三维离散支承浮置板轨道动力响应频域模型研究

谭新宇，刘卫丰

（北京交通大学 土木建筑工程学院，北京 100044）

近年来，城市轨道交通高速发展，与此同时，列车运行引发的环境振动问题愈发凸显[1]。为缓解轨道交通环境振动对正常生产生活的不利影响，多种形式的减振轨道被应用到轨道交通线路之中。其中，钢弹簧浮置板轨道由于其良好的减振性能被广泛应用于对振动较为敏感的区域，如古建筑群、放置精密仪器的科研机构等区域[2]。由于应用浮置板轨道的区段通常对时域和频域内的振动控制均有较高要求，故如何更加合理地模拟浮置板轨道，并精确计算其动力响应成为国内外专家学者关注的重点。

翟婉明等[3]将钢轨和浮置板分别模拟为离散点支承的无限长欧拉梁和均布支承的有限长欧拉梁，建立了双梁时域模型，对车辆运行下浮置板轨道的振动响应进行了分析。李增光等[4]在时域内建立了离散支承的双梁模型，得到了定点谐振荷载激振下浮置板轨道的振动响应。黄强等[5]通过建立时域双梁模型，计算了不同长度浮置板对轨道减振效果的影响。在频域内，Hussein等[6-7]基于周期性原理，分别用有限长梁和无限长梁模拟浮置板，研究了移动谐振荷载作用下连续支承浮置板轨道的隔振性能。马龙祥[8]建立了二维离散支承浮置板轨道频域解析模型，分别计算了固定荷载和移动荷载作用下浮置板轨道的振动响应，并对其动力特性进行了较为细致的分析。

随着对浮置板轨道振动响应计算精度要求的提高，部分学者开始用更加符合实际情况的板模型对浮置板进行模拟。Zhai等[9]基于薄板理论，在时域内建立了三维车辆-浮置板轨道耦合模型，并提出了浮置板轨道振动响应的求解思路。随后，Yang等[10]基于此模型计算了强化浮置板板端支承刚度后系统的振动响应。Sheng等[11]基于周期性原理，在频域内建立了三维半浮置板轨道模型，假设轨下支承力和板下支承力相同，计算了移动荷载作用下轨道的振动响应。

由上述文献可知，相较于二维模型和时域模型，对浮置板轨道三维模型和频域模型的研究尚少，且研究表明，实际情况中存在轨道左右轨上荷载幅值、激振频率不同的现象[12]，这是无法通过二维模型进行计算的。而现有的三维模型中，时域模型的计算时间较长，且只能计算有限长度；频域模型由于仅考虑实际轨道的一半，无法考虑左右侧钢轨之间的相互耦合，与实际情况间存有偏差。故需要对更加符合实际情况的、计算高效的三维频域浮置板模型进行研究。本文基于无限周期结构理论，建立了离散支承的三维浮置板轨道频域模型。通过计算一个板长范围内轨道的动力响应，可得到无限长轨道上任一点的动力响应，大大提高计算效率。此外，当左右轨作用不同幅值和频率的移动谐振荷载时，轨道振动响应也可通过此模型进行求解。

1 模型建立

1.1 浮置板轨道力学模型

本研究基于欧拉梁理论及Kirchhoff薄板理论，建立移动谐振荷载作用下无限长周期性三维浮置板轨道模型，如图1所示。每块浮置板连同其上钢轨可视为一个周期，本文称之为“基本元”。本模型中，钢轨被模拟为离散支承在浮置板上的无限长欧拉梁，浮置板被模拟为离散支承在刚性基底上的有限长四边自由薄板，并忽略相邻板间间隙。轨下扣件和板下钢弹簧均采用弹簧阻尼单元进行模拟。坐标系的正方向由右手螺旋法则确定。图1中:Ls，Ws和hs分别为单块浮置板的长、宽、高；kr和cr分别为扣件的支承刚度和阻尼；dr为间距；ks和cs分别为钢弹簧的支承刚度和阻尼；ds为间距；FL和FR分别为作用于左右钢轨上的谐振荷载；AL和AR分别为左右轨上荷载幅值；ωL和ωR为左右轨上荷载激振频率；v为荷载移动速度。

图1 移动谐振荷载作用下的周期性无限长浮置板轨道和轨道基本元Fig.1 Periodic-infinite floating slab track and a track basic cell subjected to the moving harmonic loads

1.2 浮置板轨道控制方程

本文针对三维浮置板轨道的竖向动力响应进行研究。当激振频率为ωF的单位移动谐振荷载作用于钢轨上时，基本元内左侧、右侧钢轨及浮置板的频域运动方程见式（1） ～式（3）。

2 浮置板轨道动力响应求解

2.1 无限周期结构理论

本文将无限周期结构理论与模态叠加法应用到三维浮置板轨道振动响应的求解中。Belotserkovskiy[13]提出，移动谐振荷载作用在无限周期结构中时，结构上相隔一定周期的两点的振动响应仅存在相位差异。马龙祥等基于此理论建立了二维浮置板模型，通过求解结构任一基本元内的振动响应进而得到轨道内任一点的动力响应。当三维浮置板轨道仅在y向具有周期性时，无限周期结构理论仍然满足，结构任一点的位移响应在时域满足

由此可知，移动谐振荷载作用下，三维无限长浮置板结构中，相隔任意周期的两点的振动响应仅在相位上存在差异。由此可实现通过计算某一基本元内的动力响应得到结构上任意位置处的响应。

进一步，通过傅里叶变换可得上述关系的频域表达

由此可得，在激振频率为ωF的移动谐振荷载作用下，三维浮置板轨道左轨、右轨和浮置板振动响应周期性关系的频域表达为

2.2 振动响应求解的模态叠加法

通过上节给出的周期性关系，对轨道任一点振动响应的求解可通过求解该点在基本元内相应映射点的振动响应得到，本文选取y=0～Ls的浮置板轨道为基本元，求解其振动响应。

文献[14]给出了移动谐振荷载作用下，无限周期轨道结构的频域内响应的级数表达形式。以此为基础，结合式（6）和式（7），可将三维浮置板轨道中钢轨位移的形式写为

式中:p为纳入考虑的钢轨模态数量，实际计算中取NMR=2N+1的有限项；ξp=2πp/Ls；Cp（ω，ωF）为钢轨模态系数。 下文中，ej（ξp+ωF/v-ω/v）y将用表示Vp（xr，y，ω，ωF），称之为钢轨模态。

根据文献[15]，对于四边自由的矩形薄板，可采用双向梁函数组合级数逼近的方法求解其振动响应，即薄板位移可表示为

式中:Xm（x）和Yn（y）分别为薄板x向和y向的自由梁第m阶、第n阶的模态振型；Nx，Ny分别为相应方向纳入考虑的模态数量；Tmn（ω，ωF）为薄板模态系数。Xm（x）和Yn（y）的表达式为

式中，αm，βn，Am和Bn均为已知系数，具体取值见曹志远的研究。

至此，可获得方程数量为（NMR+NMR+Nx×Ny）的方程组，经整理，可得其的矩阵形式

式中:S为得到的NMR+NMR+Nx×Ny阶已知方阵；T12（ω，ωF），…，T1Ny（ω，ωF），T21（ω，ωF），…，T2Ny（ω，ωF），…，TNx1（ω，ωF），…，TNxNy（ω，ωF）]T为待求模态系数列向量；F为（NMR+NMR+Nx×Ny）×1阶已知的外荷载列向量，其取值为

对式（15）进行求解，可得到激振频率为ωF的单位谐振荷载作用下任一角频率ω所对应的钢轨和浮置板模态系数。将相应的结果代入式（9）～式（11），可求得基本元内左轨、右轨和浮置板对应频率为ω的位移响应，进而无限长浮置板轨道内拾振点的响应即可由式（6） ～式（8）得到。

由于轨道系统是线性的，当左右轨上谐振荷载的幅值或激振频率不同时，可分别计算移动荷载分别作用在左侧钢轨或右侧钢轨两种情况下的轨道响应，然后对两者进行叠加，即可得到轨道最终的振动响应。随后，基于理论推导结果，通过MATLAB进行编程，对多种荷载组合情况下的轨道动力响应进行计算分析。

3 模型验证

马龙祥在频域内建立了二维浮置板轨道模型，计算了移动谐振荷载作用下轨道结构的动力响应。本文将以此为对照，对模型的准确性进行验证。

令式（11）中Nx=1（仅考虑一阶横向梁模态），则X（x）≡1，即板同一横截面上各点的垂向位移一致，此时模型退化为二维浮置板轨道模型。取浮置板轨道各部分的参数与马龙祥研究中的参数一致。当激振频率为50 Hz的单位移动谐振荷载以60 km/h的速度从坐标原点沿y正向移动时，位于浮置板轨道75 m处的拾振点位移振动响应见图2。

图2 两种模型计算结果对比图Fig.2 The results calculated by two models

可以看到，两模型计算结果吻合良好，本文理论推导和程序编制的正确性得以证明。此外，从图2（a）、图2（b）中可以看出，当荷载尚未移动到拾振点所在板时，拾振点的振动响应较小，当荷载进入拾振点所在板时，拾振点的振动响应显著提升。由图2（c）、图2（d）可知，荷载激振频率附近的频段内的轨道动力响应较大，且出现较为明显的多普勒效应；由于不连续板的周期排列及扣件的离散支撑，出现了较为明显的参数激励。

4 移动谐振荷载作用下轨道动力响应

列车实际运行情况下，轮轨作用力可以表示成一系列简谐荷载的叠加[16]。由于列车左右侧车轮不圆顺和左右侧钢轨不平顺并非完全一致，导致作用在浮置板轨道左右两钢轨上简谐荷载的幅值、相位存在差异，此时轨道的振动响应需要通过三维模型进行研究。本文针对这一问题进行基础性研究，仅考虑单位移动简谐荷载作用，求解轨道的振动响应，为后续列车-浮置板轨道耦合模型的研究做准备。

本节将首先计算单侧钢轨作用荷载时的轨道振动响应，与二维模型计算结果进行对比，分析两种模型的计算差异；随后计算左右侧钢轨作用不同激振频率单位移动谐振荷载时的轨道振动响应。浮置板轨道模型的计算参数见表1[17-18]。拾振点位于y=135 m处（板中）。荷载在t=0时从钢轨y=0处以60 km/h的速度沿y正向移动，计算的分析频率为0～100 Hz，此时取NMR=61，Nx=Ny=20时可保证计算结果的准确性。

表1 浮置板轨道参数表Tab.1 Parameters of the floating slab track

4.1 移动谐振荷载作用于单侧钢轨

由于二维模型无法考虑左右轨之间的耦合振动，故此节将首先计算荷载作用于单轨时轨道的振动响应，与二维模型的计算结果进行对比，定量分析三维模型中左右轨之间的相互影响。

图3给出了激振频率为50 Hz的单位移动谐振荷载作用于左侧钢轨时，左右钢轨及左右钢弹簧位置处浮置板（后文称为浮置板左、右侧）在y=135 m（板中位置）处的位移响应。

从图3（a）、图3（b）两时程图中可以看出，在t=7.2～9.0 s时，轨道系统的振动响应显著，此时荷载恰好在拾振点所属浮置板范围内移动，且当荷载移动到拾振点位置时（t=8.1 s），轨道振动响应达到峰值；而当荷载位于拾振点所在板之外的位置时，拾振点处的振动响应相对较小。此外，荷载在左轨移动时，同时会引起右轨和浮置板右侧较为明显的振动。由图3（c）、图3（d）两频谱图可知，由于右轨的振动是由左轨振动经过浮置板传递所致，故其在频域内的振动表现与浮置板较为相似，与左轨的频域振动特征相差较大。

图3 移动单位谐振荷载作用于左轨时的轨道振动响应图Fig.3 The displacement response of the track when a unit harmonic load moves on the left rail

为进一步分析左右钢轨间的耦合振动，本节同时应用二维模型计算了相同荷载作用下钢轨的振动响应，与上述工况三维模型计算结果进行对比分析。图4（a）给出了三维模型左侧钢轨作用激振频率为50 Hz的单位移动谐振荷载时该轨的位移响应，以及相同荷载作用下二维模型的钢轨位移响应。随后，计算两者间的位移差值，与该工况下三维模型右侧钢轨的位移响应进行比较，见图4（b）。

图4 移动单位谐振荷载作用下二、三维模型钢轨位移对比图Fig.4 Comparison between the rail displacement calculated by the 2D and the 3D model under a moving harmonic load

由图4（a）可以看出，单位移动谐振荷载作用下，二维模型计算得到的钢轨位移响应比三维模型计算得到的左侧（荷载作用侧）钢轨位移响应稍大；图4（b）显示，二维模型钢轨位移与三维模型左轨位移的差值同三维模型右轨位移值基本相等。结合两图可知，使用三维模型计算时，由于左右轨间相互耦合，故作用于左侧钢轨的荷载同时会引起右侧钢轨的振动，导致左轨位移响应的计算结果略小于二维模型钢轨位移的计算结果，两者的位移差基本等于该工况下三维模型右侧钢轨的位移。

4.2 荷载激振频率不同

在列车轮对不圆顺和轨道不平顺的影响下，作用于轨道两钢轨的荷载激振频率成分存在差异，当两侧钢轨作用不同激振频率的移动荷载时，轨道的振动响应会相应发生变化，而目前对此研究较少。本节将设置不同的荷载激振频率，利用本文三维模型，对浮置板轨道两侧钢轨作用不同激振频率单位移动谐振荷载时的轨道振动响应进行初步研究。

图5给出了左、右钢轨分别作用激振频率为30 Hz，50 Hz的单位移动谐振荷载时，钢轨和浮置板的位移响应，拾振点位置与上节相同。

图5 左轨、右轨分别作用激振频率为30 Hz，50 Hz移动单位谐振荷载时的轨道振动响应图Fig.5 The track displacement response when the excitation frequencies of the moving unit harmonic loads of the left rail and right rail are respectively 30 Hz and 50 Hz

由图5可知，相较于单一频率荷载作用，左右轨作用不同频率的单位移动谐振荷载时轨道的振动响应更为复杂，同时能够更明显地看出荷载从远离拾振点的浮置板向拾振点所在浮置板移动的过程，每通过一块浮置板的时间为1.8 s。 由图5（a）、图5（b）两时程图可知，左侧钢轨的振动响应明显大于右侧钢轨。从图5（c）、图5（d）两频谱图看出，左侧钢轨的振动响应峰值在本侧荷载激振频率f=30 Hz附近，而在右侧荷载激振频率f=50 Hz附近，虽也出现较大的振动响应，但相比峰值响应要小两个数量级。右侧钢轨的振动响应则出现两个大小相近的峰值，峰值频率分别对应左、右轨上荷载的激振频率，浮置板也具有相同的振动特征。

为进一步探究两侧钢轨作用不同激振频率的移动荷载时，轨道振动响应的特征及规律，本节计算了激振频率分别为50 Hz，70 Hz以及70 Hz，100 Hz两组单位移动谐振荷载分别作用于左、右侧钢轨时，钢轨的振动响应，见图6及图7。

图6 左轨、右轨分别作用激振频率为50 Hz，70 Hz单位谐振荷载时的钢轨振动响应图Fig.6 The rail displacement response when the excitation frequencies of the moving unit harmonic loads of the left rail and right rail are respectively 50 Hz and 70 Hz

图7 左轨、右轨分别作用激振频率为70 Hz，100 Hz单位谐振荷载时的钢轨振动响应图Fig.7 The rail displacement response when the excitation frequencies of the moving unit harmonic loads of the left rail and right rail are respectively 70 Hz and 100 Hz

综合图5（a）、图6（a）和图7（a）可知，时域内，激振频率不同的单位移动谐振荷载作用于两侧钢轨时，较低激振频率荷载作用侧的钢轨振动较另一侧更大。由图5（b）、图6（b）和图7（b）三频谱图可知，每种工况下，左右侧钢轨均在两荷载激振频率处出现峰值，但左右侧钢轨在低频荷载激振频率处的位移差明显小于在高频荷载激振频率处的位移差。以图7（b）为例，100 Hz处右侧钢轨与左侧钢轨间的位移差约为70 Hz处左侧钢轨与右侧钢轨间位移差的1.5倍。由此可知，在左右钢轨耦合振动的情况下，低频荷载对高频荷载作用侧轨道振动响应的影响比高频荷载对低频荷载作用侧轨道振动响应的影响大。

5 结 论

本文基于欧拉梁理论和Kirchhoff薄板理论建立了无限长三维浮置板轨道模型，并利用周期无限结构的性质，通过计算轨道任一点在基本元内对应位置处的响应来最终获得该点动力响应，大大提高计算效率。在对程序的正确性进行验证之后，本文计算了多种单位移动谐振荷载作用于浮置板轨道两钢轨时的轨道动力响应，得到如下结论:

（1）当移动荷载移动到拾振点所属浮置板范围内时，拾振点的振动响应较为显著，且轨道振动响应的显著频段集中在移动谐振荷载激振频率两侧。

（2）由于浮置板的存在，左右侧钢轨间存在耦合振动，当移动荷载作用于左侧钢轨时，右侧的钢轨相应发生振动，其位移响应在数值上同二维模型钢轨与三维模型左侧钢轨的位移差基本一致，且右轨的频域振动响应特征与浮置板振动响应特征相近。

（3）当双轨作用激振频率不同的移动单位谐振荷载时，作用激振频率较低的荷载侧的轨道振动响应更大；在频域内，轨道的振动响应在两荷载激振频率附近出现峰值，且低频荷载对高频荷载作用侧的轨道振动响应影响比高频荷载对低频荷载作用侧的轨道振动响应的影响大。