破口。利用几何画板绘制上述函数图象的动画，拖动点M，仔细观察，很容易发现，在平移的过程中重叠部分的图形始终是一个平行四边形，这样接下来就会思考：如何判断这个四边形是平行四边形，学生就会调动自身的知识储备，进行分析、探究。在后续的练习中，学生就会把握好解决这一类问题的方向，解答起来不会感到困难。

3.（2021山西中考模拟百校联考三23题改编）综合与探究：如图1，二次函数与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C。

（1）求出点A、B、C的坐标。

（2）如图2，点D为线段AC上的一个动点，连接BD，以点D为直角顶点，BD为直角边，在x轴上方作等腰直角三角形BDE，若点E在y轴上时，求点D坐标。

（3）若点D在线段AC上，点D由A到C运动的过程中，以点D为直角顶点，BD为直角边作等腰直角三角形BDE，当抛物线的顶点C在等腰直角三角形BDE的边上（包括等腰三角形的顶点）时，请直接写出顶点E的坐标。

解第三小题的关键是分类讨论，一是等腰直角三角形BDE的顶点E有两种情况，需要分类讨论;二是抛物线的顶点C 在等腰直角三角形BDE的边上（包括等腰三角形的顶点）时，需要分类讨论。由于上一问点E是在直角边BD的上方，学生很容易受思维定势的影响，画等腰直角三角形BDE时，点E画在BD的上方。当题中条件“若点D在线段AC上”改为“若点D在射线AC上”时，就会造成丟解。通过几何画板的动态演示，学生很容易看到“点D在线段AC上”和“点D在射线AC上”图形的区别，通过对比强化了学生的直观感知，培养了学生的空间想象能力。

二：几何画板在综合与实践中的应用

1. （2014山西中考）课程学习：正方形折纸中的数学.

动手操作：如图1，四边形ABCD是一张正方形纸片，先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B′.

数学思考：（1）求∠CB′F的度数;

（2）如图2，在图1的基础上，连接AB′，试判断∠B′AE与∠GCB′的大小关系，并说明理由;

解决问题：

（3）如图3，按以下步骤进行操作：

第一步：先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后继续对折，使AB与DC重合，折痕为MN，再把这个正方形展平，设EF和MN相交于点O;

第二步：沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B′，再沿直线AH折叠，使D点落在EF上，对应点为D′;

第三步：设CG、AH分别与MN相交于点P、Q，连接B′P、PD′、D′Q、QB′，试判断四边形B′PD′Q的形状，并证明你的结论.

“折叠”问题主要是考查轴对称，解决此类问题需要分析出在折叠过程中轴对称的性质。此题以课堂的折纸活动为

背景，探究正方形纸片经过四次折叠后，判断所得四边形B′PD′Q的形状。这个问题对学生来说是有一定的难度的。要想解决这个问题，必须探究出前面两个问题在每一次折叠的过程中产生的图形性质，需要从众多繁杂的信息中加工提炼获得解决问题的条件。课堂教学中一方面加强学生的动手操作能力，另一方面利用几何画板绘制正方形的折叠动画，通过几何画板的动态演示，强化学生的直观感知。把这两方面结合起来，就能够突破折叠类问题的难点。

2.（2016山西中考22题）综合与实践

问题情境

在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD.

操作发现

（1）将图1中的△ACD以A为旋转中心， 逆时针方向旋角，使  ， 得到如图2所示的，分别延长BC   和交于点E，则四边形的状是

（2）创新小组将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角，使，得到如图3所示的，连接DB，，得到四边形，发现它是矩形.请你证明这个论;

实践探究

（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC=13cm，AC=10cm，然后提出一个问题：将沿着射线DB方向平移acm，得到，连接，，使四边形恰好为正方形，求a的值.请你解答此问题;

（4）请你参照以上操作，将图1中的在同一平面内进行一次平移，得到，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明.

本题以真实的课堂教学情境为载体，以“菱形纸片的剪拼”为数学活动任务，通过图形的变化，让学生探究图形在旋转或平移过程中的特殊位置，分析在特殊位置下的图形性质，体验研究问题的思想和方法。解决这个问题关键是要让学生经历图形的运动过程，图形的旋转对于学生来说是有一定的困难的。打开几何画板，制作菱形的旋转动画。操作演示菱形的旋转过程，学生容易直观感知图形在运动变化过程中，图形的位置变化、图形中形成的新的关系，加深了对旋转、平移等这些几何知识的理解，从而进一步引导学生放手操作，提高学生的观察能力，动手能力，解决问题的能力。并且让课堂学习充满了动感，大大激发了学生的学习兴趣。

3.（山西省2021年考前适应性检测卷二22题）综合与实践

（1）问题发现：如图1，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，直线BD，CE交于点F，线段BD和CE的数量关系是___________，位置关系是____________.

（2）类比探究：如图2，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=，

∠ACB=∠AED=，直线BD，CE交于点F。若AB=kAC，试判断线段BD和CE的数量关系以及直线BD和CE相交所成的较小角的度数，并说明理由。

（3）拓展延伸

如图3，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3，0），N为y轴上一动点，连接MN.将线段MN绕点M逆时针旋转90°得到线段MP，连接NP，OP.请直接写出线段OP长度的最小值及此时点N的坐标.

本題的第三问是此题的重点也是难点，考查点在运动的过程中产生的线段最值问题。对于多数学生来说是有一定的难度的。解决这个问题的关键是分析动点、定点，明确动点运动的轨迹，找出不变特征。教学中一方面加强学生的动手操作能力，另一方面利用几何画板制作图3的动态图形，拖动N点，追踪点P的 运动轨迹，很容易发现图形在运动的过程中的不变特征，强化了学生的直观感知，进一步提升学生分析问题、解决问题的能力。

三：几何画板在日常教学中的应用

《数学课程标准》（2011年版）指出：“数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考……”。几何画板引入课堂教学，打破了传统教学中学生是被动接受知识的局限，学生学习积极参与其中，“是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程”。

1.﹣a是负数吗？

刚升初一的学生虽然在小学里认识了负数，但这个认识还停留在感性的基础上，对负数的认识并不深刻。上了初中以后，让学生在已有知识的基础上，进一步加深对负数的理解，真正实现思想的第一次飞跃。打开几何画板，在数轴上取一点，命名为﹣a，度量这个点在数轴上的坐标，拖动这个点，学生通过观察点在运动过程中﹣a表示数的变化，加深理解负数的意义。

2.探究三角形的内角和定理

在三角形内角和的教学中，用几何画板画一个任意三角形，度量这个三角形中每一个内角的度数，利用几何画板的计算功能，算出这三个角的和。然后拖动三角形的任意一个顶点——改变它的形状和大小，发现这个三角形的形状大小发生了变化，但这三个内角的和始终是180°，让学生写出自己观察到的结论，最后引导学生完成证明。其实在小学里学生已经知道了三角形的内角和为180°，为什么还要这样不厌其烦的做呢？这样做的目的有两个：一是培养学生的空间想象能力;二是渗透了数学中变与不变的数学思想。

3.探究二次函数图像和性质

绘制二次函数的图象和性质，拖动参数a，学生观察a值变化对二次函数的图象的影响，深刻理解教材中“  ”这句话的含义。绘制二次函数的折叠动画，让学生观察发现：二次函数的图象是一个轴对称图形。在二次函数的图象上任意取一点，度量这个点的横、纵坐标。拖动这个点，观察这个点的纵坐标随横坐标的变化情况，写出二次函数的增减性和最值。

在信息技术高速发展的今天，利用几何画板的强大功能，用于我们的日常教学，不仅可以激发学生的学习兴趣，而且能够突破教学中的重点、难点，由学生被动的学习，变为积极主动的观察、探究性学习，加强了学生对知识的深刻理解。真正让学生把所学的知识转化为自身的能力，由能力促进学生素质的提高。