平面调和映射的Schwarz导数与对数导数的新定义

谭俊键,张琴,冯小高

(西华师范大学数学与信息学院,四川 南充 637009)

1 引言

解析函数的Schwarz导数和对数导数是研究复分析理论的重要工具,其相关理论在Teichmüller空间及拟共形延拓等方面中有着很重要的应用[1-3].文献[4-5]通过对解析函数的Schwarz导数的研究得到了许多判定单位圆盘上局部单叶解析函数全局单叶的判定方法.随后,文献[6-8]对解析函数的Schwarz导数和对数导数的相关问题进行了更广泛而深入的研究.最近文献[9]给出了新的定义,本文重新定义了平面调和映射的Schwarz导数和对数导数.

首先,介绍一些基本概念[7,10].设f=h+在单位圆Δ内是保向调和映射,其中h和g在单位圆内解析且g(0)=0.ω=g′/h′是单位圆内的一个解析函数且 |ω|<1,称之为f的第二伸缩商.

设φ是单位圆Δ内的局部单叶解析函数.它的对数导数Pf和Schwarz导数Sf定义为

2 对数导数的新定义

3 Schwarz导数的新定义

4 新定义的一些性质