高中数学建模分层次教学案例探究

摘 要：数学建模是数学六大核心素养之一，它有助于培养学生的独立思考能力和自主学习能力，有助于培养学生的创新能力和综合素质。数学建模分层次教学是基于学生层次、认知结构、知识结构的不同，分层次的逐步推进教学。四个层次的教学案例展示了数学建模教学的四个阶段，层层递进的促使学生参与数学建模活动。

关键词：高中;数学建模;分层次教学案例

《普通高中数学课程标准（2017年版）》中，提出数学建模作为数学核心素养之一，把数学建模作为内容主线，在选修、选择性必修部分都进行了相应的内容要求、教学提示和学业要求。同时，新课标中删减了一部分过去高考要考的内容，这为新增的“数学建模与数学探究活动”腾出了课时。虽然有了课时的保证，但数学建模教学作为“新事物”，没有成熟的“课型”和“模式”作参考，如何进行数学建模教学是一线教师面临的一大挑战。

一、数学建模教学的切入

在原始的数学课堂中，应用题的教学备受重视。在应用题的教学中，教师和学生处理的是对实际问题中的已知条件进行分析，将题目中所有条件充分利用，可以得到一个确定的结果，这种课型注重的是“建立模型”和“模型求解”.而数学建模要有意识地去发现问题、提出问题，建立数学模型，然后求解模型，最后求出数学结果，并对这一结果进行分析检验、不断校正。可以发现，应用题的解答只是整个数学建模中的部分环节。所以，数学建模的教学不等同于数学应用题的教学，在教学中可以以此为突破口，将应用题加以改造，设计成生活中的实际问题，然后分层次的引导学生完成数学建模教学。

二、数学建模教学的分层

对于刚进入高中的大部分学生来说，对数学建模的认识是模糊的，让学生独立完成数学建模是比较困难的。针对学生对数学建模的认知，笔者以为数学建模进行分层次设计，才能够起到更好的教学成效。

（一）第一阶段——了解认识阶段

数学建模的起始课，学生并不清楚什么是数学建模，教师则需要从学生生活出发，选取一些较为简单的数学建模题目，进而按步骤来进行有效引导示范建模过程，使学生对数学建模有一个初步的认知与理解。

（二）第二阶段——尝试初级阶段

基于第一阶段的教师示范，学生们对数学建模有了初步的认识，第二阶段的教学，教师可以针对性地选用一些更具建模特点的题目，有意识地让学生独立完成建模的部分步骤，在学生的障碍点教师点拨引导。这一阶段需要教师在求解建模这个难点处，帮助学生克服。这一阶段需要一个漫长的过程，教师要有足够的耐心。

案例1：建立函数模型解决实际问题

课前准备

问题1：中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.那么在20℃室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？降温的时间可能与那些因素有关？

问题2：茶水降温的时间与很多因素有关，请根据你们认为的主要影响因素，分组做茶水冷却实验并录制视频记录实验过程并收集数据。

二、课上教学

1.学生展示

展示小组收集数据、分析数据的过程。

学生分析，茶水的温度变化与所处的环境（室温、空气流动状况、茶水的初始温度），杯子的材质，水容量等诸多因素有关，但最主要的影响因素是时间。

展示室温密闭情况的茶水温度与时间变化的实验过程及数据：

首先，实验准备器材：250ml的85℃的茶水、温度计、计时器、纸、笔;

其次，小组成员讨论实验步骤，确定实验分工;

其三，实验步骤：

（1）记录室温，实验环境;（室温20℃，关闭门窗）

（2）测量茶水温度随时间变化的数据;

（3）在实验记录表中填写实验数据：

思考：温度y是时间x的函数吗？如果是，以上述数据为例，绘制出点（x，y），并根据绘制的点观测它符合哪类函数，函数解析式如何求解？

2.建立模型

探究1：根据水溫随时间变化图象的分布，结合水温变化的实际意义，我们该选择哪种函数模型来刻画水温随时间的变化呢？

图象是单调递减的，考虑到茶水温度降低到室温就不能再降的事实，我们只能选用反比例函数模型或指数函数模型来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律。

[建模一]

以指数函数模型为例，设

（）

引导：当x=0时，茶水的初始温度是85℃，所以，由此可得k=65;

追问：如何利用收集的数据，借助图形计算器求a呢？

x=1，y=81.6，解得a=0.948;

x=2，y=78.8，解得a=0.951;

x=3，y=76.3，解得a=0.953;

这样可以得到的多个a值都不同，我们取哪个作为a的值呢？

结论：平均值（精确到0.001），计算得到a=0.954.

这样，水温y与时间x的解析式：

[建模二]

以反比例函数模型为例，引导学生得到水温y与时间x的解析式为：

3.检验模型

探究2：我们得到的两种函数模型都能大致反应茶水温度变化的局部规律，你认为哪种函数模型拟合的更好些？

利用图形计算器发现：局部拟合效果都很好，但是随着时间的变化，当水温降至30度时，反比例需要104分钟;而通过实验得到：茶水的温度降至30度只用了51分钟，差异较大，所以指数函数模型更符合实际。

4.模型应用

回归引例，解决问题1

5.总结提升

简介牛顿冷却定律

6.学以致用

课下研究外卖员送餐时，食物的冷却问题。

（三）第三阶段——尝试中级阶段

爱因斯坦说过：“提出一个问题，往往比解决一个问题更重要，因为解决一个问题也许仅仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，都需要有创新性的想像力，而且标志着科学的真正的进步。”在生活中发现数学问题，是学生的难点。这个阶段，教师不再给出问题，把重点放在让学生发现设计问题上，教师参与学生提出问题的过程中。学生在寻找问题的过程中，小组同学思维碰撞，学生建模的兴趣会逐渐高涨。

案例2：与疫情有关的数学建模开题研讨

课前安排各小组查阅资料，确定感兴趣的数学建模问题。然后各小组汇报要解决的问题、选题的原因及意义、研究思路。最后全班同学讨论，指出问题，确定合适的研究问题。

研究问题集中在以下几个：

1.研究谣言传播的模型及改变免疫增强率对谣言传播的影响;

2.英国群体免疫的可行性研究;

3.疫情对中国中小商家经济的影响;

4.不同防疫措施对疫情扩散情况的影响。

讨论总结：谣言传播问题要用到平均场方程，我们可以放在大学去研究;英国群体免疫问题，因英国政策改变，拿不到自然传播的数据，无法继续研究;疫情对经济的影响，研究题目太大，可以缩小在某一种小商家进行研究;不同防疫措施对疫情扩散影响，在建立一些模型假设的基础上，是建立函数模型，可以研究。

（四）第四阶段——探索高级阶段

在经历前三个阶段的数学建模过程后，学生具备了一定的建模能力基础，在这个阶段让学生自主选择实际生活中的问题，组建小组，经历数据分析、数据整理、问题假设、模型构建、模型求解和模型检验等完整的数学建模过程，并最后写出研究报告，撰写论文。

三、数学建模教学的思考

随着数学建模教学的开展，在教学过程中发现了一些问题，如何解决一系列问题，值得教师思考。

（一）数学教师对建模的认识有待改变

有些教师以为数学建模就是解决原始的应用题，对建模的认识还是停留在第一阶段，阻碍了后期几个阶段的开展。数学建模的全过程给学生提供了联想、领悟、思维与表达的平台，分层次教学促进学生思维由此及彼、由浅入深地发展。第四阶段充分展现了数学解决生活实际问题的真实过程，有助于培养学生查阅文献、发现问题、分析问题、解决问题、论文写作及学术交流表达的能力，有助于培养学生的独立思考能力和自主学习能力，有助于培养学生的创新能力和综合素质。

（二）数学教师的建模能力有待提升

笔者在数学建模教学过程中发现，建模过程对教师的能力要求很高。数学建模所涉及的范围广，对教师的数学素养及知识面、数学软件的操作能力、论文写作能力等都有很高的要求。一线教师也要有层次性的提升自我的数学建模能力，建议一线教师多参加建模培训。

（三）数学建模课堂形式多样化

分层次教学后，有些数学建模在课堂进行，有的需要课外进行。教师可以多样化的开展数学建模，比如利用社团活动，校本课程，建模比赛等，也可以把建模课堂设置为“行走”的课堂，到校外开展测量、调查、访谈、实验等活动。教师要多鼓励学生参与数学建模实践，在合作中提升学生的各方面能力。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]田仁碧.数学建模在高中阶段的分层次设计构思[J].数学学习与研究，23，2018（22）.

[3]董天龙、王海华、曹圣山.中学开展数学建模教學的思考与实践[J].数学建模及其应用，78-82，2018（12）.

[4]汪家军.谈数学建模对学生创新能力的培养[J].中国职业技术教育，38-39，2003（9）.

作者简介：马芬.1974年4月，女，山东省聊城市，中教高级，本科;研究方向：数学教育

本文系北京市教育科学“十三五”规划2019年度“基于核心素养背景下高中数学建模校本教学实践研究”（编号：CDDB19239）阶段性研究成果。