借助错题分析，落实数学核心素养

刘淑华

摘 要：当前，落实核心素养是中学数学教学的重要内容。为达到预期的落实效果，应做好数学核心素养学习与研究，充分渗透数学核心素养内涵，结合学生实际以及教学经验采取针对性的落实策略。其中通过错题分析既能澄清学生对所学知识的认识与理解，又能为核心素养的落实奠定坚实基础。本文就如何借助错题分析，落实“数学抽象”素养进行探讨。

关键词：数学;核心素养;落实;错题;分析

数学抽象素养的表现包括获得数学概念和规则、提出数学命题和模型、形成数学方法与思想、认识数据结构与体系。授课中应做好这些内容的分析，寻找其与数学知识之间的契合点，通过错解过程展示、出错原因分析、纠正解题过程等环节，充分挖掘获取价值，确保核心素养的认真落实。

一、借助错题，促进学生深入理解数学概念和规则

获得数学概念和规则，是学习数学知识的重要基础。课堂上为使学生掌握获得数学概念和规则的相关技巧，保证解题的正确性。一方面，认真汇总与筛选学生出错率较高的数学习题，在课堂上通过展示错解过程，要求学生对照自身的解题过程，看是否犯下类似错误，使其能够及时纠正误区，把握数学概念与规则的本质。另一方面，通过错题的分析，使学生掌握抽象出数学概念与规则的相关细节，以及运用数学概念和规则解题的注意事项，给以后更好的解答带来良好启发。

北京大兴国际机场的显著特点是各种弯曲空间的运用，刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容。用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和。例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为2π-3×=π，故其总曲率为4π。（1）求四棱锥的总曲率：（2）若多面体满足：顶点数一棱数+面数=2，证明：这类多面体的总曲率是常数。

学生解答该题时因对题目中给出的规则理解不深入而出错。针对（1）四棱锥有5个顶点，5个面，其中4个侧面是三角形，一个底面是四边形，根据题目中的规则可计算出其总曲率为5×2π-4π-2π=4π。对于（2）这多面体的顶点数为V、棱数E、面数为F，每个面分别记为ni（i∈[1，F]）边形，则其所有面角和为=2π（E-F），则多面体的总曲率为2πV-2π（E-F）=4π，得证。

二、借助错题，使学生学会提出数学命题和模型

提出数学问题和模型是一项重要的能力，是数学抽象素养的重要构成部分。授课中应注重运用错误资源，通过展示错误，引导学生纠正错误，使学生学会提出数学问题和模型，并运用所学进行相关问题的证明和模型的解答，一方面，为学生展示相关习题后，故意展示错误的解题过程，要求学生认真分析，思考解题过程是否错误，错在哪里，激活數学课堂的同时，促使学生主动的思考，更好的加深其印象。另一方面，引导学生做好听课的反思，把握提出数学命题和模型的思路，尤其启发学生为保证解题的正确性，在分析问题时应考虑全面，注重分类讨论思想的应用。

在△ABC中给出如下4个条件：①S△ABC=;②b2+ac=a2+c2;③=2或;④b=;以其中三个为条件剩下的一个为结论，请写出一个正确的命题，并证明过程。

错解过程：若①②③，则④。证明如下：

∵b2+ac=a2+c2，由余弦定理得到：cosB==，∴B=60°，又∵S△ABC=，则acsinB=，得到ac=2。∵=2或，设=2，则a=2，c=1，由余弦定理得到b2=3，则b=，得证。

错因分析：虽然根据题设正确的提出了命题，但在证明的过程不够严谨。只是考虑了=2这一种情况，遗漏了=时，是否能够推出b=，因此，解题时需要考虑每一种可能。

正解过程：∵b2+ac=a2+c2，由余弦定理得到：cosB==，∴B=60°，又∵S△ABC=，则acsinB=，得到ac=2。（1）当=2时，则a=2，c=1，由余弦定理得到b2=3，则b=;（2）当=时，则a=1，b=2，由余弦定理可推出b2=3，则b=;综上可知提出的命题是正确的。

三、借助错题，启发学生形成数学方法与思想

形成数学方法与思想，可指引学生更好的解题，有效的避免其在解题中走弯路，提高解题正确率。教学中应注重运用错题，使学生认识到形成数学方法与思想的重要性，在学习中养成注重总结的良好习惯。一方面，对学生做错的题题进行归类，而后围绕具体例题，为学生展示、分析错误的解题过程，要求学生积极联系所学，分析避免出错的解题方法和思想。另一方面，要求学生做好错误习题的摘抄，建立专门的错题本，总结出错习题考查的知识点，详细的写出正确的解题过程，提醒其以后更好的解题，避免其犯下类似错误的同时，方便以后复习。

已知{an}为等差数列，其首项为21，公差为-4，求Sn=|a1|+|a2|+|a3|+…|an|。

错解过程：根据题意an=25-4n，则当an≥0时，n≤，则数列的前6项大于0，从第7项开始，以后各项均小于0。

Sn=|a1|+|a2|+|a3|+…|an|=（a1+a2+a3+…+a6）-（a7+a8+…+ak）

=2（a1+a2+a3+…+a6）-（a1+a2+a3+…+a6+a7+a8+…+ak）=2S6-Sn=2n2-23n+132

错因分析：该计算过程仅考虑了n≥7时，数列各项各项绝对值的和，漏掉了n≤6的情况。遇到该类问题应注意分类讨论。针对该题应注意如下策略的应用：

当n≤m时，Sn=a1+a2+…+an=;当n≥m，则Sn=a1+a2+…+am-（am+1+…+an）=2Sm-Sn。

正解过程：根据题意an=25-4n，则当an≥0时，n≤，则数列的前6项大于0，从第7项开始，以后各项均小于0。

当n≤6时，Sn=a1+a2+…+an=-2n2+23n;当n≥7时，Sn=2S6-Sn=2n2-23n+132，综上可知：Sn=。

四、借助错题，引导学生认识数学结构与体系

引导学生认识数学结构与体系，有助于其构建系统的知识网络，更好的掌握数学知识点之间的内在联系，在解题中灵活、正确运用数学符号進行准确的表达。教学中应注重借助错题给学生带来学习上的引导，使其更加深刻的把握数据结构与体系。一方面，与学生一起总结较为相近的数学知识，使其更好的把握数学知识之间的区别，使其准确记忆，深入理解。另一方面，课堂上通过讲解习题的错误解答过程，使学生认识到错在何处，给其留下深刻印象，在以后的解题中能够正确的应用。

以下五种关系：①0N;②{0};③0;④{}{0};⑤{0}。其中正确的关系有______。

错解过程：0不是自然数，因此，0N错误，①错;“”表示的是集合元素和集合的关系，和{0}是两个集合，②错误;空集中不含有任何元素，因此，0，③错误;空集是任何非空集合的真子集，因此，④{}{0}、⑤{0}均正确，即正确的关系有④⑤。

错因分析：题目考查了集合元素与集合、集合与集合之间的关系。学生之所出错原因在于对集合中包含的元素认识不清晰，将符号“”和“”、“”和“{}”搞混淆等，在使用数学符号进行表达张冠李戴。

正解过程：0是最小的自然数，因此，0N①正确;表示空集，不能使用“”表示集合之间的关系，{0}是不正确的;空集中不含有元素，0不对;{}、{0}表示两个集合，{}中只含有一个元素，{0}只含有一个元素0，因此，{}{0}是错误的;空集是任何非空集合的真子集，{0}正确。综上正确的关系有：①⑤。

结束语

培养学生数学核心素养的方法多种多样，应结合学生实际，制定系统、详细的落实计划，尤其应借助错题落实“数学抽象”素养培养工作。教学中通过该素养内容的解读以及错题资源的整合，进一步澄清学生认识，深化学生理解，使其牢固掌握数学知识的同时，数学抽象素养得以显著提升。

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