精设单元作业，助力数学学习

王春东

作业的设计是学校教学工作的重要组成部分，高品质的作业具有巩固、整段、应用、改进等功能。教育部相关文件中多次强调“严控书面作业总量、创新作业类型方式、提高作业设计质量”，优化作业设计是每位教师必须直面的一个重要问题。数学学科具有非常强的系统性，以单元进行作业设计能改变作业类型方式，提高作业设计质量。

对“单元”的划分，可以从内容的视角认识单元，即倾向于“教材单元”的界定，也可以适当补充部分内容，构成一个新的单元。单元作业目标依据单元教学目标进行设计，作业设计时既关注课时作业，也关注跨课时作业；既能检测学生课时知识掌握程度，也能通过单元作业逐步梳理知识间的联系，提升学生能力；可以在巩固单元知识同时侧重生活实际的联系，进行课外拓展和延伸，注重实践应用，提炼数学学科思维方式，提升数学学科核心素養。

下面以沪教版九年级第二学期第二十七章第一节《圆的基本性质》为例，探索单元作业设计，助力数学学习。

一、把握单元学习目标，制定作业目标

单元学习目标的设定要符合数学学科课程标准以及教学基本要求的规定，本单元的学习目标有：

1.通过圆的相关知识的回顾，进一步探索圆的性质，掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系及垂径定理；

2.会运用垂径定理及其推论解决有关的数学问题；

3.利用圆的基本性质的探究，熟悉圆中不同量之间的转化，初步掌握圆中常见辅助线的添法，进一步培养学生的探究、思维和解决问题的能力。

围绕单元目标，以两个定理为主线设计单元作业目标。

二、分析内容学习水平，设计框架图表

在确立单元学习目标后，就可以有条不紊地对单元作业目标进行梳理，根据学习目标确定学习水平、题目类型与题目难度，部分单元目标如表1：

三、结合知识学习要点，设计单元作业

作业内容的设计要保证结构的合理性，也要保持匹配已经设定的作业目标，让作业设计适应每个学生的发展需求。通过单元作业，渗透数学学科素养，助力学生数学学习。

（一）章节梳理，构建知识系统

单元作业设计中，可以通过设计一两个典型且能包含多个知识点的问题，让学生在问题解决中梳理知识、建构知识框架图，还可以通过问题导学优化解题策略，形成思维导图完善知识系统性。

例1：如图1，在圆O中，直径CD⊥弦AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为点E，如果BC=3，（1）求证：AB=BC；（2）联结OB，试求∠BAE的大小，并求圆O的半径。

通过问题（1）的解决可以让学生巩固垂径定理与圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系两个定理，掌握两个定理的用法；通过问题（2）的解决，可以帮助学生梳理圆中相关角度、线段大小计算的解题策略。

章节知识的系统梳理可以在完成单元新课教学后进行作业布置，也可以通过起始课的长作业设计，引导学生架构单元内容的知识体系。在学习《圆的基本性质》这一单元前，学生已经直观地认识了圆，知道弧、弦、圆心角等概念，根据所学知识设计作业：（1）探索弧、弦、弦心距、圆心角之间的联系；（2）圆中半径、弦等线段组成的图形与哪些所学图形有联系？你是否可以得到其他结论？

通过起始课和复习课的作业设计，前后呼应，有效帮助学生构建知识系统。

（二）知识透析，渗透思想方法

作业设计中，除了帮助学生梳理章节知识和掌握解题技能，还需要让学生深入分析所学知识，清晰其本质，在解题中渗透数学思想方法。

例2：已知圆O的半径为13，弦AB∥弦CD，且AB=20，CD=24，那么AB与CD的距离是_________

例3：已知圆O的直径AB长5，C、D在圆O上，且CD⊥AB，垂足为E，如果CD=3，那么AE=___________

圆是轴对称图形，在作图时，假设AB的位置固定，根据圆的轴对称性，在例2中，CD可以与AB在圆心O的同侧，也可以在圆心O的两侧，产生分类讨论；在例3中，运用相同方法可以得到两个答案。在遇到类似问题时，了解图形特征，先画出一种情况，然后根据对称性画出同侧、两侧两种类型进行分类讨论，。

在求点与圆的位置关系相关问题时，通过厘清对应的数量关系就能分析出位置关系，体现数形结合思想的渗透。在应用垂径定理及其推论求解半径、弦心距、弦长时也经常应用方程的思想求解问题。

深入挖掘单元中的数学思想，作业设计中注重数学思想方法的渗透，学生对本章节的知识结构关系就有更清晰的认识，学得更活，提高解决数学问题的能力。

（三）应用拓展，强化数学意识

《上海中小学数学课程标准》指出“应重视数学与现实生活的联系，一方面要选择具有广泛性应用性的数学知识充实课程内容；另一方面要开发数学实践环节，强化运用数学只是分析问题和解决问题的过程。”

垂径定理及其推论的应用是教学中的重点，在实际生活中也有广泛应用，如《九章算术》中的提出“圆材埋壁”问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小。以锯锯之，深一寸，锯道长一尺。问径几何？”在实际生活中求圆形管内水面宽度、卡车能否通过隧道等等，通过实际问题的分析与解决，进一步强化学生应用数学知识解决问题的意识。

在学习圆形物体的半径、圆环的半径等内容时，将实际问题抽象成数学问题，可以提升学生学习兴趣，强化数学应用意识。如图2，在求圆形物体半径时，将圆形物体放置在直角处，通过测量AC的高与直角顶点到圆形物体与直角边接触点AB的长，再应用垂径定理可以求得圆形物体的半径。

单元作业设计时通过寻找生活中与圆有关的问题，引导学生用数学的眼光认识问题，用数学的思想方法分析问题、解决问题，强化数学知识应用意识。

（四）专题整合，提升数学能力

单元作业的设计，既要协助学生巩固、整理单元知识，也要协助学生拓展、提升知识的综合运用，通过单元专题的整合，进一步强化对知识的理解与应用，提升数学应用能力。

例4.如图3，已知半圆O的直径AB=4，点C、D在半圆O上（点C与点D：不重合），弦BC与半径OD相交于点E。

（1）如果弧AC=弧CD=弧DB，求DE的长。

（2）联结AD交BC于F，OD⊥BC

①如图4，如果AD=BC，求弦AD的长；

②如图5，如果点F是弦AD的中点，求∠BAD的余切值。

（3）如图6，过点D作DH⊥AB，垂足为H，DH交BC于点F，∠DOB=∠CBO

此题中第（1）问通过简单应用同圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间关系及垂径定理解决问题；第（2）问需要结合中位线、全等三角形、锐角三角比等知识解决问题；第（3）问结合三角形一边的平行线、勾股定理等知识解决问题。作业设计中专题的整合有较强的综合性，涉及的知识點多，需要学生从多角度去分析问题，多方法解决问题，以提升学生应用知识解决问题的能力。

单元作业设计要帮助学生梳理知识框架，整理知识脉络，还需要满足学生的个体发展。作业设计既要关注知识的关联性、开放性，还要关注数学知识的实际应用性，提升学生应用知识解决问题的能力，促进学生数学思维发展。希望通过数学单元作业的设计，提升学生在数学知识与技能、数学的思想与方法、数学的能力、数学的意识等方面的数学学科核心素养，助力数学学习。