大学物理教材自由度部分的常见问题

王建永 刘翠红 王一凡 文 文

(1.河海大学理学院 江苏常州 213022；2.河海大学物联网工程学院 江苏常州 213022)

自由度及其相关内容是大学物理的重要组成部分之一，在理论力学、热学等物理学分支中有非常重要的应用价值[1][2][3]，但目前不同作者编著的大学物理教材关于自由度的讲解差别很大，有的教材甚至存在不当之处。这给教师讲解和学生学习这部分内容造成了很多困难，甚至会使学生产生一些错误认识。已有文献[4][5][6][7]对此做了一些分析，但这些文献的分析主要集中在自由度的定义上，对和自由度相关的其他问题一般没有涉及，即便是关于自由度的定义的分析，也有一些可商榷之处。因此，很有必要对自由度及其相关内容做一个比较全面的分析。

一、问题及分析

经过查阅和分析不同作者编著的多个不同版本的大学物理教材，我们发现目前的大学物理教材自由度部分主要存在以下三个问题。

（一）不同教材给出的自由度的定义一般不同，而且定义比较多

经过梳理统计，发现目前的教材中常见的自由度的定义有：1.确定物体的空间位置和方位所需要的独立坐标的数目。2.描述物体运动的独立方程的数目。3.物体能量函数中独立的坐标和速度的平方项的数目。4.物体能量函数中广义坐标和广义动量的总数。另有一些不太常见的自由度定义这里就不再列出了。

可以证明，自由度的前两个定义是等价的，后两个定义也是等价的，但前两个定义和后两个定义却不等价。因此，对于同一个研究对象，使用不同的自由度的定义，得到的自由度可能不同。例如，非刚性双原子分子，如果使用自由度的前两个定义，其自由度为6，如果使用自由度的后两个定义，其自由度为7。对于其他更复杂的分子，显然也存在这样的问题。学生在学习中如果接触到了不同的教材或参考书，就可能对此非常困惑，这无形中增加了他们学习的难度。当然，不同的定义各有优缺点，前两个定义尤其是第一个定义的优点是简单直观，物体的自由度也比较容易判断，缺点是在计算非刚性分子系统的内能时需要另作处理，后两个定义尤其是第三个定义的优点是易于根据能量均分定理计算系统的内能，但因为分子能量函数通常不易写出，所以判断分子的自由度通常比较困难。

经过研究，我们建议在教学中使用第一个定义，主要理由有：1.第一个定义具有物理图象鲜明直观、易于掌握和判断等优点，而中学物理里通常没有自由度的有关内容，学生在大学物理中是第一次接触自由度，应该以简单易学为教学标准。2.前两个定义研究力学问题方便，后两个定义研究热学问题方便，而在目前的大学物理内容体系中，力学都是排在热学前面的。3.第一个定义的唯一的不足是在计算非刚性分子系统的内能时需要另作处理，而这其实是很容易做到的，只需要补充机械振动理论中的“简谐振动的动能的平均值和势能的平均值相等”的结论即可。

（二）部分教材给出的确定转动自由度的方法有问题

部分教材给出的确定转动自由度的方法如下：如图1所示，首先确定转轴的空间指向，这需要知道转轴的三个方向角α、β和γ，但由公式cos2α+cos2β+cos2γ=1可知，只要知道了两个方向角，第三个方向角可通过该公式计算得出，因此三个方向角其实只需要知道两个，确定转轴的空间指向只需要两个方向角。如果研究对象是非直线形的，则为了完全确定研究对象的空间位置和方位，还需要考虑研究对象绕着转轴的转动，这就又需要一个坐标。因此非直线形研究对象的转动自由度为3，而直线形研究对象的转动自由度为2。

为了解决这些教材给出的确定转动自由度方法的问题，我们建议采用以下方法：如图2所示，建立球坐标系，并设图中的向量OP和研究对象的转轴共线且同向。球坐标系有三个坐标，即ρ、θ和φ，其中ρ用来确定P到O的距离，θ和φ用来确定向量OP的方向。由于我们已假定向量OP和研究对象的转轴共线且同向，因此为了确定研究对象的转轴的空间指向，只需要θ和φ两个坐标，这就避免了上述部分教材给出的确定研究对象转动自由度方法的问题。

（三）大多数教材在给出刚性多原子分子的自由度时没有区分直线型分子和非直线型分子两种情况

大多数教材给出的刚性多原子分子的自由度都是6，显然这里的分子是非直线型的，因为非直线型分子的平动自由度为3，转动自由度也为3，总自由度自然为6。但多原子分子还有直线型的，例如二氧化碳分子。对于直线型多原子分子，其平动自由度仍为3，但转动自由度为2，因为可以假定分子的转轴和分子本身共线，则分子绕转轴的转动就不需要考虑了，只要确定转轴的空间指向就可以了，而确定转轴的空间指向，如上分析，只需要θ和φ这两个球坐标。因此，直线型多原子分子的总自由度为5。所以，大多数教材在给出刚性多原子分子的自由度时不区分直线型分子和非直线型分子是有问题的，我们建议这些教材的作者在修订教材时解决这一问题。

二、结束语

目前的大学物理教材自由度部分存在定义不统一、讲解有不足等问题，这给教师讲解和学生学习这部分内容增加了不少困难，甚至使学生产生了错误认识，并且影响了后续课程的学习。我们建议大学物理教材的编写者在修订教材时解决这些问题，在教材修订之前，广大的大学物理教师在教学中应该不拘泥于教材，发挥主观能动性，向学生传授正确的知识和方法。