基于线性误差模型的干涉仪系统标校方法*

程 鹏，李银波，吴启星，廖 骥

(1.电子信息控制重点实验室，成都 610036；2.北京跟踪与通信技术研究所，北京 100094)

0 引 言

在辐射源无源定位领域，干涉仪系统结构简单、设备量少、测向精度高，占据着重要位置，得到了广泛应用和发展[1-4]。但由于干涉仪为多通道系统，天线和通道存在相位不一致，干涉仪系统安装到观测站后各天线的相对位置也存在安装误差[5]，这些误差最终直接影响系统的测向精度。

随着测向精度的要求越来越高，在内场对干涉仪系统进行的离线标校由于无法完全真实模拟观测站实际安装状态，已逐渐不能满足应用需求，这使得干涉仪系统安装到观测站后以正常工作状态进行的在线标校显得愈发重要。文献[6]提出了一种基于双标校源的校正方法，利用同时测量至少两个不同位置的标校源的信号完成标校。该方法仅针对单一基线矢量进行标校，同时只考虑了基线安装误差带来的相位偏差，而忽略了天线相位不一致性带来的影响，使得校正效果不理想。文献[7-8]将干涉仪系统误差统一看作相位误差项，通过在内场条件下测量校正源与干涉仪各接收天线之间的相对距离确定信号到达各条基线的波程差，以此为基础计算理论相位差值与测量相位差值，最终得到校正相位差值。该方法忽略了实际工程条件下天线的安装误差的影响，信号从不同角度入射会导致干涉仪测向基线产生不同的相位误差值，无法通过内场校正方式完全消除。文献[9-10]通过建立干涉仪系统相位差与目标位置的数学模型，将系统相位误差、基线长度误差、基线方位角系统误差和基线俯仰角系统误差作为干涉仪系统误差的主要来源，但该方法对干涉仪基线构型有一定要求，且建立的数学模型为非线性，解算过程中需要初始位置进行线性化，得到最终结果需要多轮迭代。

本文通过分析系统误差来源，建立了干涉仪系统误差标校线性模型，并进行了仿真分析和误差估计，可对干涉仪各系统误差项进行有效标校。

1 干涉仪误差分析

干涉仪系统测向的基本原理如图1所示。

图1 干涉仪系统测向原理

来自辐射源的电磁波为平面波，测量两通道之间的相位差，通过式(1)计算即可得到辐射源方向：

(1)

式中：θ为信号入射角度，λ为信号波长，d为基线长度，φ为系统相位差。

对式(1)中的各参数求全微分，可获得干涉仪测向的误差公式为

(2)

2 模型建立

如图2所示，以观测站几何中心为原点，建立三维直角坐标系OXbYbZb，基线长度测量误差Δd可以分解为基线向量在该坐标系下三个维度的误差Δx、Δy、Δz，故干涉仪系统的误差项为X(Δx,Δy,Δz,Δφ)。

他忍不住向前迈出了一步。那金色光芒随即向前轻轻游弋起来，看上去又像一只轻盈的蝴蝶，轻柔地舞动着翅膀向前方飞行，指引着他走向另一个展馆。

图2 干涉仪测向定位坐标系示意图

bbm=Abj-Abk=(xbj-xbk+Δxm,ybj-ybk+Δym,zbj-zbk+Δzm) 。

(3)

式中：m=1,2,…,M;j,k∈[1,N];Δxm、Δym、Δzm为基线在三个维度上的安装误差。

Δφm。

(4)

式中：Δφm为天线固定相位误差。

由式(4)可知，干涉仪系统测量得到的入射信号相位差ΔΦmt与误差项Xm(Δxm,Δym,Δzm,Δφm)是线性关系，且瞬时完成误差估计至少需要4个位置不同的标校站，故对于任意基线m，式(4)可写为矩阵形式：

AX=q,

(5)

at4=1，

qt=ΔΦmt-[at1(xj-xk)+at2(yj-yk)+at3(zj-zk)]。

设代价函数f(X)=|AX-q|2，求f(X)的驻点：

f(X)=|AX-q|2=(AX-q)T(AX-q)=

XTATAX-2XTATq+qTq。

(6)

令f(X)′=2ATAX-2ATq=0，可得ATAX=ATq，可以证明ATA的逆一定存在，故

X=(ATA)-1ATq。

(7)

3 标校流程

根据上述数学模型，干涉仪系统在线标校流程如下：

Step1 确定t个标校源及其位置布置。

Step2 根据收到各标校源每个信号的绝对到达时间，结合观测站姿态、速度及位置参数插值计算该时刻的观测站姿态、速度及位置值，计算观测站坐标系到WGS-84地固坐标系的旋转矩阵C。

4 仿真分析

4.1 干涉仪基线安装误差

根据以上理论模型及标校流程，考虑实际应用场景，以标校源最小需求布置4个不同位置的标校源在地面，标校信号频率为3 GHz，如图3任意布设9阵元干涉仪测向基线，装载于10 km高的观测站(如图4所示)，标校源和观测站位置测量误差20 m(均方根)。

图3 干涉仪基线设置

图4 观测站和标校源位置关系示意图

假设天线安装误差为8 mm(均方根)，进行1 000次蒙特卡洛仿真，得到标校后各基线在X、Y、Z轴方向的误差随系统随机相位误差的关系，如图5～7所示。可以看出，标校后各基线在X、Y、Z轴的安装误差由8 mm(均方根)降低为不大于1.3 mm，标校效果与系统随机相位误差相关，系统随机相位误差越小，标校效果越好。

图5 标校后各基线X轴误差

图6 标校后各基线Y轴误差

图7 标校后各基线Z轴误差

4.2 干涉仪基线固定误差

采用4.1节的仿真输入条件，设置各基线固定相位误差为10°，进行1 000次蒙特卡洛仿真，得到标校后各基线固定相位误差随系统随机相位误差的关系，如图8所示。可以看出，标校后各基线固定相位误差由10°降低为不大于2.5°。同样地，系统随机相位误差越小，标校效果越好。

图8 标校后各基线的固定相位误差

4.3 干涉仪系统测向误差

按照4.1节的观测站、干涉仪基线设置，假设天线安装误差为8 mm(均方根)，测向基线固定相位误差为15°(均方根)，进行1 000次蒙特卡洛仿真，得到标校前后干涉仪系统的测向误差随入射角变化关系，如图9所示。由仿真结果可以看出，标校后干涉仪系统小角度测向误差降低约75%，大角度测向误差降低约35%。

图9 系统标校前后测向误差

4.4 算法复杂度分析

从第2节构建的数学模型可以看出，本文所提方法的主要计算来自于完成矩阵计算X=(ATA)-1ATq过程中的求逆过程，矩阵求逆运算为三阶复杂度，所以本文方法的复杂度为O(N3)。与采用迭代法进行干涉仪系统标校的方法相比，迭代法的复杂度主要包含系统误差估计和迭代运算两部分，由于系统误差估计包含有矩阵求逆运算，而k次迭代运算的复杂度为线性相加，因此迭代法的复杂度正比于O(N3)，为O(kN3)。可以看出，本文所提方法复杂度与迭代法同阶，但减少了多次迭代运算。

5 结 论

本文分析了干涉仪测向系统主要误差来源，建立了基于系统误差与测量相位差之间的线性模型，利用线性最小二乘思想对干涉仪系统中的天线相位误差与基线安装误差进行估计。理论和仿真分析表明，该方法无初值估计和多次迭代运算，对干涉仪系统基线构型无约束，易于工程实现，可以对干涉仪系统误差进行校正，适用于干涉仪系统安装到观测站后的在线标校。