G- 布朗运动指数泛函的矩估计

胡鑫宇， 闫理坦， 郭梦凡

(1. 东华大学理学院统计系，上海201620)

(2. 中国工商银行上海分行，上海200120)

1 引言

在快速发展的金融市场， 金融衍生品的定价问题一直以来都是人们关注的焦点， 其中亚式期权作为股票期权衍生的一种新式期权， 其特殊性在于它是通过相关证券在合同期间某段时间内的平均价格来决定回报， 这就既减少了合同期内价格浮动对期权定价的影响， 同时也能较为准确地反映资产价格的浮动趋势. 在经典的Black-Scholes 期权定价模型中， 亚式期权的定价问题等价于布朗运动指数泛函的分布问题， 可以表示为以下数学形式， 若～B(t)为标准布朗运动

其中S(t)为定价过程，A(t)为平均定价过程.

近些年来， 众多学者对布朗运动指数泛函的相关问题进行了广泛研究. Marc.Yor[1]，Dufresne.Daniel[2-3] 研究了指数泛函的分布问题并将其应用于风险理论与年金问题中.Tam´as.Szabados[4-6] 利用对称随机游动构造出指数泛函的离散化形式， 进一步研究其矩问题.

然而Black-Scholes 定价公式本身的一些假设与现实存在差距. 比如金融资产价格服从对数正态分布， 且波动率为常数. 但实际上， 波动率可能是不确定的， 不一定是常数.G- 布朗运动的参数在一个区间内变化， 更加符合复杂多变的金融市场. 在不确定问题、风险测度和金融中的超套期保值问题的驱动下， 彭实戈[7-8] 院士提出了次线性空间的概念， 这是概率空间的一个推广.G- 正态分布与G- 布朗运动在次线性期望理论中起着正态分布与布朗运动在线性期望中相同重要的作用.

2 预备知识

定义2.1 令Ω 为给定非空集合， H 为定义在Ω 上的由全体实值函数组成的线性空间，且满足1∈H; 若X ∈H， 则|X|∈H; 若φ ∈Cb，Lip(Rd)，Xi ∈H，i= 1，2，···，d， 则有φ(X1，X2，···，Xd)∈H. 其中Cb，Lip(Rd)表示Rd上的全体有界Lipschitz 函数的集合. 如果定义在H 上的函数ˆE 满足对任意X，Y ∈H， 有

(1) 单调性: 若X ≥Y， 那么ˆE[X]≥ˆE[Y]，

(2) 保常性: 对任意c ∈R， 有ˆE[c]=c，

(3) 次可加性: ˆE[X+Y]≤ˆE[X]+ ˆE[Y]，

(4) 正齐次性: 若λ ≥0， 则ˆE[λX]=λˆE[X]，

则称函数ˆE 为次线性期望. (Ω，H，ˆE)为次线性期望空间， 其中H 被看作是Ω 上的随机变量空间.

定义2.2 在次线性期望空间(Ω，H，ˆE)中， 随机过程{Bt，t ≥0} ∈H 叫做G- 布朗运动， 如果满足以下条件

3 At 的积分矩

进而将公式(3.19)代入公式(3.18)可推出

同理可得

定理3.5 若λ ∈R，n ∈N， 且t ≥0， 则有进而可得

4 Y 的矩估计

参考Tam´as.Szabados[5] 提出的方法， 我们可以借助“扭曲与收缩”对称随机游动来定义标准布朗运动的一种近似序列， 即将单位一的步长压缩至1/2m，m= 1，2，···， 对应完成该步长的时间被压缩至1/22m，m=1，2，···. 接下来我们将简述这一方法.exp(2-mXm(j) +μ2-2m). 当n →∞时，Ym，n →Ym，Ym= 2-2m(1 +ξm1+ξm1ξm2+···+ξm1ξm2···)， 且Ym满足分布自相似性