格拉姆矩阵判据的推广及应用
2021-10-11路晓东李海涛
路晓东 李海涛 牛 奔
(1) 山东师范大学数学与统计学院,250358,济南; 2) 山东师范大学信息科学与工程学院,250358,济南 )
1 引 言
本文考虑如下时标类型的线性时不变系统
(1)
其中T为时标,x(t)∈Rn为系统状态,u(t)∈Rm为控制输入,y(t)∈Rs为系统输出,矩阵A∈Rn×n,B∈Rn×m,C∈Rs×n,初值为x(0)=x0,且矩阵A为回归矩阵[1,2].
根据时标T的不同类型,系统(1)可以转化为其他形式.例如,当时标T为实数集R时,系统(1)可转化为常见的连续系统
(2)
当时标T为实数集Z时,系统(1)可转化为常见的离散系统
(3)
在《线性系统理论》教材中,关于系统(2)的能控、能观性的格拉姆矩阵判据如下面的引理1与引理2所述.
引理1[3]系统(2)是完全能控的当且仅当存在时刻t>0,使得如下格拉姆矩阵非奇异:
引理2[3]系统(2)是完全能观的当且仅当存在时刻t>0,使得如下格拉姆矩阵非奇异
在《线性系统理论》教材中,关于系统(3)的能控、能观性的格拉姆矩阵判据如下面的引理3与引理4所述.
引理3[3]若A+I非奇异,则系统(3)是完全能控的当且仅当存在时刻t>0,使得如下格拉姆矩阵非奇异
引理4[3]系统(3)是完全能观的当且仅当存在时刻t>0,使得如下格拉姆矩阵非奇异
基于时标理论以及系统(1)的广义性,本文提出统一的格拉姆矩阵判据,即将引理1、引理2、引理3与引理4用统一的数学表达式给出,以便于帮助学生更好地理解记忆以及灵活运用.
2 主要结果
u(t)=-BTeAT(0,σ(t))Wc-1x0.
由(1)式及文献[4]的定理2.77及文献[5]中的引理1.1.3可得
由系统能控性的定义,充分性得证.
由此可推出
x0TeA(0,σ(s))B=0.
(4)
由系统能控性的定义可知,存在合适的控制u(t),使得
因此,可知
由(4)式可知,
这与x0不为零矛盾,说明Wc为非奇异矩阵,必要性证毕。综上所述,定理1得证.
由系统能观测的定义,充分性得证.
然后证明必要性(采用反证法).如果Wo为奇异矩阵,则存在不为零的向量x1,使得x1TWox1=0,即
因此,可知
yTy=0⟹y=0.
这与系统完全能观测的定义矛盾,从而必要性得证.综上所述,定理2得证.
注1当时标T为实数集R时,eA(t,0)=eAt;当时标T为实数集Z时,eA(t,0)=(I+A)t.因此定理1和定理2适用于系统(2)和(3),这也说明定理1和定理2中的格拉姆矩阵是一种统一的形式,根据时标类型的变化,该矩阵也将退化成相应形式.
3 数值算例
算例1考虑时标T=0.1Z下的系统(1),其中参数如下:
已知
及
应用上述两式,经计算可得
基于Matlab工具,可知必存在t,使得Wc和Wo为非奇异矩阵,所以上述系统完全能控、能观测.
4 结 语
格拉姆矩阵判据是判断线性系统能控性、能观性的重要工具,现有的格拉姆矩阵判据仅适用于线性连续或线性离散系统,适用范围有限.因此,提出一种普适性的格拉姆矩阵判据具有重要的理论意义.本文利用时标系统涵盖连续系统、离散系统以及某些非连续非离散系统的特征,结合时标理论,构造了关于时标系统的基于格拉姆矩阵的能控性、能观性判据.所得新判据具有广义性与统一形式,不仅适用于连续型与离散型系统,也适用于非连续与非离散情形,便于学生记忆与理解.