明代珠算著作中的算盘图示研究——以《盘珠算法》为例

周霄汉

(中国科学院自然科学史研究所，北京 100190)

1 前言

现存最早的中国古代算盘的图像，存在于北宋张择端绘制的《清明上河图》中。在画卷左侧“赵太丞家”药铺柜台上摆放着一件算盘(1)科技史家严敦杰先生于上世纪六十年代初发现，珠算史家余介石曾到故宫博物院调查，推断为算盘。八十年代经摄影放大，算盘图像比较清晰，得到多数人的承认。见参考文献[1]，第33页。。元初画家王振鹏绘制于元至大三年(1310)的《乾坤一担图》中，挑货郎的货筐中插着一件矩形物品，从其露出的部分来看，与现代算盘的形制已经基本接近，可以认定是算盘(2)据华印椿先生所述，该算盘由美术家钱定一(1915—2010)在民国时期有正书局出版的《中国名画集》中发现(见参考文献[1]，第55页)。该图像被多部珠算史著作和论文所引用(见参考文献[1]，第35—36页；[2—4])。然而，有正书局所影印《中国名画集》第三十六集中仅注明该画为“Ping Teng Ko(平等阁)”所收藏。平等阁归属有正书局创办人、晚清民国时期的收藏家狄平子(1872—1941)先生。该画集未注明该绘画来源，对其流传尚缺考证(见参考文献[5])。。现存的多部明代《魁本对相四言杂字》或《新编对相四言》[6]这类儿童看图识字类的蒙书中，绘制有算盘和筹算算子([1]，页61—64)。书中算盘图示清晰可见，共十个档位，横梁之上为二枚算珠，横梁下为五枚算珠。这两种算具与水果、衣物、生活用品等混杂排列于书中。这些存在于绘画作品和儿童蒙书中的算盘表明，在元明时期算盘似乎已经进入人们的日常生活，成为较为普遍的物件。相比而言，从现有文献来看，数学著作中算盘图像出现得较晚。在明末流传广泛的综合性数学著作《算法统宗》(1592)[7]及其删减精要本《算法纂要》(1598)[8]中均刊刻有算盘图示。这一时期众多包含日常生活各个方面知识和技艺的“日用类书”中，如《新锲全补天下四民利用便观五车拔锦》[9]《新板增补天下便用文林妙锦万宝全书》[10]等，也将算盘作为其“算法门”中必备的图像展示。

然而，这些著作中仅仅含有一个算盘的图示，被称作“初学盘式”或“算盘定式”，展示了算盘在不表示任何数字的空档时，或由左至右各档表示出数字一、二、三……九的状态。尽管有些算书所隐含的珠算的操作能够通过其文字的描述推断出来[11]，但是这些著作并不包含更多的算盘图示来帮助读者操作算盘。亦有如明代吴敬《九章比类算法大全》(1450)的算书，研究者尚不能通过其中文字描述完全确定当时使用的算具是算筹抑或是算盘([12]；[13]，页570；[14]，pp348—381)。

但是十六世纪末十七世纪初的著作，如徐心鲁的《盘珠算法》(1573)([15]，页1—22；[16])，柯尚迁的《数学通轨》(1578)([15]，页22—57；[17，18])和黄龙吟的《算法指南》(1604)([19]，第二册，页1423—1453)，是最早一批包含了较多算盘图示的书。而且，算盘图示在这些书中扮演了重要的角色，与其周围的口诀文字一起，借助一种特殊的文本布局形式，共同指导读者进行珠算的学习。

此外，另外一部算书《九龙易诀算法》值得我们注意。这部著作的成书年代及作者尚不清楚，只题写“联捷堂允行”。该书在中国本土未见传本，现有日本内阁文库藏本(3)日本学者儿玉明人1970年曾影印出版(见参考文献[15]，第72—81页)，亦收录在靖玉树所编《中国历代算学集成》中(见参考文献[20]，中册，第2097—2106页)。。当代学者一般认为该书内容浅显，与《盘珠算法》内容较近，有互相抄袭的痕迹，因此对此书关注不多([20]，中册，页2096；[21])。但本文作者发现《九龙易诀算法》对我们理解最早的珠算著作《盘珠算法》中的一些模糊与舛误之处，具有很大的帮助作用(4)例如，《盘珠算法》第6页(下栏)页末的问题与第7页(下栏)页初的“答曰”内容和算盘图示无法衔接(参见参考文献[15]，第3—4页)。经与《九龙易诀算法》对比可知，《盘珠算法》第6页(下栏)页末的“答曰”内容与第7页(下栏)页初的问题均遗失，通过《九龙易诀算法》可以恢复此两题的原貌。《盘珠算法》中的刊刻错误和计算失误很多，但从当时操作者的角度而言，有些属于应予纠正的“随机性失误”，而有些则源于他们对计算精度和操作方式的系统性认识，原文不宜轻易校改。区分这两种错误的依据，可通过对比分析《盘珠算法》和《九龙易诀算法》得到，详见下文。。

二十世纪以来，无论是专注珠算历史的学者，还是一般的数学史家，均对古代珠算展开过研究，取得丰富的成果([1—3]；[22]；[23]，页315—374；[24])。近年来，国际科学史界各国学者逐渐变换角度，开始关注作为算具的算筹和算盘在文本中的视觉再现，或以此还原古代某些精细的数学操作和独特的“图”的使用方式[25，26]，或探讨这些图示对数学知识认知和学习的影响[27]。

针对《盘珠算法》《详明算法》《算法指南》等珠算书，陈怡夫的博士论文通过对珠算图示和周围口诀文本的细致分析，揭示了这一时期珠算过程中不同的拨动算珠的方式，也指出这些算盘图示与当时实际使用的算盘或许存在差异[28]。Alexei Volkov教授的文章分别分析《算学宝鉴》中的筹算图示和《盘珠算法》中的算盘图示，展示了这些算具图示在数学教育和学习过程中的作用[27]。

但是仍有两个问题，前人的研究尚未完全解决或未阐释清晰，本文将予以分析讨论：一是在上述各珠算著作的算盘图示中黑珠和白珠的意义，及其在展示珠算操作中的作用；二是珠算图示是如何与其周围的文字相互联系，共同展示一个算法的操作。明白这两个问题，将使得我们对了解古代读者使用和学习这些普及性珠算著作的过程，有更加深入的认识。

2 算盘图示中黑珠和白珠的意义与作用

黑白两色的算珠出现在多部珠算著作中，下面的研究将展示，不同著作对算珠颜色的使用并不遵循同样的规则，但是它们确有一些共同性。让我们先以《盘珠算法》为例，研究其中黑白算珠的表示方法。针对这些算珠，靖玉树先生曾提到“在这些图中，都用黑白珠分别代表‘动珠’和‘静珠’。以说明运算过程”([20]，中册，页2096)。但是靖先生未详细解释何为“动珠”和“静珠”。陈怡夫先生则有这样的描述：大多数的加的结果通过激活的(activées)白算珠来表示，剩下的则为未激活的(désactivées)黑算珠。而相反，减的结果则通过激活的黑算珠来表示，剩下的则为未激活的白算珠。至于在加、减两种运算中黑、白两色的选择，陈怡夫推测或许与中国哲学中的阴阳概念有关([28]，pp30—31)。

Alexei Volkov教授却认为“算珠的颜色与他们的激活(active)和未激活(passive)的状态没有联系”。其解释激活状态为算珠参与到在算具上表示一个数字并被移动到(靠向)算盘中部的横梁，未激活的状态是指算珠不表示任何数字并被移动到(靠向)算盘的边框，并以“第一上法”和“第一退法”中的算盘图示支持这样的阐释(图1)。Volkov指出颜色实际上有一个特殊的作用：白色是用来指示那些在算具上进行最后一次操作时移动的算珠，然而黑色是用来表示那些没有被碰触的算珠([27]，p295)。郭世荣教授和张升执笔的《中国科学技术史·数学卷》中“珠算的普及与筹算的消失”小节提及“所绘算盘图式……用白子或黑子来区分已用子或未用子”([13]，页572)，但未详细阐述。

图1 《盘珠算法》中“第一上法”和“第一退法”的算盘图示([15]，页1)

为了探究这个问题，我们先对这些算盘图示所出现的文本语境作一介绍。《盘珠算法》一书采用了一种较为独特的版面结构，除首页包含人物和算盘的场景插图之外，所有版面均以黑色横栏分为两部分。上栏占三分之一页面，下栏占三分之二页面。这种版面设计与明代众多日用类书和通俗读物的排版类似，文学史家和印刷史家已有关注和研究[29]，指出此排版与明代开始流行的针对大众读物的跳跃式浏览的阅读方式有关。绝大多数情况下，上下栏内的内容没有直接的关系。阅读的顺序基本上是第一页的上栏连接第二页的上栏，再连接第三页的上栏；第一页的下栏连接第二页的下栏，再连接第三页的下栏，等等。

我们所关注的五十四幅珠算算图绝大多数都位于上栏，而位于下栏的算盘图示与上栏算盘图示在功能上也有明显的区分，本文下节将会涉及。该书正文开始的第一页的上栏便放置了“第一上法”的算盘图示和相应的口诀。从“一，上一”“二，上二”至“九，上九”，这九句口诀均来自第一、二页下栏的“隶首上诀”。分别表示在每一个档位上进行“加一、加二……加九”的拨珠操作。比如，“一，上一”，意味着“(如果)要将某一数位上的数加一，则要在该档位向上拨动一颗算珠”。当然，针对档位上原有算珠数量情况的不同，有不同种拨动算珠的方式以实现加一的目的，比如“一，下五除四”和“一，退九进一十”。对此“隶首上诀”的小字注文分别有清楚的解释。

如本行下五子俱已在位，今又要上一，则下无一可上。故于上面下一是五，复于下面去四，故上得一。

如本位子满在位，又要加一，却无一可加。故几退去九子，却于上位还一子当下位十子，却正一也。([15]，页1)

“第一上法”中各个档位上的数字均为零，只用到“隶首上诀”中最简单的操作口诀，需要加几即在该档位上拨上几颗算珠。而被拨上的算珠在“第一上法”的算盘图示中均为白色。

在第二页的上栏位置，出现的是“第一退法”的图示及口诀。这些口诀均来自随后几页内下栏的“退法要诀”。分别表示在原有档位的数字内减去(“退”)某数时，需要对该档位算珠的操作。需要说明的是，在进行“第一退法”之前，盘上各档位上是有算珠的，从左至右算珠表示的数分别是“十、十、十、十、十、十、十、十、一”，“十”以一颗上珠和五颗下珠表示。整个盘上算珠表示的数字为“1，111，111，101”。这一数字是进行九次“上法”(即连续加九次123，456，789)后得到的。在这个数的基础上进行的“第一退法”，所得的结果与算盘图示基本吻合(5)左起第八档位梁下应有四颗白珠，算盘图示中遗漏一颗。，而在这个操作过程中，被拨下去的算珠以白色表示。因此，仅就这两个算盘图示和图示下的文字来看，基本符合Volkov教授的描述，除“第一退法”中左起第九档外，可以认为白珠是形成这种布局的最后操作中被移动的算珠。

但这样的观点对其余的“上法”和“退法”的算盘图示则无法解释。我们可以明确，在该书中“上法”和“退法”的算盘图示虽然逐个交替排布，但是它们操作上的关联并非如此。华印椿先生曾指出“珠算加减基本功的传统练习法有两种，一种是‘九盘清’或‘七盘清’……九盘清首先见于徐心鲁订正的《盘珠算法》的上法、退法盘式图。这种方法是在空盘上连加123，456，789九遍……柯尚迁《数学通轨》中用‘九九进退图’演算九盘清。程大位《算法统宗》中称此法为‘九九八十一’。沈士桂《简捷易明算法》中称此法为‘九遍堆垛法’([1]，页139—140)”。由此，在《盘珠算法》中紧接着“第一上法”进行的操作是跳过“第一退法”后的“第二上法”(6)这种阅读方式或许跟该书的装订方式和使用方式有关。现在《盘珠算法》的影印本均将该书从版心处展开，两页内容还原为一个版面。但如果以原线装的方式去看此书，所有“上法”的算盘图示及操作口诀均处在今天被称作书籍偶数页的页面上，所有“退法”的算盘图示及操作口诀均处在书籍奇数页。而且“上法”“退法”的算盘图示均单独位于上栏，在翻阅时视觉焦点只需停留在书本的固定位置。有理由推测当时的读者使用此书作为自己练习珠算加减拨珠的训练手册，而在练习时，一手拨打算盘，书籍并非平摊在桌面，而是仅封面或封底贴靠桌面，另一手以拇指掀翻书页。如此视线不必在书页上游移寻找，即可参照口诀进行拨珠，或者依靠算盘图示核验拨珠结果是否正确。(图2)，接着是“第三上法”，直至进行了九次加“123，456，789”的“上法”之后(7)“第九上法”中算盘图示左起第九档位上算珠表示有误，该位上的数字应为一。，再在此基础上，回到书籍第三页上的上栏进行“第一退法”，减去同样的数据，直至九次退法后盘上所有算珠归零。通过整个过程以达到训练加减法拨珠口诀和操作的目的。

图2 《盘珠算法》中“第二上法”的算盘图示([15]，页1)

在理解这九次上法和九次退法之后，再让我们考察其中黑白算珠表示的意义。在“第二上法图”中可以清楚地看到，根据算盘下的描述，被圈出的几个算珠都是在最后的操作中被移动的。从左至右它们分别对应“三，下五除二”中的“除二”“七，上二去五进一十”中的“去五”“八，退二进一十”中的“退二”珠中的一颗，以及“九，退一进一十”中的“退一”。这些所有移动的算珠仍然以黑色表示。

实际上，通过对各算盘图示的考察，我们可以总结，在《盘珠算法》的诸种“上法”的算盘图示中，首先在“第一上法”里被拨动的算珠以白色表示，此后的“上法”中(除了“第九上法”之外)，那些已经被拨向算盘中部横梁的算珠总保持白色不变，后续拨向横梁的算珠也是白色，而一直靠近顶部或底部边框或者后续拨向它们的算珠被着以黑色。简单来说，除“第九上法”之外，只有白色的算珠是被用来表示数的算珠。相反，在诸种“下法”的算盘图示中，首先在“第一退法”里被拨动的算珠仍然以白珠表示，此后的“退法”中，那些已经被拨向算盘顶部或底部边框的算珠总保持白色不变，后续拨向它们的算珠也是白色，而一直靠近横梁的算珠以及后续拨向横梁的算珠，均着以黑色。即只有黑珠是被用来表示数的算珠。而“第九上法”算盘图示中所有的表示数的算珠均改为黑色，可以理解为是为衔接“第九上法”和下一步“第一退法”而作的准备。由此看来，以往学者对黑白算珠做“动珠”“静珠”的阐释并不准确，黑珠和白珠实际是与算盘上是否被用来表示数字直接相关，虽然在《盘珠算法》的“上法”和“退法”中用来表示数的这两种颜色是恰恰相反的。

接下来的问题是，表示数的算珠和不表示数的算珠，通过与算盘横梁的远近以及算珠之间的距离即可区别，为何还需要以黑白两色加以区分？我们暂时无法完全解答这个问题，但另外一部珠算著作《数学通轨》中的算盘图示或许可以给出考虑此问题的依据。《数学通轨》使用白珠和黑珠的规则与《盘珠算法》有所不同，该书所有的“上法”和“退法”的算盘图示里，均以白珠作为用来表示数的算珠。但《数学通规》中的一些细节证据可以支持这样的一种论断：珠算图示中黑珠和白珠的区分，似乎只是在印本中突出表示数的算珠和不表示数的算珠之间的对比。

如图3《算法指南》中算盘图示的阴影部分标注，或是横梁下方的第一颗算珠距离中间的横梁非常接近，或是横梁上面的算珠位置不够准确，使读者难于分辨哪个算珠在表示数，而哪个珠并不表示数。在这种算珠位置分辨不清的情况下，算珠的颜色恰能提供一个辨别数据的依据。此外，在每一档位的黑珠和白珠之间，总被设计出现一道黑色竖线。这是因为在《算法指南》的算盘图示中，横梁下部算珠之间的距离并非准确反映算盘上的真实情况。表面看来似乎下部算珠之间的距离是一样的，然而，黑珠和白珠之间的竖线具有象征意义，它实则代表了这两个异色算珠之间显露出的贯串算珠的竖杆，表示该处异色的两颗算珠之间的距离比其他珠之间的距离更大。以上的分析让我们进一步认为，在这一时期珠算著作的算盘图示中，黑白两色更重要的作用是用来对比区分表示数和不表示数的算珠。黑白算珠之间或出现的竖线，更表明这些算盘图示具有很强的象征性，并非是对一个真实使用的算具的描摹(8)李俨先生曾提到一个更重要的区别，《盘珠算法》一书中虽然描绘的算盘图示是梁上一珠，梁下五珠，“实际计算时，是用梁上二珠，梁下五珠的算盘”(参见参考文献[23]，第307页)，但未作出解释。华印椿先生引用日本珠算学者户谷清一的发现，通过对书中“金蝉脱壳诀法”的例解说明，推定算盘是梁上二珠，不是一珠(参见参考文献[1]，第74—75页)。陈怡夫先生通过对归法口诀的研究也能进一步确认这一点(参见参考文献[28]，第39页)。陈认为在《盘珠算法》中，作者只画出需要展示操作结果的算珠和档位，仅仅依靠著作中的算盘图示来推断当时所使用的算盘的结构是不严谨的(参见参考文献[28]，第41—42页)。。

图3 《算法指南》中的算盘图示([19]，第二册，页1429)

此外，我们进一步考察，在这些算盘图示中，如果暂不考虑《盘珠算法》在“退法”诸图示中以黑珠表示数字的情况，综合各珠算书中的大多数情况，我们是否可以认为白珠表示的是算盘计算的结果？在《盘珠算法》中，可以借助一些解答过程辅以算盘图示的具体问题来考虑，比如：

如有银二千六百五十三两二钱，五百一十五人分之。问每人该银若干？

答曰：五两一钱五分一厘八毫二丝三忽。([15]，页3)

如暂不考虑题目数据的单位和结果的“定位”问题，这道题可以被简化为2653.2与515之间的除法。在《九龙易诀算法》中一道算题与此题描述文字基本相同，问题数据和答案均完全一致。下文会回到这道题的整个计算过程，此处只关注算盘图示中最右端的两位用白色算珠表示的数，分别是“二”和“三”，对应“答曰”中商数的最后两位“二丝三忽”。无论是《盘珠算法》还是《九龙易诀算法》，算盘上所有算珠整体表示的数与题目陈述的答案如用现代小数表示，均为5.151823。然而以现在的数学方式计算515除以2653.2，得到的正确答案是5.15184466……比较可知，上述结果最后两位白色算珠表示的数实际上并不属于我们所认为的“正确答案”。可是如果按照算盘图示下的操作口诀还原其完整的操作过程(详见下节)，便会发现这两位数字是在得到“5.1518”这部分的商数之后，被除数(“实”)所剩的余数。因为在算盘的这两个档位上没有继续进行“归除”的操作，他们便与其他商数一起保留在算盘上。这两部算书均将这两颗白珠表示的数当做了商的最后两位，故其声称的答案也是5.151823。这个例子表明，大多数情况下算盘图示中的白色算珠仅仅表示根据口诀进行操作之后留在算盘横梁一侧的算珠的最后布局，但是古代的珠算操作者会将这个数据当做问题的答案(9)郭世荣、张升曾注意到这个问题，举了上述算例，并提到书中其他算题也做了同样的处理(参见参考文献[13]，第572页)。本文作者认为因《盘珠算法》中算盘图示和文字都有较多舛误，需配合《九龙易诀算法》或其他算书中算题、解法和图示，进一步认为古代操作者具有此种操作和记录结果的方式。。《盘珠算法》中的另一道涉及除法的算题如下：

如有前银二百六十五两三钱二分买米，每石价银二钱九分。问该银若干？

答曰：九百一十四石八斗六合九勺。([15]，页3)

其算盘图示中白珠表示的数据对应914.8954。同样的题目，在《九龙易诀算法》中“答曰”的结果为“九百一十四石八斗九升一合九勺”，算盘图示中白珠表示的数据对应964.8914。暂不考虑单位的情况下，该题可以简化为计算以0.29除265.32的商值，其真实的结果应为914.896552……然而两部算书中该题声称的答案均与算盘图示中的白珠表示的数有出入，也均非正确的答案。但是知道了白珠的意义以及算书作者理解“商数”的方式，我们可以了解这些矛盾数据背后的原因，知道这些算盘图示错误的类型：哪些地方仅仅是刊刻的随机性失误(如《盘珠算法》“答曰”中的“六合九勺”应为“一合九勺”，算盘图示最右侧档位算珠“五”应为“九”；《九龙易诀》算盘图示左起第二档位算珠“六”应为“一”，最右侧档位算珠“五”应为“九”)，哪些地方是系统性误差(如两书算盘图示的最右侧两档位算珠应为“一”“九”，不宜按今之计算结果校改)(10)Volkov教授在其文章中列举《盘珠算法》各题的数据，包括“答曰”后的结果、现在计算的正确答案，以及算盘上表示的数据。Volkov首先指出这些数据之间的差异，但并未分析这种差异产生的可能原因。。

3 算盘图示与操作口诀之联系

在考查算珠颜色的含义和作用之后，让我们分析算盘图示整体与其周围的操作口诀之间的关系，以及它们是如何在一起通过特殊的文本排布形式来展示完整的珠算操作的。与“上法”“退法”“因法”“归法”置于页面上栏的算盘图示不同，包含算盘图示的具体算题被置于下栏，占据更大的页面空间(图4)。仍以上述可简化为“以515除2653.2”的题目为例，一道完整的包含解答和算盘图示的除法算题包含如下几个部分：题目问题、答案、算盘图示(上方标注被除数“实”、右下方标注除数“法”)、提示拨珠操作起始端的语句“此边打起”、提示所用计算方法的标题“归除式”和提示计算得以逆向验证的语句“乘法还原”，以及每个档位上算珠操作所依据的“口诀”及具体移动算珠的文字描述。

图4 《盘珠算法》中包含算盘图示的算题([15]，页3)

这些元素以一种特殊的文本形式排布，共同向其读者展示一道除法运算的操作过程。其中内容最多、对理解珠算操作最重要的是最后一部分“珠算口诀及移动算珠的文字描述”，而有关这部分文字阅读的顺序和方式是解读珠算操作的关键。虽然中国古代书籍的阅读方式是以从上至下、从右至左，题问部分和“答曰”部分仍然遵循这样的阅读方向，但是这些口诀的阅读方式则较为复杂，与正常阅读方式迥异。具体来说，这段文字可以分为十个片段：a.五二倍作四，逢五进一十。b.五除五，五五二十五，二除十还八，五除十还五。c.逢五进一十。d.一除一，一五除五，五除十还五。e.五二倍作四，逢五进一十。f.五除五，五五除二十五，二除十还八，五除十还五。g.逢五进一十。h.一除一，一上四去五，一五除五，五除一还五。i.五四倍作八。j.八除八，八除十还二，五八除四十，四下一去五。

在每一个片段内，文字仍是大小字连续，并先阅读右侧一列再读左侧。而针对这些片段，需要遵循算盘图示左侧“此边打起”的指示，从左上侧的片段a开始读起。每一个片段的口诀均指示着在这一档位及其相邻的档位上算珠的操作。例如，“五二倍作四”，这句来自“九归口诀”中的语句，意思是以“五”除这个档位原有的数字“二”时，将该档位上的数字“二”变为“四”。同样来自“九归口诀”中的“逢五进一十”，表示某一档位上的数字等于或大于五时，那么用“五”来除该档位上的数时，需要先进行“逢五”便向其前一档位进“一”的操作。片段b中的文字表示在得到该位的商“五”之后，用该位上的商分别乘以除数(“法”)余下的两位：“一”和“五”。再在原来表示被除数(“实”)的白珠内“减去”(11)口诀中使用的术语为“除”，为“除去”之意，表示“减”。乘得的结果。商数“五”和除数“五一五”中的“一”乘得的结果为五，即片段b中“五除五”之意，需在相应的档位减去“五”。另外，“五”和“五一五”最后一位的“五”相乘结果为“二十五”，需在相应的档位上分别减去“二”和“五”(12)具体而言，在商“五”的档位之后的第二位减去五，在此“减五”的档位上再减去二，在商后的第三位上减去五。。而最后的“除十还八”和“除十还五”则是针对档位上原有不同的算珠数而进行的减“二”和减“五”的操作。

这些口诀的用法和“归除”法的原理在珠算史研究中已经比较清楚([1]，页241—248)，并非本文的重点。这里要强调的是这些口诀所在位置的重要意义。在《中国科学技术史·数学卷》中，作者给出这段口诀的文字转录([13]，页571)，虽然口诀的执行顺序完全正确，并在原文的文本形式之外区分了某些大小字以显示不同层次的操作，但是这种单纯对算珠操作的文字描述缺少了文本位置信息和布局结构，省略了操作口诀和档位的对应关系，这就难以还原当时的读者通过这种文本来学习珠算操作的实际情景。

如图4所示，原始的文本状态是片段a被置于算盘图示左起的第一个档位之下，而a中两句口诀操作的结果均落在这个档位上。这也是它们被有意刊刻为双行小字的原因，是为了能在狭小的版面布局中置于同一档位下方。在《九龙易诀算法》中因为整个页面并不分为两栏，有足够的纵向空间，片段a中的口诀则为一列，亦放置于进行该操作的档位下方。该档位横梁上方的一颗白色算珠即表示拨珠“四”和“一”之后的结果。其他口诀片段的位置也是如此。经过对从左至右每个档位的算珠执行其下口诀片段所指示的操作，由口诀片段a到b，由b到c，一直到j，最终可得到盘上白色算珠的布局，即是被当时操作者认为的计算结果。

此外，在这些珠算操作口诀的内部，根据算法性质或运算层次的不同，还被分为两个部分。片段b、d、f、h、j被特意放置在一个黑色的方框内，这个方框在《盘珠算法》中或模糊不清，但在《九龙易诀算法》中均清晰可见。就除法而言，方框中口诀指示的操作是用已得的某位上的商数与除数(“法”)余下的位数分别相乘，并在被除数(“实”)中减去乘积的操作。而在黑色方框中每个第一句开头出现的数字也就是构成商的各档位上的数字，并且从现代角度看，是商的精确值部分(13)有算盘图示的乘法算题情况稍复杂，在《盘珠算法》中有黑框包围口诀的算题，其对应的《九龙易诀算法》中算题的口诀外没有黑框，而《盘珠算法》中没有黑框包围口诀的算题，其对应的《九龙易诀算法》中算题的口诀却有黑框。我们推测在乘法算题下应均存在黑框，黑框内的口诀是用于指导乘数的首位去乘以该档位上被乘数的数字，即对应着该算书乘法口诀内“却将本位破其身”的操作。这种乘法在珠算史上被称为“留头乘”，在朱世杰和吴敬的著作中即已出现(参见参考文献[30]；[14]，第352—374页)。最后一步操作较为特殊，在乘完乘数的末尾数字之后跳用其首位数字乘以被乘数，且乘得结果将改去被乘数上的数字，因此推测有必要将其单独列出，以黑框加以强调。。

4 结语

尽管《盘珠算法》中的算盘图示有一些特别之处，但它仍体现出十六世纪一批包含算盘图示的珠算普及著作中使用算盘图示的基本规律。在大多数情况下，黑白两色的算珠并不是为了表现算盘操作中对算珠的移动，它们并没有直接指导算书的学习者如何拨动算珠、拨动哪颗算珠的作用。不考虑《盘珠算法》中“退法”的特殊用法，一般而言，白珠是算盘图示上用来表示数的算珠，黑珠是算盘图示上不参与表示数的算珠。黑白两色增强了这两种算珠的对比，这在算盘图示刻制不精、算珠位置难以辨别的算书中尤其重要，成了读者识别算盘上数字的依据之一。算盘图示可能仅是象征性地展现需要表示数的那部分，并非是对当时操作者实际使用的算具的描摹。此外，在具体算题的算盘图示中，白珠表示的是经过口诀指导的操作之后，保留在算盘上的用来表示数的算珠布局。珠算操作的结果是正确的，但是在文字记录答案时与现代不同。当时算书的编纂者将盘上白珠所表示的数据作为他们接受的算题的答案，两者的差异反映了珠算与现代数学之不同。明白古人所采取的这种“记法”可以帮助我们理解与区分《盘珠算法》等算书中不同性质的“错误”，是偶然的刊刻失误，还是系统性的认知问题。算题下的算盘图示并非孤立存在，它们与其周围的文字紧密联系，这些视觉辅助图示与口诀内容用一起，借助独特的文本布局，使读者得以掌握珠算操作的方法。并非仅仅是文字内容，丰富的图示、排版元素和排版形式是明代出版物逐渐出现的显著特征，这也是珠算书籍不同于其他依靠“线性阅读”的传统文本的一个重要特点。这些文本细节均可成为当代科技史研究关注与分析古人学习和实践数学活动的有效途径。本文通过探讨珠算物质实作与文本之间的关系，亦希望使科学史界更加重视实作和物质文化的研究趋势。

致 谢本文曾在以“科学的视觉、物质和感官文化(Visual，Material and Sensory Cultures of Sciences)”为主题的第九届欧洲科学史学会国际研讨会(线上会议)分会场“古代世界数学中的视觉和物质文化(Visual and Material Cultures in the Mathematics of the Ancient World)”中报告，感谢组织者Karine Chemla研究员和Adeline Reynaud博士提供的帮助。感谢本文匿名审稿人的建议!