概率论与数理统计课程教学改革探索与研究

吴新军 郭朕 潘冬

[摘 要]概率论与数理统计课程是本科经济管理专业学生的专业基础课，是后续专业课程的理论基础，本文以桂林理工大学南宁分校经济管理专业的学生为对象，首先分析了我校面向经济管理专业本科学生开设的概率论与数理统计课程存在的问题，随后针对这些问题进行了相应的教学课程改革。

[关键词]概率论与数理统计;经济管理类专业;教学改革

[中图分类号] G642.0 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2021）10-0125-03

概率论与数理统计课程是理工类本科院校学生的公共必修课程，尤其是经济管理类本科生必修的一门专业基础课。课程一般开设在大二的第一學期，是数学类课程中的最后一门课程，是在掌握微积分内容与线性代数内容的基础上研究生活中随机现象统计规律的一门学科。该课程可以帮助学生运用概率论的相关知识在生活中甚至在所学的专业课程中建立数学模型，进而解决问题。因此，教师在教学中应该以学生为中心，在学生掌握概率统计的基本方法和理论以后，培养学生运用数学建模方法解决生活中实际问题的能力。

一、教学中存在的问题

（一）学生数学基础差异

在我国，经济管理专业是文理兼收的专业，这就导致一个教学班中有部分学生是文科生源，数学基础差，部份学生在高中阶段并没有接触到概率论与数理统计的相关知识，导致在学习的过程中对数学类的课程有畏难情绪。概率论与数理统计课程又涉及到微积分和线性代数的基础知识，学生会感觉到课程内容复杂，理解困难。以第一章为例，在讲授古典概型的过程中，理科的学生在高中阶段学习过排列和组合的知识，并学习过古典概型的相关问题，在学习过程中并不觉得困难，甚至有的学生态度非常积极;但文科学生在高中阶段对于这部分知识掌握不好的情况下，在学习条件概率、全概率公式和贝叶斯公式的过程中就会感觉难度很大。在教学过程中，如何解决一个教学班中出现文科理科学生的基础差异就成了任课教师授课前优先考虑的问题。

（二）课时压缩严重

根据新的人才培养方案，以本校为例，概率论与数理统计课程经管类本科专业一个学期开设的课时仅有48课时。概率部分的教学内容从事件关系一直到大数定律和中心极限定理，涉及到了一维与二维的离散型随机变量、连续型随机变量，以及数学期望、方差与协方差等相关内容，知识点繁多并且涉及到了微积分与线性代数部分的相关知识点。教师为尽可能涉及到每部分的内容，只能加快教学速度，就会导致在授课过程中有部分知识点讲解不详细，加上经管类学生的基础参差不齐，学生就会从想学演化成厌学。同时，因为课时限制，在课堂教学中仅仅能对概率论与数理统计课程中定义、定理、性质以及相关的例题进行讲解，无法培养学生数学建模的思想和运用概率论知识解决实际问题的能力。

（三）教学内容与专业脱节

目前，概率论与数理统计课程选用的教材是与一本和二本理工科院校的相同。这类的教材理论性强，内容针对范围广泛，绝大多数的本科专业开设的概率论概率论与数理统计课程都可以使用这类教材进行教学。教师在使用这类教材进行教学的过程中，注重基础概念基本理论。但对于经管类的学生而言，这类的教材内容缺乏经济类的相关知识，在计量经济学、证券投资等经济管理类学生的后续专业课程仍需要运用概率论的知识，但在这类教材中体现很少。学生在学完课程以后，无法将所学的概率知识运用到相应的专业学科中。

（四）教学方法和教学手段单一

现在学校的课堂教学仍然采用传统讲授法教学方式，教师讲解书上定义定理性质和的例题，学生在学习过程中对定义定理产生的客观背景不甚了解，更难以发现定理的思维过程。整个教学过程中缺乏问题背景教学。在传统教学过程中，教师仍采用黑板粉笔加多媒体课件，没有在课堂中运用合理的教学软件来进行辅助教学，整个教学过程枯燥，难以吸引学生的学习兴趣。

二、概率论与数理统计课程教学改革的几点尝试

针对以上的一些问题，笔者在所在院校经管专业对其课堂教学进行了改革，效果良好。

（一）重构教学内容

在经管类专业的教学中，为了兼顾文理生同在的情况，在完成课程教学大纲的前提下，重构课堂教学内容，摆脱重理论轻应用的教学观念，多引入与概率论相关的简单案例，使文科生可以跟上教学进度并能通过案例分析掌握课程的基本知识和基本理论。同样理科生也不会觉得课程太过简单无聊，对课程始终保有新鲜感。因此，在课堂教学开始前，应提前了解授课班级情况，如文理生的比例，高考数学成绩等，制定教学计划和教学内容。例如在讲解事件关系的运算时，可以引入商品畅销与滞销的案例“A表示事件‘甲种商品畅销，乙种商品滞销，则其对立事件为（ ）”，让文科出身的同学来寻找答案，让理科出身的同学来解释原因。并注重应用案例的简易性，使文科生可以通过案例解答，理解掌握事件关系运算的知识点，不要从文字字面理解来解释问题，而是要运用概率论的基本理论自主解决相应的案例。文科生可以通过解决问题而对概率论与数理统计课程产生学习兴趣，增强学习动机;理科生则通过解决问题来思考解决问题运用的原理，对概率论与数理统计课程保持求知兴趣。同时，将概率的理论与方法和计算机软件运用相结合来解决生活中的实际问题。

概率统计本身就是在生活中应用广泛的学科，因此在课堂教学中，教师在讲解基本概念和基本理论的同时，应重视概率统计理论中的实际背景，在讲授理论的同时增加理论的背景运用。如在讲授等可能概型时引入福利彩票中奖问题，以福彩双色球和福彩3D对比，运用软件分析两类彩票中一等奖的概率。不仅让文科学生复习了排列与组合的概念，又让理科学生熟悉了计算方法，并且运用软件计算简化了学生的计算步骤，使学生对概率论与数理统计课程始终保持新鲜感。

把数学建模思想融入大学数学课程，是现如今大学数学课程教学改革的一个重要方向。概率论与数理统计课程就是以解决生活中的实际问题出发，通过数学建模的方法，运用数学原理来分析和解决问题，学会合理的建立数学模型在教学中就变得尤其重要。在全国大学生数学建模竞赛中经常有涉及经管类专业的题目，比如2020年的C题“中小微企业的信贷决策”，2017年的B题“牌照赚钱的任务定价”，以及2002年的B题“彩票中的数学”等。这需要参赛学生有一定的概率统计知识并对相应的经济管理专业知识有一定的了解，将概率统计知识与专业知识融合，运用数学建模的思想，对题目中的数据进行分析并给出相应合理的方案。所以在日常教学过程中，应该注重学生数学建模思想的培养，将数学建模问题引入到课程中让学生参与及讨论，锻炼学生运用概率论知识解决实际问题的能力。

（二）改变教学方法

根据我校实际情况，概率论与数理统计课程实际课时较少，经管类专业的学生数学基础参差不齐，可以在简化基础理论的同时，运用信息化技术开展多元化的课堂教学。通过数学软件来简化概率论中繁琐的计算，运用数学软件的数学运算、分析和图像展现的特点，让概率论中抽象的案例以具象化的形式得以展示。并且因为数学软件的运用，让文科生摆脱烦琐的数学计算，增加学生的学习兴趣。如运用SPSS软件求解随机变量的分布函数，不仅简化了计算过程，也让学生了解到SPSS软件的实用性。将传统教学和实验教学相结合，提高学生学习的主动性。

在课堂中引入实验。设计合适的案例，通过对案例进行实验，让学生切身体验，对概率的基本概念和基本理论有形象的理解。例如在讲解概率的基本定义时，如果按照教材直接讲解定义，只是一段文字性的描述：“在大量重复试验中，若事件A发生的频率稳定地在某一个常数p附近摆动，则称该常数p为事件A的概率。”定义中出现了频率这个名词，仅仅通过文字的描述学生无法理解如何用频率来定义概率。教材中运用蒲丰和皮尔逊等人投掷硬币的实验结果来解释频率与概率之间的关系，但以表格形式的展示学生没有切身体验，理解不够深刻。因此，引入抛硬币模拟软件，在课堂上模拟演示抛硬币过程，由学生设计实验次数，节省了在课堂上亲自动手实验所需要的时间，又增加了学生的互动，通过实验让学生切身体会到频率与概率之间的联系。

在课堂中通过学生身边真实的案例引入新理论。例如以2020年新冠肺炎为例。新冠肺炎是冠状病毒感染引发的肺部疾病，患者以发热、乏力、干咳为主要表现症状，那是否发热就意味着已经感染新型冠状病毒呢？通过问题导入，让同学们用概率的知识来解答这个问题，进而引入全概率公式和贝叶斯公式。这样不仅可以让学生对两个公式的印象深刻，同时也可以运用计算结果向同学们说明：即使发烧也有很大的概率没有感染到新冠病毒。在以后遇到类似的問题的时候，可以不必过分紧张，认真进行复查，积极面对疾病。

（三）课堂教学案例的呈现

第一个系统描述概率的人是16世纪的Cardano，他发表的《论赌博游戏》被认为是第一部概率论著作。里面的文章有很多都是给赌徒的建议，如《谁，在什么时候应该赌博》《为什么亚里士多德谴责赌博》等。然而，首次系统研究概率问题的是从帕斯卡和费马通信开始的。最初，由法国作家Antoine Gombaud提出了一个问题：假设有2个玩家同意参加一定数量的游戏，例如11局6胜制，并且在游戏完成之前被打断。若一个人赢了5场比赛，另一个人赢了4场比赛，这时要如何分配赌注？他委托了Mersenne沙龙来解决它，帕斯卡和费马接受了挑战。在帕斯卡与费马的通信中，解决了这个问题，于是人们公认他们解决的“点数问题”标志着概率论这门学课的诞生，并把他们通讯的那一天——1654年7月29日定为概率论的诞生日。

在帕斯卡和费马的通信中，两个人分别采用了不同的方法来解决这个问题。在1657年，荷兰数学家惠更斯在帕斯卡与费马工作的基础上，引入了数学期望的概念，更合理的解释了这个问题。

我们来分析帕斯卡的做法。他优先考虑了简单的题目，一个5局3胜制的游戏。假设甲乙两个赌徒各有32枚金币拿来做赌注，这时游戏已经进行3局，甲赌徒已经胜了2局，乙赌徒胜了1局。那么，如果继续比下去，而甲赌徒又胜了1局，那么甲赌徒就可以获得全部的64枚金币;但若是乙赌徒获胜，则双方各自赢得2局，打成平手，那么游戏在这时结束，双方只能各自拿回自己的32枚金币。如果双方不打算进行第4局，仅依据3局的结果来分配赌金的话，甲赌徒认为如果进行第4局的话，即使输掉也只是双方平分赌金，至少也能获得32枚金币，那么剩下的32枚金币双方应该都有机会得到。因此帕斯卡认为应该是在甲赌徒自己获得32枚金币的基础上再和乙赌徒平分剩下的32枚金币，即甲赌徒获得48枚金币，乙赌徒获得16枚金币。如果这时游戏仅进行了2局，甲赌徒赢了2局而乙赌徒没赢过，如果继续进行第3局，而甲赌徒赢了将获得全部的64枚金币;如果乙赌徒赢了，又是之前刚刚讨论过的甲赢2局乙赢1局的结果。如果双方不打算继续进行第3局的比赛的话，那么这时帕斯卡认为甲赌徒应该先获得48枚金币以后，再和乙赌徒平分剩下的16枚金币，这时甲赌徒获得56枚金币，乙赌徒获得8枚金币。继续推理的话，如果甲赌徒赢了1局而乙赌徒1局没赢，继续第2局的话，如果甲赌徒赢了，情况与上述问题相同;如果甲赌徒输了，则二人平分赌金。帕斯卡认为，如果从第2局就终止比赛的话，这时应该从56枚金币中减去甲赌徒已经赢得的32枚金币，将剩余的24枚金币二人再次平分，这时甲赌徒应该获得44枚金币，乙赌徒获得20枚金币。所以，根据这种推断，可以得出，如果甲赌徒赢了第1局，将从乙赌徒的赌金中赢得12枚金币;如果再赢1局，将再次从乙赌徒处赢得12枚金币;如果赢得3局，将赢得乙赌徒手中最后的8枚硬币。帕斯卡运用这个方法，来解决最开始的问题：如果甲赌徒赢了5次，乙赌徒赢了4次的话，这时终止比赛，甲赌徒获得的金币数应该就是32+16=48枚金币。这个方法虽然繁琐，但是条理清晰，在学习概率的初期，通过历史故事提出问题，并让学生自行思考解决问题，可以更好的提高学生的学习兴趣。

在后续的课程中，可以继续用这个案例加以解释二项分布公式，向学生呈现概率的发展历史。因为甲乙两名赌徒获胜的机会是相等的，可以用抛硬币来替代比赛。抛掷一枚硬币，连续抛6次，属于贝努利试验。因为甲赌徒已经赢了5次，乙赌徒赢了4次，只需要再掷两次硬币，只要至少有一次出现正面则甲赌徒可以获胜。设随机变量X表示2次中正面出现的次数，那么X服从二项分布B（2;[12]），即[PX=k=Ck212k（12）2-k]，（k=0，1，2）根据甲赌徒已经赢了5次，我们可以判定：甲赌徒在接下来的2次抛硬币的过程中，只要出现1次正面或者是2次都是正面的情况，则甲赌徒赢得整个比赛。由此我们可以计算得[PX=k=k=12Ck212k（12）2-k=34]，即这时如果终止比赛的话，甲乙两名赌徒应该按照3：1的比例来分配整个赌金，即甲赌徒分得48枚金币，乙赌徒分得16枚金币。这种方法计算的结果与上一种算术的办法得到的结果相同，但是这种方法是运用数学公式演绎推导得出的，更能体现数学的逻辑严谨性。运用这种方法解释同样的问题，不仅能让学生领会公式的用途，更能让学生体会到概率论的发展历程。

在讲解数学期望的时候，仍可以继续采用这个案例来进行讲解。我们已知在接下来的赌局中甲乙两名赌徒获胜的概率是相等的，在甲赌徒赢了5局，乙赌徒赢了4局的前提下，如果下一局是甲赌徒赢，则他可以获得全部的64枚金币，而甲赌徒输掉的话则只能获得自己的32枚金币。因为甲赌徒赢和输的概率各为[12]，则甲赌徒希望获得的赌金为：[64×12+32×12=48]枚金币。显然，通过数学期望的定义，我们可以更快的计算出结果。

运用三种不同的方法，我们可以得到相同的结论，而且让学生们跟随数学家的思维去思考问题，让学生了解到概率论的历史，并从历史的角度将案例和知识潜移默化的传授给学生。

三、结束语

我校的概率论数理统计课程的教学改革，本着以社会需求为导向，以学生全面发展為根本任务，以培养学生能力为本位，以经管专业学生的学生特色为切入点，改革教学方法，培养高素质技术应用人才。希望通过此次教学改革，让经济管理专业的学生对概率论与数理统计课程产生兴趣，通过学习本门课程掌握基本的概率知识和建模方法，将其运用到后续所学的专业课程中，为国家和社会培养专业的经济管理类人才。

[ 参 考 文 献 ]

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[责任编辑：林志恒]

[收稿时间]2020-06-15

[基金项目]桂林理工大学校级教学改革项目（项目编号：2017B56）。广西职业教育教学改革研究项目（项目编号：GXGZJG2020B153）。

[作者简介]吴新军（1965-），女，湖北宜昌人，本科，副教授，研究方向：数学。郭联（1985-），男，黑龙江人，博士研究生，研究方向：工商管理。通信作者信息：潘冬（1983-），男，黑龙江人，硕士研究生，讲师，研究方向：应用数学。