基于波束空间的四阶累积量LCMV 波束形成算法

杨梦琪，秦 云

（江苏大学电气信息工程学院，江苏镇江 212000）

0 引言

自适应波束形成技术是阵列信号处理中的重要研究对象，广泛应用于通信、雷达、医学等领域［1］。近年来，常规的自适应波束形成器由于抑制干扰和噪声的能力不佳，在实际应用方面渐渐无法满足要求［2］。高阶累积量的阵列处理方法被逐渐应用于自适应波束形成技术中，其包含信号幅值、相位等重要信息，在阵列数据处理中能够扩展阵列孔径、抑制高斯噪声（特别是高斯色噪声）、校正阵元误差等［3］。与常规算法相比，基于高阶累积量的自适应波束形成算法可有效减小主瓣宽度、降低旁瓣电平、增加对干扰的零陷深度，波束形成性能大幅提高［4-5］。

虽然基于高阶累积量的自适应波束算法有很多优点，但计算过程中需要构造高阶累积量矩阵，具有计算复杂度高、计算时间较长的缺点。对此，Zhao 等［6］、武思军等［7］、李婷婷［8］去除阵列冗余数据，减小了计算量；刘春静等［9］分析四阶累积量矩阵中各元素之间的关系，去除相同或互为共轭的元素，计算量大幅度减小。然而上述方法中都有去除数据的操作，会导致信息量损失［10］。

本文将阵列接收数据由阵元域变换到波束域，在波束域中构造协方差矩阵的四阶累积量空间相关矩阵，结合文献［11-12］中的矩阵原位替换解算方法与改进原位替换求逆方法所提出的基于主元交换的原位替换算法，求解空间相关矩阵的逆，在线性约束最小方差（Linearly Constrained Minimum Variance，LCMV）准则下求解最优权矢量。与传统LCMV 波束形成器和基于四阶累积量的LCMV 算法相比较，本文方法在整体抗干扰性能、计算复杂度、适用性等方面有明显优势，同时也节约了存储空间［13］。

1 算法原理

1.1 信号模型

假设有M个各向同性的阵元，且阵元间距为d，远场处存在1 个期望信号（角度为θ0）和L个干扰信号以平面波入射（角度θl，波长λ，l=1,…L）［14］，则第k个阵元接收信号可表示为：

整个阵元接收数据的矩阵表示为：

式 中，X(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)]T，为阵列数据；N(t)=[n1(t),n2(t),…,nM(t)]T，为阵列噪声；S(t)=[s0(t),s1(t),…,sL(t)]T，为信号源复包络；矩阵为第l 个信号源的导向矢量，其中βl=

阵列的协方差矩阵为：

1.2 波束空间

波束空间处理是指对M 元阵列形成一组非自适应波束，将信号从阵元域变换到波束域，再对各波束的输出进行最优加权处理［15］。该组非自适应波束（假设r 个，r

定义一个M×r的矩阵T 为转换矩阵，则信号由阵元域到波束域输出为：

其中，转换矩阵T 为：

式中，μ(α)=，系数μ决定了波束覆盖空间的起始位置。转换矩阵T 的每一个列向量分别代表不同的方向，在感兴趣的区域形成r 个波束，区域范围为称为波束空间区域。波束空间区域内的信号被保留，区域外的干扰信号被抑制。

波束域输出协方差矩阵为：

1.3 波束域LCMV 算法

阵元域LCMV 算法的代价函数和最优权矢量为：

根据式（7）可以得到波束域LCMV 算法的最优化问题描述为：

式中，Wbs为波束域LCMV 波束形成器的权矢量，Cbs=THC为波束域导向矢量约束矩阵，f为对应约束响应矢量。

波束域LCMV 波束形成器的最优权矢量为：

1.4 基于波束空间的四阶累积量LCMV 算法原理

在波束域构造信号四阶累积量矩阵：

其中，⊗为克罗内克积（Kronnecker），E{· }为期望。

满足约束条件的最优权矢量代价函数为：

那么，基于波束空间的四阶累积量LCMV 波束形成器的最优权矢量为：

方向图为：

基于波束空间的四阶累积量LCMV 算法原理如下：

（1）阵元接收数据X(t)，将数据信号变换到波束空间得到Xbs(t)。

（2）在波束空间构造四阶累积量空间相关矩阵R4bs、方向矩阵C4bs以及对应约束响应矢量f4bs。

（3）计算式（12），得到基于波束空间的四阶累积量LC⁃MV 的最优权矢量。

2 算法实现

2.1 四阶累积量矩阵构造

根据“1.4”项下算法原理，需要在波束空间构造四阶累积量相关矩阵R4bs、方向矩阵C4bs、对应约束响应矢量f4bs。运算符⊗克罗内克积表示：如果有A⊗B，相当于将A 矩阵的每一个元素与B 矩阵相乘形成分块矩阵。因此，方向矩阵C4bs的构造是将Cbs中的每一个元素与矩阵相乘，对应约束响应矢量f4bs是由f中的每一个元素与矢量f*相乘得到。

根据式（10），四阶累积量相关矩阵R4bs的构造过程为：

也可以表示为：

2.2 基于主元交换的原位替换求逆算法

为进一步降低算法的计算复杂度，运用基于主元交换的原位替换算法求解式（12）中高阶累积量矩阵（对称共轭矩阵）的逆［13］，这样既保留了高阶累积量的优越性，也降低了算法的计算复杂度。

基于主元交换的原位替换算法是在LU 分解基础上的矩阵求逆方法，对n 阶对称共轭的非奇异矩阵A 进行LU 分解，令A=LU，则A-1=U-1L-1。

假设矩阵A 表示为：

整个求逆算法步骤如下：

（1）获取主元交换的约化系矩阵。首先对矩阵A 做初等变换，将矩阵分别变换为上三角矩阵U1和下三角矩阵L1。引入约化系数矩阵N，整个约化系数矩阵可表示为：

其中，式（17）中的aji.k表示矩阵A 在第k 次初等运算后得到的第j行i列的元素，i,j=1,2,…,n，k=0,1,…,n-1。

根据式（17）计算约化系数矩阵，在计算过程中对主对角元素为零的行向量做换主元操作，保证主对角元素的非零性。主元交换的约化系数矩阵计算流程见图1。

Fig.1 Primary component exchange flow图1 主元交换流程

交换过程中引入标志矩阵P，用以记录主元交换过程以及结果恢复。主元交换原理为：如果njj=0,nij≠0，i>j且nsj=0,s=j,j+1,…,i-1，那么交换j 行与i 行，np.jk=nik,np.ik=njk，k=1,2,…,n。

由简单矩阵运算规则可知，矩阵行向量交换可通过左乘单位矩阵的变形阵实现。因此，主元交换操作后，对于可逆矩阵一定存在初等方阵P，使得PA=LU，则有A-1=U-1L-1P。主元交换后的约化系数矩阵N（ap.ji的p 表示进行了主元交换操作）为：

（2）行向量修正。主元交换后，N 的主对角元均不为零，还要对N 中主对角元小于零的元素进行修正。修正过程为左乘修正矩阵M：

（3）计算三角逆矩阵。直接根据公式计算三角逆矩阵：

其中，上三角逆矩阵和下三角逆矩阵的元素为（具体分析参考文献［12］）：

（4）求所需逆矩阵。

2.3 算法总体流程

基于波束空间的四阶累积量LCMV 算法流程如图2 所示。阵列接收数据通过转换矩阵T 将信号由阵元域变换到波束域，在波束空间中构造数据四阶累积量空间相关矩阵R4bs、方向矩阵C4bs、对应约束响应矢 量f4bs，将R4bs输出到求逆模块，采用基于主元交换的原位替换算法求，然后在LCMV 准则下求解最优权矢量［17-20］。

Fig.2 Flow of fourth-order cumulant LCMV algorithm based on beamspace图2 基于波束空间的四阶累积量LCMV 算法流程

3 仿真结果与分析

3.1 仿真分析

（1）仿真1：阵元数N=12，波束数r=7，输入信噪比为0。LCMV、阵元域四阶累积量LCMV 与本文建立的基于波束空间的四阶累积量LCMV 算法仿真方向比较如图3 所示。通过比较分析可知，与传统LCMV 算法相比，基于四阶累积量的LCMV 算法和基于波束空间的四阶累积量LCMV 算法的主瓣宽度更窄，旁瓣电平的零陷更低，优势明显。

（2）仿真2：在阵元数N=12，波束数分别为r=5、r=7、r=9时，基于波束空间的四阶累积量LCMV 算法仿真方向如图4 所示。可以看到，当波束数r=5 时，波束范围外的干扰被滤除得很干净，但波束区域内的部分旁瓣略高，主瓣略宽。r=7 与r=9 的方向图大致相同，在考虑计算量的情况下选择r=7 性能最佳。波束数越大，滤波性能越好，但计算量增加；波束数越小，波束范围越小，虽然算法计算量减少，但主瓣变宽。因此，波束数的选择非常重要。

Fig.3 Simulation results of array element number N=12 and beam number r=7图3 阵元数N=12，波束数r=7 仿真结果

Fig.4 Simulation results of array element number N=12 and beam number r=5，7 and 9图4 阵元数N=12，波束数r=5、7、9 仿真结果

（3）仿真3：阵元数N=12，波束数r=7。输入信噪比在-5～15dB 范围内变化，比较LCMV、阵元域四阶累积量LCMV与基于波束空间的四阶累积量LCMV 算法的输出信噪比，具体如图5 所示。从仿真结果可以得出，阵元域与基于波束空间的四阶累积量LCMV 算法的输出信噪比大致相等，且随着输入信噪比的增加，阵元域和基于波束空间的四阶累积量LCMV 算法的输出信噪比相较传统LCMV 变高。仿真结果表明，基于波束空间的四阶累积量LCMV 算法在保证较小性能损耗的前提下降低了计算量。

Fig.5 Output SNR results图5 输出信噪比结果

3.2 计算复杂度分析

构造阵元域四阶累积量矩阵的计算量很大，计算复杂度为Ο(M2×M2)。将信号数据变换到波束域后（波束数为r

基于主元交换的原位替换求逆算法更适用于硬件工程实现，存在以下优势：①占用存储空间少，同一存储空间内先后存放数据，达到了原位替换的效果；②具有良好的可并行性，无论是分解方式还是计算公式，原位替换都具有很高的并行设计潜质；③运算复杂度较低，整个计算过程中，除了约化系数矩阵N 和三角逆矩阵对角线元素的计算过程涉及开方、除法运算外，其他元素的计算多为加乘运算。与QR 分解求逆算法相比，该算法避免了计算繁琐的求范数过程，并且减少了开方、除法等复杂运算的操作次数。因此，本文建立的求逆算法是优越的、可行的。

4 结论

本文提出基于波束空间的四阶累积量LCMV 波束形成算法，使信号处理从阵元域向波束域转变，并将基于主元交换的原位替换求逆算法运用到波束形成信号处理中，解决了高阶累积量矩阵计算量大的问题。基于波束空间的四阶累积量LCMV 算法将阵列接收信号从阵元域变换到波束域进行处理，在保证波束主瓣宽度较小、旁瓣电平较低以及抗干扰性能较好的前提下，对算法过程中的求逆环节作出了改进。所运用的基于主元交换的原位替换求逆算法具有存储空间占用少、可并行性好、运算速度高且复杂度低等优点。同时，仿真分析结果证明了整个算法的可行性和优越性。通过对波束域处理与求逆算法的研究，对自适应波束阵列处理技术有了更深认识，研究结果对高阶累积量在自适应阵列处理领域中的应用有很大参考意义。