一道高考数学题的3D设计解题方案

◆山东省临沂沂州实验学校 徐勤波

3D技术作为一种新兴技术逐渐兴起，在许多高科技领域得到了广泛应用。3D打印技术在空间几何学的应用研究领域具有得天独厚的优势，对学生空间思维能力的培养发挥着较大作用。

立体几何是考察学生空间思维能力的重要途径，对学生的空间思维能力提出了更高的要求。3D打印技术的出现将难懂的空间想象变为直观的数学模型，大大降低了解决问题的难度。现以2019年高考数学全国卷Ⅲ的填空题第16题为例，运用3D方案作解题说明。

（2019全国Ⅲ.16）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图。该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后得到的几何体，其中O为长方体的中心，E、F、G、H分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm，AA1=4cm，3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原材料的质量为（ ）。

【题目分析】

这是一道典型的立体几何图形题，只要头脑中有清晰的立体图形概念，分三步即可得出答案。第一步：求出四棱锥的体积；第二步：用六面体的体积减去四棱锥的体积；第三步：用体积乘以密度得到质量。在此题中第一步尤为关键，如果先求出底面积，再乘以高，这样的过程在考试中不仅耗时，在思维上也缺乏一定的空间整体性。

【解题过程】

∵E、F、G、H分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm，AA1=4cm，

∴四棱锥O-EFGH的体积

又∵长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V2=6×6×4=144（cm3）

∴该模型的体积V=V2-V1=132（cm3），

∴制作该模型所需原材料的质量为132cm3×0.9g/cm3=118.9g。

上述解答，完全脱离后可以看出，题中3D仅仅是一顶高大上的帽子，解决问题的思路与3D毫无关联，给人以“穿新鞋、走老路”的感觉。

【3D解题设计】

上述高考题的解题思路在于建立空间立体图形概念，如果学生具备3D网络建模经验，很快就能构思出如图1的空间图形。

图1 3D建模图形

本题的关键是求出b的体积，而b的体积是a减去c的体积所得。d为b加上c的还原图形。在熟练掌握3Done建模软件的基础上，我们可以进行如下三步操作。

第一步：按题目要求建立一个六面体。草图绘制一个正方形，通过拉伸平面创建六面体，求得体积为长×宽×高，即6cm×6cm×4cm=144cm3。

第三步，将a和c的体积相减，得出b的体积。通过显示立方体，把立方体和四棱锥放在一起，再通过减法运算，便可得出b的形状，这是本道题的关键图形。

其体积为六面体体积减去四棱锥的体积，即144cm3-12cm3=132cm3。

打印制作该模型所需原料的质量为：体积乘以密度，即132×0.9=118.8（g）。

图2 3D解题建模过程示意图

图3 3D解题建模过程示意图

图4 3D解题建模过程示意图

【题目拓展】

本题是一道数学与实际应用的结合题，通过题目的设计，让数学贴近于生活，我们可以有更多的思考和实践验证3D打印技术在生活中的应用，从而提升学生对数学学科的学习兴趣。

拓展一：使用相等的材料，如果四棱锥的顶点不变，底面还可以是什么样的形状？

拓展二：如果底面保持不变，四棱锥的顶点还可以在什么位置？

针对拓展一的问题：e为右侧面的上视图，可以看出，四棱锥的底面积为右侧面的一半。所以，可以改变四边形的形状，保持其中一组对角线上两个点的连线平行于六面体的棱，如f所示，就可以使底面积始终保持不变。另外，除了底面是四边形之外，还可以是三角形，如g所示，底面积也是右侧面的一半。

针对拓展二的问题，如果底面不变，可以改变四棱锥的顶点位置，只要保持在经过长方体的中心且平行于四棱锥底面的截面上，则四棱锥的调试就没有变化，体积也不会发生变化。

图5 拓展试验分析图

【打印验证】

通过理论研究，我们可以设计不同的建模图形，3D打印机的切片软件可以更直观地检测设计物体所使用材料的长度及质量，从而与题目中的3D打印的质量对应起来。

3D打印技术与各学科知识融合有利于加深学生对学科知识的理解，增加学生主动获取知识的学习兴趣与学习动力。我们可以将3D打印与各学科教学有机融合。比如，将中国古代青铜器的艺术文化与历史、美术、数学、物理等学科知识融合。通过了解青铜文化、纸质绘图、网络建模、打印作品、小组展示等课堂教学环节，创作出学生们喜欢的个性化3D作品。